请注意BC美元=20亿$,角度A=90^\circ$，让我们找出的垂直平分线BC美元$.现在我们有了十亿美元$和C美元$对称w.r.t美元EF$，以及美元$和$E美元$对称w.r.tBF美元$.如果我们延长AB美元$和美元DC$，它们将相交美元FE$在同一点上，两者都会产生6美元$角度。如果我们延长CB美元$和DA美元$，他们将6美元$角度。

这个角度可以用三角法直接求出。让AB美元$,美元FE$,美元DC$相交于Q美元$.让$\tan\theta=\tan\angle ABD=\frac{AD}{AB}$.

我们有$\压裂{AD}{AQ}=\tan 12^\circ$,$\压裂{AQ}{AB}=1+\压裂{BQ}{AB}=1+\压裂{BQ}{BE}=1+\frac{1}{sin6^\circ}$.求解$\θ$,

$\tan\theta=\frac{AD}{AB}=\tan12^\circ（1+\frac{1}{\sin6^\cick}）$

$θ=66^\circ$.

这可能是找到角度的最佳方法。但证明可以避免使用三角函数，如下所示。

如果我们延伸所有这些线。。。画出更多来完成等边三角形？我们有一个等边三角形$\三角形PQR$，以及所有60美元\circ$角度被切割成约6 ^\美元$件。四边形的位置$ABCD$如图所示。

要查找$\角度ABD$，我们可以使用对称性将其移动到其他位置：由于w.r.t对称QP_7美元$和对称性美元PR_2$,$BD=BE=EF=FD$所以，$\角度ABD=\角度AFE$.

我们想证明这一点$\角度AFE=66^\circ$、或、，$\角度AEF=24^\circ$.是否有一条线表示24美元$与…成角度澳元$?

是的，如果我们再加两行，$公关'$和$PR“$，我们有$\angle APR“”=4\乘以6^\circ=24^\cic$，所以我们只需要证明一下$EF\并行PR“”$.

如果我们尝试$\压裂{AE}{AP}=\压裂{AF}{AG}$，然后可以将其转换为切线恒等式。$\压裂{AE}{AP}=\压裂{AE}{AQ}\压裂{AQ{AP}=压裂{tan 12^\circ}{tan 42^\circ}$,$\frac{AF}{AG}=\frac}AF}{AP}\frac{AP}{AG{=\frac{tan6^\circ}{tan24^\cic}$.因此，我们必须$\frac{\tan12^\circ}{\tan42^\cick}=\frac{\tan6^\cic}{\tan 24^\cirk}$，或

$\tan 12^\circ\tan 24^\circ\tan 48^\cic\tan 84^\cick=1$,

这是15个独立的四元素整数阶切线恒等式之一，我之前花了一些时间试图理解它。

看到这里的联系很酷，但我不打算再讨论了。让我们回到几何证明。

还有其他方法可以获得24美元$?

注意到了$\angle APR=12 ^\circ$，以及P美元$和R美元$对称w.r.t量化宽松美元$，所以$\角度ERP=12^\circ$也。现在，如果$F（美元）$正在联机美元ER$，然后就完成了，$\角度AEF=24^\circ$!

但我们如何证明美元E、F、R$在同一条线上？

现在我们可以把它转换成另一个问题，一个经典问题：

给定等边三角形美元ABC$,$D美元$在三角形里面，$\角度DAC=6^\circ$,$\角度DCA=12^\circ$。证明$\angle中央商务区=18 ^\circ$.

还有一些其他等效公式化，并且有许多解决方案。其中一个步骤如下：

找到要点E美元$这样的话$\angle EAD=\angle EDA=6^\circ$.所以$EA=ED$.

$ED\并联交流$，所以$AE=CD$.

查找点$F（美元）$和G美元$以便$EF=EA，DG=DC$.

所以，$\angle AFE=\angle FAE=48^\大约$,$\angle FED=2\乘以48^\circ+2\乘以6^\cic=108^\cic$,$\角度EFD=\角度EDF=36^\circ$.$\angle DGC=\angle DCG=48^\circ$.

$AF=重心$，所以$BF=银行保函$,美元BFG$是等边的。$FG\并行DE$，所以$\angle GFD=角度FDE=36 ^\circ$.角度FGD=180^\circ-60^\cick-48^\cic=72^\cic$所以，角烟气脱硫=180$,$FD=成品$.

所以，$FD=餐饮$,$\angle FBD=\frac{1}{2}\angle AFD=\frac{1{2}（48^\circ+36^\cic）=42^\cick$,$\angle中央商务区=18 ^\circ$。证据完整。

还有一个事实：

54,6,12,48,18,42不是唯一适合等边三角形的非平凡组合。另一个是54,6,18,42,12,48。而且，不，这不是一个重复的问题。改变顺序会带来不同的问题，对于这个问题也有很多解决方案。

在三角形图形上，它意味着H美元$在线路上美元RI$非常有趣的事实！