连分式证明的收敛性

Question

设$\frac{P_n}{Q_n}和\frac{P_{n+1}}{Q_{n+1}}$是$b$的两个连续分式收敛。然后证明：

$$\left|｛\frac｛P_n｝{Q_n}-b}\右|<\frac{1}{2Q_n^2}$$

或

$$\左|{\压裂{P_{n+1}}{Q_{n+1}}-b}\右|<\压裂{1}{2Q_{n+1}^2}$$

提前谢谢！

Answer 1

连续收敛值交替大于或小于$b$的值。那么我们有了

$${1\超过q_nq_{n+1}}=\left|{p_{n+1}q_n-p_nq_}\n+1}\超过q_nq{n+1{}\right|=\left |{p_n+1}\超过q{n+1{}}}-{p_n\超过q _n}\right |=\ left |}p_{n+1}\over q_{n}-b\right|+left|}{p_n}\overq{n}-b\右|$$

最后一个等式如下，因为它们一个大于$b$，另一个小于$b$。这就是它们必须是连续收敛的地方。

现在，如果前提是假的，那么

$${1\在q_nq_{n+1}}上$$

这显然是不可能的。