随机过程标记的主动问题-数学堆栈交换

随机过程标记的主动问题-数学堆栈交换 math.stackexchange.com最新30条 2024-06-23T19:06:39Z https://math.stackexchange.com/feeds/tag？标记名=随机-流程&；sort=最新 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://math.stackexchange.com/q/4933797网址 1 “启发式”与严谨的伊藤引理简·斯图勒 https://math.stackexchange.com/users/503335 2024-06-17T14:40:12Z年 2024-06-23T18:13:42 Z

假设$X_t$是一个标准的Brownian运动，而$t$</sspan>是时间变量，我学会了使用以下结果导出函数的Ito引理：对于任何有限的$\delta t&gt；0$和标准布朗运动$X_t$</sspan>，我们可以认为：\开始{align*}\标记{1}\增量X_t:=X（\delta t）\stackrel{d}{=}\sqrt{\delta t}X（1）\结束{align*}\开始{align*}\标记{2}\mathbb{E}[\delta X^2]=\mathbb}[\delta t X（1）^2]=\ delta t\结束{align*}作为$\delta t到0$，我们可以证明（为了便于表示）：\开始{align*}\标记{3}V（δX^2）=V（δTX^2]=δt^2 V（X^2\结束{align*}（最后的结果是正确的，因为使用正态分布的矩生成函数，$delta t^2到0$为$delta t到0$）（第页）我们现在可以定义$\delta F:=F（X_0+\delta X_t，t_0+\ delta t）-F（X_0，t_0）$并使用泰勒展开式，如下所示：$$\ delta F=\frac｛\partial F｝｛\partial t｝\ delta t+\frac｛\partial F｝｛\partial t｝\ delta X_t+0.5\frac｛\partial ^2 F｝｛\partial X_t^2｝\ delta X_t^2+$$所有高阶项都变为零，即$\delta t到0$，使用结果（1）、（2）和（3），我们可以证明$\deltaX_t^2到delta t$</sspan>（第页）使用符号$\delta t\to 0\leftrightarrow\delta t\ to dt$，我们最终得到：$$dF=\left（\frac{\partial F}{\partic t}+0.5\frac}\partial^2F}{\ partial X_t^2}\right）d t+\frac\\partial F}{\protial t}d X_t$$问题：上述内容通常被描述为；启发式“；推导了$F（X_t，t）$的Ito公式。会是什么；非启发式；（数学严谨？）推导版本？主要区别是什么/我如何改进；启发式；上述论点使其更加严格（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4936083 0 如果$S$和$T$是停止时间，那么$（S\leq T）\in\mathcal是真的吗{F} _T（_T）$? 没有人 https://math.stackexchange.com/users/875120 2024-06-22T08:43:11Z年 2024-06-23T17:19:11Z

假设$S$和$T$是关于连续过滤的停止时间{F} _（t）)_{t\geq0}$。$（S\leq T）\in\mathcal是真的吗{F} _T（_T）美元（第页）如果假设过滤是离散的而不是连续的，那么通过考虑所有$k\in\mathbb{N}$，$（S\leq-T）\cap（T=k）=（S\leq-k）\ cap（T=k）\ in\mathcal，很容易证明答案确实是肯定的{F} k（_k）美元。然而在连续的情况下，这种推理似乎不起作用，因为它会导致将$（S\leq t）\cap{F} _（t）美元（第页）

https://math.stackexchange.com/q/1351556 14 为什么可预测的随机过程称为“可预测”？ 0xbadf00d（错误00d） https://math.stackexchange.com/users/47771 2015年7月6日T17:01:39Z 2024-06-23T17:02:25Z

让＜ul＞<li>$（\Omega，\mathcal A，\operatorname P）$是概率空间</li><li>$I$是一个索引集</li><li>$\mathbb F=（\mathcal F）_{t\inI}$是对$（\Omega，\mathcar a）的过滤$</li><li>$X=（X_t）_{t\inI}$是$（\Omega，\mathcal a，\operatorname P）上的随机过程$</li></ul><小时>如果$I=\mathbb{N} 0$，则$X$称为$\mathbb F$-可预测$：\Leftrightarrow$$X_0$是一个常量，$$X_n\text{is}\mathcal F_{n-1}\text{-measuble}\；\；\文本{for-all}n\in\mathbb n\；。\标记{1}$$如果人们认为$\mathcal F_n$是$X$在$n$之前的已知信息，$（1）$意味着在$n-1$时，我们已经知道$X_n$的行为（第页）<小时>如果$I=[0，\infty）$，则$X$称为$\mathbb F$-可预测$：\Leftrightarrow$X$相对于$$\sigma\left（\left\{left\}0\right\}\ times F:F\in\mathcal F_0\right\}\cup\bigcup_{0\le s&lt；t}\left\{（s，t]\ times F：F\in\fathcal F_s\right\\}\right）\；.$$让$t&gt；0$. 现在，直觉更难找到。$t$之前没有单独的数字$s$。很明显，$s&lt；t$并不意味着$X_t$的$\mathcal F_s$可测量性（第页）那么，什么是直觉？也许我们可以证明$X_t$相对于$$\bigcup_{0\les&lt；t}\mathcal F_s\tag{2}\；是可测量的如果这是真的，并且有人能提供证据，我将非常高兴。ic

https://math.stackexchange.com/q/4934828 0 重标度时间Ito积分[闭合] KateAsks公司 https://math.stackexchange.com/users/1056303 2024-06-19T14:55:02Z年 2024-06-23T13:01:38Z

我想知道关于差速器可以说些什么$$dB_{\phi（t）}$$对于某些连续可微函数$\phi:[0，\infty）\to[0，\ infty（）$，其中$\phi'（t）&gt；0$</sspan>。含义：是否有一个特殊版本的Ito公式用于这些重新校准我想也许$dB_{\phi（t）}=\sqrt{\phi'（第页）谢谢你（第页）编辑：让我把库尔特·G建议的想法计算出来（第页）设$W$定义为$$dW_t=\frac{1}{\sqrt{\phi´。后者意味着$W$是鞅。此外：$$\langle W\rangle=\langle\int_0^{\cdot}\frac{1}{\sqrt{\phi'（s）}}dB_{\phi（s）{\rangle=\int_0 ^{\cf0}\frac{1}{\phi'（s）=id$$因此，$W$是一个布朗运动（第页）我们得出结论：$dB_{\phi（t）}=\sqrt{\phi'（t）{dW_t$，其中$W$</sspan>是布朗运动（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4931606 1 会聚偏微分方程作为会聚粒子过程的流体力学极限 900边缘 https://math.stackexchange.com/users/884634 2024-06-12T19:26:08Z 2024-06-21T14:35:29Z

假设某个相互作用的粒子过程具有流体动力学极限，即PDE$$\rho_t=L\rho+f\quad\quad\quad（1）$$其中，$L$和$f$可能是非线性的。通过相互作用粒子过程，我的意思是每个$X^I_t$都遵循某种SDE，其中漂移和扩散项可能是其他粒子（或其平均值）的函数。通过流体力学极限，我的意思是经验分布$\sum_{I=1}^n\delta_{X^I_t}$在概率上收敛到解（第页）假设还有一系列PDE，其解收敛到满足PDE的解$$\rho^n_t=L^n\rho^n\quad\quad（2）$$这样，在某种适当的意义上，$\rho^n（x，t）\rightarrow\rho（x，t）$。假设每个$n$都有一个流体动力学极限为$（2）$</sspan>的粒子过程。（请原谅在$X_t$；$i$</sspan>和$n$</spa>上重复使用上标表示不同的意思。）我们能否确定控制$X^n_t$的SDE是否以某种方式收敛到控制$X_t$</span的SDE（第页）相关问题：如果我们知道某些过程收敛到极限过程，那么我们知道流体动力极限收敛吗（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4935706网址 2 $\mathbb{R}^{2d}中Ito公式的$C^2$条件$ 罗德里戈M https://math.stackexchange.com/users/1071719 2024-06-21T12:13:16Z 2024-06-21T13:52:15Z

设$X，V\in\mathbb{R}^{d}$，$Z=（X，V）$</sspan>，$g乘以d}$和：$$dZ（t）=\begin{pmatrix}V\\g（t，X，V）\end{pmatrix}日期+\开始{pmatrix}0&amp；0\\\0（&amp；）；\西格玛（t，Z）{pmatrix}dW（t） $$其中，$W$是$2d$</sspan>维布朗运动（第页）Ito的公式为我们提供了一种方法，可以将$\phi（t，Z）$写成一个Ito进程，前提是$\phi$足够正则。我对跟踪术语感兴趣，即$$tr\left[\begin{pmatrix}0&amp；0\\\0（&amp；）；\西格玛（t，Z）\结束｛pmatrix｝\开始{pmatrix}0&amp；0\\\0（&amp；）；\σ^T（T，Z）\end{pmatrix}\nabla^2\phi（T，Z）\right]$$由于术语$\nabla_｛xx｝^2 \phi$乘以$0$，并且$\nabla_｛xv｝^2 \phi$被跟踪忽略，我们认为这等于$$tr[\sigma（t，Z）\sigma^t（t，Z）\nabla_｛vv｝^2 \phi（t，Z）]$$我的问题是，在这种情况下，我们真的需要$C^2（\mathbb{R}^{2d}）$对$\phi$的假设吗？直觉告诉我，我可能只需要C^1（\mathbb{R}^d）\乘以C^2（\mathbb{R{^d）$中的$\phi\（第页）当然，如果第一个变量中没有$C^2$，我可能无权将任何东西乘以$0$</sspan>（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4935655 0 作为概率模型的非齐次泊松过程如何具有1的跳跃大小？斯特林 https://math.stackexchange.com/users/471973 2024-06-21T09:18:56Z 2024-06-21T13:14:12Z年

我有一个事件发生的概率，发生在时间$t$，$\operatorname{v}\left（t\right）$</sspan>，由以下等式建模：$$\陶\，\压裂{{\rmd}\operatorname{v}\left（t\right）}{{\rmad}t}=-\operatorname{v}\left（t\right）+\tau a\sum{k}\delta\左（t-t{k}\右）$$其中，$t{k}$是从同质Poisson过程中提取的随机点，$a$</sspan>是跳跃大小，而$\tau$是衰减（第页）我的理解如下：＜ul＞<li>如果泊松过程$t_{k}$不生成点，则$\operatorname{v}\left（t\right）$线性衰减$\tau$</li><li>但如果泊松过程在$t$处生成一个点，则$\operatorname{v}\left（t\right）$</sspan>会得到一个“跳转”</li><li>然而，我正在阅读的论文并没有将“跳转”限制在$1$以下，并将跳转设置为$a=1$</sspan></li><li>但由于$\operatorname{v}\left（t\right）$是一种概率，因此添加$+1$</sspan>需要$\operatorname{v}\left（t\right）&gt；1$，这显然不可能，因为这是一种概率</li></ul>我这里错过了什么（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4935598 0 将计数过程$N（t）$写成$N（t）=\sum_{k=1}^tY_k$：$Y_k美元的存在性和属性？甲状旁腺素 https://math.stackexchange.com/users/190548网址 2024-06-21T06:01:52Z 2024-06-21T08:34:23Z年

设$N（t）$$\{X_k\}$为间隔时间产生的计数更新过程，间隔时间是独立的、同分布的正随机变量，平均值为>$\text{Var}（X_k）=\sigma^2$（第页）<ol><li>对于一个非负整数$t$，$N（t）$</sspan>可以写成$N（t）=\sum_{k=1}^tY_k$</sPA>，其中$\{Y_k\}$是独立的、同分布的、非负的、积分值的随机变量吗</li><li>如果是，什么是$\mathbb{E}（Y_k）$和$\text{Var}（Y_k）$</li><li>如果$\mathbb{E}（X_k^3）&lt；\infty$然后$\mathbb{E}（Y_k^3）&lt；\infty$？（如果没有，什么条件就足够了？）</li></ol>动机：我试图对随机变量的随机数之和应用Berry-Esseen定理，使用$N（t）$作为求和数。参见<a href=“的定理10.6https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-15007-4“rel=”nofollow noreferrer“>Chen，Goldstein&Shao（2011）</a>我尝试过的对于（1）。设$Y_k$是间隔$$（k-1，k）$</sspan>期间到达的数量。然后（1）满足（第页）对于（2）。设$\mathcal{N}（0,1）$表示均值为0，方差为1的正态分布。写入$\nu=\mathbb{E}（Y_k）$、$\tau^2=\text{Var}。应用<a href=“https://math.stackexchange.com/tags/central-limit-theorem/info“>经典（Lindeberg–Lévy）中心极限定理</a>到$N（t）$，其中$$\裂缝{N（t）-\nut}{\tau\sqrt{t}}\\文本{分布收敛到}\\数学{N}（0,1）\标记{1}$$作为$t\to\infty$。然后将中心极限定理应用于计数过程（例如<a href=“https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/931ffa0940899c27f34b71ad64fd2bb0_MIT6_262S11_chap04.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>Gallager，2011，定理4.3.2），其中$$\裂缝{N（t）-t/\mu}{\sigma\mu^{-3/2}\sqrt{t}}\\文本{分布收敛到}\\数学{N}（0,1）\标记{2}$$作为$t\to\infty$。通过分布收敛极限的唯一性和有力的手工节约，推导出$$\nu=\frac{1}{\mu}\qquad（平方米）\τ=\frac{\sigma}{\mu^{3/2}}美元作为交叉检验，布莱克威尔定理（例如<a href=“https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/931ffa0940899c27f34b71ad64fd2bb0_MIT6_262S11_chap04.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>Gallager，2011，定理4.6.2）提供了$$\lim{k\to\infty}\mathbb{E}（Y_k）=\压裂{1}{\mu}美元对于（3）。我的直觉是考虑倒数随机变量$1/X_k$，也许给它设一个下限（第页）参考文献陈路易·H.Y。；拉里·戈尔茨坦（Larry Goldstein）；邵琦曼（2011）<a href=“https://link.springer.com/book/10.1007/978-3642-15007-4“rel=”nofollow noreferrer“>Stein方法的正规逼近Robert Gallager（2011）<a href=“https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/pages/course-notes/“rel=”nofollow noreferrer“>离散随机过程https://ocw.mit.edu/courses/6-262-discrete-stochastic-processes-spring-2011/931ffa0940899c27f34b71ad64fd2bb0_MIT6_262S11_chap04.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>第4章：续签流程

https://math.stackexchange.com/q/4935321 0 Riemann-Liouville工艺和术语前的常数 gb2718标准 https://math.stackexchange.com/users/1311155 2024年6月20日下午4:24分55秒 2024-06-21T07:11:20Z

考虑以下形式的Riemann-Liouville过程：$$B^H_t=c_H\int_0^t（t-s）^{-H-1/2}dB_s$$为什么常数$c_H$可以在不影响过程属性的情况下更改（因为它会更改其方差）（第页）到目前为止，我遇到了Riemann-Liouville过程的不同定义，其中一些定义为常数$c_H=\frac｛1｝｛\Gamma（1/2+H）｝$（参见Mandelbrot和Van Ness（1968）），另一些定义为$c_H=\sqrt｛2H｝$（参见Marinucci（1999）），甚至$c_H=1$（第页）它们都是Riemann-Liouville过程的等效定义吗？或者它们应该被称为简单Volterra Gaussian过程的等效定义吗（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4935594 0 关于随机变量向量赫里托勒恩 https://math.stackexchange.com/users/1135572 2024-06-21T05:36:05Z 2024-06-21T05:36:05Z

在我的研究工作中，我遇到了以下表达式$p=\bunderrace｛A_1（\textbf{h} _2^T（n）\cdot\Psi\cdot\textbf{h} _1个（n） +A_2h_0（n））}_{第1部分}$其中$\textbf{h} _2（n） $是一个$M\乘以1$</sspan>向量，$\Psi$是一个标识矩阵和{h} _1个（n） $是一个$M\乘以1$</sspan>向量（第页）标量$h2（n）$表示为{h} _2+\Phi_{h2}（n）+h_{2_\epsilon}$，标量$h_1（n{h} _1个+\Phi_{h_1}（n）+h_{1_\epsilon}$和{h} _0（0）+\Phi_{h_0}（n）+h_{0_\epsilon}$此外$A_1、A_2$是常量（第页）$w（n）$是加性高斯白噪声，建模为$\mathcal{C}{n}（0，n_w）$</span$\hat{h}（小时）_{2} $和$\hat{h}（小时）_{1} $是具有零均值和单位方差的复高斯随机变量（第页）$\Phi_{h_{2}（n）$被建模为零均值圆对称复高斯（ZMCSCG），即$\mathcal{C}\mathcal{n}（0，（1-\rho_{h_2}}^{2（n-1）}）\sigma^2_{h_2{}}）$</span$h_{{2}_｛\epsilon｝｝$也被建模为ZMCSG，即$\mathcal｛C｝\mathcal｛N｝（0，\sigma^2｛\epsilon｛h｛2｝｝｝）$$\Phi_{h_{1}}（n）$建模为ZMCSCG，即$\mathcal{C}\mathcal{n}（0，（1-\rho_{h_1}}^{2（n-1）}）$h_{{1}_{\epsilon}$也被建模为ZMCSCG，即$\mathcal{C}\mathcal{N}（0，\sigma^2_{\epsilon_{h{1}}）$</sspan>我的问题是，从（1）开始，我想以第1部分和$w（n）$的方差比的形式编写表达式，但我不知道如何继续在此方面的任何帮助都将不胜感激（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4935583 -2 关于涉及随机变量的总和[闭合] 赫里托勒恩 https://math.stackexchange.com/users/1135572 2024-06-21T04:48:51兹 2024-06-21T04:48:51Z

在我的研究工作中，我得到了以下总结：$p=\sum_{m=1}^m\{|h_{2，m}+\Phi_{h_2,m}}（n）+h_{{2，m}_{\epsilon}}|\cdot|h_{1，m}+\Phi_{h_1，m}}（n）+h_{{1，m}_{\epsilon}}|+H（h0+\Phi_{h0}（n）+H_{0_{\epsilon}}）\}^2$---（1）其中$H$是常量（第页）$h{2，m}$和$h{1，m}$是具有零均值和单位方差的复高斯随机变量（第页）$\Phi_{h_{2，m}}（n）$被建模为零均值圆对称复高斯（ZMCSCG），即$\mathcal{C}\mathcal{n}（0，（1-\rho_{h_2,m}}^{2（n-1）}）\sigma^2_{h_2,1,m}）$</span$h_{{2，m}_{\epsilon}$也被建模为ZMCSCG，即，$\mathcal{C}\mathcal{N}（0，\sigma^2_{\epsilon_{h{2，m}}）$</sspan>$\Phi_{h_{1，m}}（n）$被建模为ZMCSCG，即$\mathcal{C}\mathcal{n}（0，（1-\rho_{h{1，m}}^{2（n-1）}）$h_{{1，m}_{\epsilon}$也被建模为ZMCSCG，即，$\mathcal{C}\mathcal{N}（0，\sigma^2_{\epsilon_{h{1，m}}）$</sspan>我的问题是如何解方程（1），以便我能够替换$h{2，m}$，$h{1，m}$$h_container_{{2，m}_{\epsilon}$和$h_{｛1，m｝_{\epsilon}}$（第页）在此方面的任何帮助都将不胜感激（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934770 0 不同概率空间中随机变量的条件期望好奇心 https://math.stackexchange.com/users/1281006 2024-06-19T12:39:50Z 2024-06-21T04:38:48Z年

设$（X，\mathcal{F} X（_X），\mathbb{P}）$和$（Y，\mathcal{F} 是（_Y），\mathbb{Q}）$是两个概率空间。我知道随机变量$Z:X\rightarrow\mathbb{R}$的期望值受随机变量$W:Y\right箭头\mathbb{R}$的影响。所以我想使用条件期望-类似于$\mathbb{E}（Z\mid-W）$（第页）所以我的问题是：<ol><li>如果随机变量来自不同的概率空间，可以定义条件期望吗（第页）</li><li>如果是这样，我会有条件期望的所有通常性质吗（第页）</li><li>如果没有，我该怎么处理？我应该考虑两个概率空间的乘积吗（第页）</li></ol>

https://math.stackexchange.com/q/4935497 0 正随机过程到a.s.的充分条件的参考达到$+\infty$[已关闭] 曾 https://math.stackexchange.com/users/520710 2024-06-20T22:08:21Z年 2024-06-20T22:20:03Z年

我想知道一个正随机过程满足p任何人都可以在有这种结果的地方分享一些参考资料，或者在答案中列出结果吗（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934339 0 随机过程连续型的存在性 qp212223号 https://math.stackexchange.com/users/428839 2024-06-18T16:34:51Z 2024-06-20T13:37:45 Z

设$g（t，x）$是开集上的连续函数（第页）设$X_t（X）$是一个值随机域，其中$t\in[0，t]$</spa>和$X\in\mathbb{R}^d$</sspan>几乎可以确定是连续的（第页）假设$$\textbf｛（1）｝\qquad\mathbb｛E｝\left[\int_0^T\mathbf{1}_{\partial S}（t，X_t（X））dt\right]=0$$对于每个$X\in\mathbb{R}^d$</sspan>我想知道这是否足以证明随机字段$$a_t（x）\equiv\int_0^t\mathbf存在连续版本/修改（在$（t，x）$中{1} _秒（s，X_s（X））g（s，X_s（X））ds.$$$\textbf{（1）}$意味着$$\mathbb{p}\Big（A\text{在}（t，x）\text{对于[0，t]\Big中的每}t连续）=1$$对于每一个$意味着，对于勒贝格来说，几乎可以肯定的是，在[0，T]$</sspan>，s\cup\text{int}（s^c）$</spa>中，几乎每一个$s（s，X_s（X），因为有无数这样的$x$。我们当然可以得出结论，在勒贝格几乎每一个[0，t]\times\mathbb{R}^d$中的$（t，x）都存在一个连续的版本。当然，这还不够（第页）任何帮助都将不胜感激（第页）如果有帮助，进一步假设$$dX_t（x）=b（t，x，x_t$$$X_0（X）=h（X）$。假设$x\in\mathbb{R}^k$、$b$</sspan>、$\sigma$和$h$都是全局有界的，并且Lipschitz是连续的（因此存在映射的修改/版本\mapsto X_t（X）$几乎可以肯定是连续的）。也可以假设$$\sigma（t，x，y）\sigma（t，x，y）^t\succurlyeq\epsilonI$$，其中$\epsilon&gt；0美元（第页）

https://math.stackexchange.com/q/3631069 2 随机volterra过程的Ito公式压碎 https://math.stackexchange.com/users/557565 2020-04-18T03:35:58Z 2024-06-20T12:11:23Z年

我有点怀疑伊藤公式在以下随机过程中的应用（这是一个分数布朗运动过程）。假设$W_s$是一个典型的布朗运动；\阿尔法&lt；1$和$\kappa，\theta，\nu$</sspan>的参数。我们有这个过程\开始{方程式}V_t=V_0+\frac{1}{\Gamma（\alpha）}\int_0^t（t-s）^{\alpha-1}\kappa（\theta-V_s）ds+\frac{1}}{\Gamma（\ alpha\结束{方程式}既然存在奇异积分，那么在这种情况下可以使用通常的Ito引理吗？我看到了在[0，t）$中允许$s$g（s）=\frac{1}{\Gamma（\alpha）}（t-s）^{\alpha-1}$</sspan>的证明，上面的等式变成\开始{方程式}V_t=V_0+\int_0^t g（s）\kappa（\ta-V_s）ds+\int_0^t g\结束{方程式}然后，证明的作者将Ito的公式应用于$\sigma_t=\sqrt{V_t}$，它给出了\开始｛方程式｝\σ_t=\sigma_0+\int_0^t（\frac{\kappa\theta}{2}\cdot g（s）-\frac}\nu^2}{8}）\结束{方程式}我确实知道如何应用通常的Ito引理，但问题是，这甚至是在奇异随机过程/volterra过程中应用Ito引言的正确方法吗？或者还有其他方法来构造伊藤公式吗。该公式已被用作金融中的一个应用程序，称为粗糙赫斯顿模型（第页）非常感谢您的指点/指导（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934829 0 超市家族的连续性 qp212223号 https://math.stackexchange.com/users/428839 2024-06-19T14:58:45 Z 2024-06-20T00:19:38Z

假设$\{Z_t（\alpha）\}_{\alpha}$是类（D）的一个超鞅族，它是已知的联合连续的，几乎可以肯定地说，它是$（t，\alpha）$</sspan>的函数。在[0，t]\times\mathbb{R}^d$中说$（t，\alpha）。Doob-Meyer分解表明，对于每个$\alpha$，都存在一个递增的可预测过程$A_t（\alpha）$和一个鞅，这两个过程在$t$</sspan>中是连续的，使得$$Z_t（\alpha）=M_t（\alpha）-A-t（\alpha）$$几乎可以肯定（当然，空集可能依赖于$\alpha$）。有人知道关于$M$和$A$</sspan>在（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4935009 0 伊藤扩散的随机场能在勒贝格测度0集合中花费正时间吗？ qp212223号 https://math.stackexchange.com/users/428839 2024-06-19T21:10:46Z年 2024-06-19T21:10:46Z年

假设我有一个由以下SDE管理的Itódiffusion家族：$$dX_t（x）=b（t，x，x_t$$$X_0（X）=h（X）$。假设$x\in\mathbb{R}^d$，$x_t（x）$</sspan>值为$\mathbb{R}^k$>$h$都是全局有界的且Lipschitz连续的（因此存在映射$（t，x）\mapsto x_t（x）$</sspan>的修改/版本，它几乎是连续的）。进一步假设$$\sigma（t，x，y）\sigma；0美元（第页）设$S\subseteq[0，\infty）\times\mathbb{R}^k$是具有Lebesgue测度的闭集。波动矩阵的条件意味着$X_t（X）$$\textbf{（1）}\qquad\int_0^\infty\mathbf具有密度，因此对于每个{1} _秒（t，X_t（X））dt=0$$几乎可以确定每个固定$X\in\mathbb{R}^d$</sspan>（即，不发生这种情况的空集取决于$X$</spa>）（第页）我假设的关于$X_t（X）$的条件是否足以说明对于每个$X\in\mathbb{R}^d$</sspan>都成立？即，是否存在一个可测量的集合$a$$$\mathbb｛P｝\left（A\right）=1\\A\subseteq\left\{\omega:\int_0^\infty\mathbf{1} _秒（t，X_t（X，ω））dt=0\四\所有\；x\in\mathbb{R}^d\right\}\quad$$

https://math.stackexchange.com/q/4933826网址 5 等价鞅测度中的最优运输距离杰弗里风 https://math.stackexchange.com/users/41972 2024-06-17T15:40:33Z 2024-06-19T19:43:13Z年

我对这个想法已经研究了一段时间，可以使用一些指导。现在我想知道我写的公式是否有意义。非常感谢您的帮助（第页）问题陈述想法设$X_t$和$Y_t$是由$$dX_t=\mu_X（t，X_t）dt+\sigma_X（t，X_t）dW_t^{\mathbb{P}}$$和$$dY_t=\mu_Y（t，Y_t）dt+\sigma_Y（t，Y_t）dW_t^{\mathbb{P}}$$其中$dW_t^{\mathbb{P}$是基测度下的布朗运动。我遗漏了很多背景定义。为此，我们应该知道Itóprocess是马尔可夫过程，并且假设漂移项和扩散项的某些正则性条件，可以通过它们的转移密度函数唯一地识别（第页）Girsanov理论根据Grisanov理论，存在两个等价的Martigale测度{Q} X（_X）$和$\mathbb{Q} 是（_Y）$将流程转换为等效的martignale度量（风险中性度量）$$dX_t=\sigma_X（t，X_t）dW_t^{\mathbb{Q} X（_X）}$$和$$dY_t=\sigma_Y（t，Y_t）dW_t^{\mathbb{Q} 是（_Y）}，$$有效地消除过程中的漂移。对于基本度量中的过程，$X_t$和$Y_t$的跃迁密度我们写为$p_t^X（X）$和$p_t Y（Y）$对于$\mathbb下过程的转移密度{Q} X（_X）$和$\mathbb{Q} 是（_Y）分别为$（第页）Radon-Nikodym衍生物度量的变化是通过Radon-Nikodym导数$Z_t^X（X）=\frac｛d\mathbb{Q} X（_X）}{d\mathbb{P}}$和$Z_t^Y（Y）=\frac{d\mathbb{Q} 是（_Y）}{d\mathbb{P}}$，由定义$$Z_t^X（X）=\exp\left（−\int_0^t\frac｛\mu_X（X_s，s）｝｛\sigma_X（X_s，s）｝dW_s^｛\mathbb｛p｝｝−\frac｛1｝｛2｝\int_0^t\left（\frac｛\mu_X（X_s，s）｝｛\sigma_X（X_s，s）｝\right）^2 ds\right）$$和$$Z_t^X（y）=\exp\left（−\int_0^t\frac{\mu_y（y_s，s）}{\sigma_y（y-s，s）{dW_s^{\mathbb{P}}−\frac{1}{2}\int_0 ^t\left$$在这之前，我非常确信这些定义是根据Girsanov理论表述的，并且是正确的。如果错了，请纠正我。下一步我有点不确定（第页）过渡密度测量值的变化Radon-Nikodym导数可以这样写$$Z_t（x）=\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}}=\frac{Q_t$$其中，$q_t（x）$和$p_t（x）$是与度量值相关的概率密度函数。然后，我可以用基本测度和Radon-Nikodym导数写出鞅测度的转移密度$$q_t^X（X）=p_t^X$$和$$q_t^Y（Y）=p_t^Y（Y）Z_t^Y（Y）$$<区块报价>在此之前，我不应该说任何不同寻常的话，所以我只想知道在这之前我的数学是否可以接受要点（第页）</blockquote>这就是我想说的Wasserstein距离在度量空间$（M，d）$上，将两个概率测度之间的Wasserstein-1距离定义为$$W_1（\mu，\nu）=\inf_{\gamma\in\gamma（\mu，\nu）}\int_{M\times M}d（x，y）\gamma（x，y）dxdy$$其中$\Gamma$是$\mu$和$\nu$的所有耦合的集合。耦合是一种联合概率分布，具有$\mu$和$\nu$作为边际。这被解释为找到最小的运输成本（第页）这就是我想说的让我们在基本度量值$\mathbb{p}$、$p_t^X（X）$和$p_t Y（Y）$中，写出$X_t$和$Y_t$的跃迁密度之间的Wasserstein-1距离（第页）$$W_1^{mathbb{p}}（X_t，Y_t我在这里强调，$\gamma_{\mathbb{p}$位于带有下标的度量值中。$\gamma$耦合也被称为传输映射，因为它们被解释为将质量从一个概率密度指向另一个概率浓度的图（第页）因此，这是一大步我想知道，通过将Radon-Nikodym导数应用于$\gamma_{\mathbb{Q}$，可以在鞅测度下实现耦合>$\gamma_{\mathbb{P}}$如果是这样，我可以写下：$$\gamma_{\mathbb{p}}（x，y）Z_t^x$$其中$\gamma_{\mathbb{Q}}\in\gamma\left（Q_t^X（X），Q_t^Y（Y）\right）$。如果这一步骤是允许的，那么我就可以在$\mathbb中写入运输成本{Q} X（_X）\次\mathbb{Q} 是（_y）$作为基本度量中运输成本的函数$$\int_{\mathbb{R}^n\times\mathbb}R}^n}d（x，y）\gamma_{\mathbb{Q}}>验证尝试据我所知，概率密度函数与测度理论的测度非常相似，似乎可以互换或完全相同。因此，对于下面的证明，我将停留在概率密度领域。概率密度和测度之间的联系是我仍在学习更多的东西，我喜欢这里的任何方向。有趣的是，据我所知，根据上面给出的关系，氡-尼可金导数（测量值的变化）也适用于密度和测量值。在下文中，使用联合概率密度代替测量理论中的耦合，我认为这是正确的替代。然后，边际密度与测度理论的边际测度类似（第页）设$p（x，y）$是具有边距的联合概率密度，即$$f_X（X）=\n int p（X，y）dy$$$和$$f_Y（Y）=\int p（x，Y）dx$$$（第页）设$L（x）=q_x（x）/f_x（x）$是作为测度变化的Radon-Nikodym导数，将密度$f_x$发送到$q_x$。设$R（y）=q_y（y）/f_y（y）$是Radon-Nikodym导数，它将密度$f_y$发送到$q_y$（第页）设$$g（x，y）=p（x，y）L（x）R（y）$$声明是$g（x，y）$是一个有效的联合概率密度，$g（x，y）$的边距是$q_x（x）$</span1.$g（x，y）$是有效的接头密度，因为$$\int\int g（x、y）dx dy=1$$</sspan>。证明（使用总概率法）：$$\int\int p（x，y）L（x）R（y）dx dy=\int R（y$$$$=\int R（y）f_y（y）\left（\int p（x|y）L（x）dx\right）dy$$看看括号内的积分，我们首先注意到，根据联合密度的定义，$\int p（x|y）dx=1$，因此$p（x| y）$</sspan>可以作为概率密度。Radon Nikodym导数将一个有效密度转换为另一个，因此该积分积分为1，$\int p（x|y）L（x）dx=1$。$$=\t R（y）f_y（y）\left（\t p（x|y）L（x）dx\right）dy=\t R$$然后对这个积分提出了同样的论点：有效概率密度积分为12计算$g（x，y）$的边距。$$\int g（x，y）dx=\int p（x，y）L（x）R（y）dx=R（y$$通过与上一步相同的参数，$\int p（x|y）L（x）dx=1$，那么$$\int g（x，y）dx=R（y）f_y（y）=\frac{q_y（y）}{f_y$$一个相同的论点表明$$\int g（x，y）dy=q_x（x）$$量化宽松政策这些都允许吗？我最应该注意哪些方面？非常感谢您的反馈（第页）谢谢（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934888 -1 二阶段递归随机过程安东尼奥·里格纳内斯 https://math.stackexchange.com/users/1339263 2024-06-19T16:50:08Z 2024-06-19T16:50:08Z

我正在学习如何使用Markowitz MVO优化投资组合，并使用递归的两阶段随机过程。我所做的是：<ol><li>获取资产价格</li><li>把它们调到原木上</li><li>得到了日志返回</li><li>使用arima来检查它们是什么过程（都是arima（000））</li><li>由于所有分布均为正态分布，我将其平均值和Sd用于蒙特卡罗，为每个资产生成1000个模拟</li><li>得到了每个仿真距离的25%、50%和75%的值，以创建三个场景</li><li>我用AMPL制作了模型，你可以在图片中看到</li></ol>由于这个问题变得不可行，我想知道我是否犯了任何错误（作为一名新手）（第页）谢谢你（第页）附言。最低回报率如图中所示，但我<a href=“https://i.sstatic.net/pn4t6vfg.png“rel=”nofollow noreferrer“>在此处输入图像描述</a>在我运行模型时正确包含了它

https://math.stackexchange.com/q/4934766 1 步长增加的有偏随机游动的期望停止时间洛伦佐 https://math.stackexchange.com/users/1328988 2024-06-19时间12:34:55 z 2024-06-19T12:34:55 Z

设$S_n$是一个随机过程，其中$$S_{n+1}=S_n-1+\开始{cases}n^2&amp；\mathrm{with\；probability\；}\frac{1}{2}\\-n^2（&amp；2）；\数学{else}\结束{cases}。$$美元现在让$T:=\inf\{n\geq0:S_n\leq0\}$作为进程的停止时间，当它第一次变为负值时（第页）$\mathbb{E}（T）$有限吗（第页）我知道，对于有点相关的随机过程（从$n\geq1$开始）$$S'{n+1}=S'_n-\frac{1}{n^2}+\begin{cases}1和amp；\mathrm{with\；probability\；}\frac{1}{2}\\-1和amp；\数学{else}\结束{cases}，$$以及类似的停止时间$T'$，它认为$\mathbb｛E｝（T'）=\infty$（因为$\sum^\infty_n\frac｛1｝｛n^2｝=2$）（第页）而&quot；之间的比率；常数部分&quot；和&quot；二次部分&quot；对于这两个进程来说都是一样的，直观地看，对于进程$S_n$，负方向所需的步骤数减少了，而对于$S'{n+1}$</sspan>，则保持不变（第页）此外，矛盾证明，如<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/1085399/expectation-of-hitting-time-for-simple-symmetric-random-walk#comment2216350_1085399“>这个问题不起作用如何显示$\mathbb{E}（T）&lt；\infty$（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934184 0 为什么Mathematica模拟随机过程的首次命中时间与理论结果不匹配？普尔泽莫 https://math.stackexchange.com/users/99778 2024-06-18T11:07:26Z 2024-06-19T11:16:51Z

设$\theta，\sigma，\mu$为正实数。我们考虑以下均值回复随机过程$d X_t=\theta\cdot（\mu-X_t）dt+\sigma d B_t$，其中$X_0=X$。这里是布朗运动。该过程被称为奥恩斯坦-乌伦贝克过程。它是均值回复，其性质是众所周知的。特别地，已知存在两个线性独立的特征函数$F_r（x）$和$G_r（x）$，对于特征值$r&gt；0$，无穷小生成器的${\mathfrak G}_x:=\theta（\mu-x）d/dx+\sigma^2/2\cdot d^2/d x^2$</sspan>。这些本征函数都是正的，第一个严格递增，另一个严格递减。这些特征函数表示：\开始{eqnarray}F_r（x）&amp=&amp；\int\limits_0^\infty u^{\zeta-1}\cdot e^{A（x-\theta）u-\frac{u^2}{2}}du&amp=&amp；2^{\frac{\zeta}{2}-1}\左（\伽马\左（\frac{\zeta}{2}\右）\，_1F_1\左（\frac{\zeta}{2}；\frac{1}{2{；\frac{1}[2}A^2（x-\theta)^2\右）+\sqrt{2}A\Gamma\左（\frac{\zeta+1}{2}\右）（x-\theta）\，_1F_1\左（\压裂{\泽塔+1}{2}；\压裂{3}{2{；\裂缝{1}{2neneneep A^2（x-\θ)^2（右）\\G_r（x）&amp=&amp；\int\limits_0^\infty u^{\zeta-1}\cdot e^{A（\theta-x）u-\frac{u^2}{2}}du&amp=&amp；2^{\frac{\zeta}{2}-1}\左（\伽马\左（\frac{\zeta}{2}\右）\，_1F_1\左（\frac{\zeta}{2}；\frac{1}{2{；\frac{1}[2}A^2（x-\theta)^2\右）+\sqrt{2}A\Gamma\左（\frac{\zeta+1}{2}\右）（\theta-x）\，_1F_1\左（\压裂{\泽塔+1}{2}；\压裂{3}{2{；\裂缝{1}{2neneneep A^2（x-\θ)^2（右）\结束{eqnarray}其中$\zeta:=r/\mu$和$A:=\sqrt{（2\mu）/\sigma^2}$</sspan>（第页）<小时/>现在，根据《K Ito》第4.6节，Henry p McKean Jr；扩散过程及其采样路径；，拉普拉斯变换$E_x\left[E^{-r\cdot\tau_b}\right]：=第一次击中时间$\tau_b：=inf（t&gt；0|x_t&gt；b）$的E\left[E^{-r\cdot\tau_b}|x_0=x\right]$分布采用以下形式：\开始{eqnarray}E_x\left[E^{-r\cdot\tau_b}\right]=\左\{\开始{数组}{lll}\压裂{F_r（x）}{F_r（b）}&amp；\mbox{if$x\le b$}\\\裂缝{G_r（x）}{G_r（b）}&amp；\mbox{if$x&gt；b$}\\\结束{数组}\对。\标记{1}\结束{eqnarray}我们选择使用Mathematica通过蒙特卡罗模拟验证结果$（1）$（第页）我们取$\mu，r，\sigma，\theta=5,3,3,1.1$和第一个值$x=1/2$</sspan>。然后，我们在时间网格上模拟了有问题过程的$num=100005000$实例$t=i\cdot-dt$，其中$i=0，\cdots，\lfloort_{max}/dt\lfloor$，其中$dt=0.01$和$t_{max}=10$。这里使用的命令是<code>ItoProcess[]</code>以及<code>RandomFunction[]</code>。对于进程l1的每个实例，我们通过命令<code>l2=FoldList[Max，l1]</code>构造了它的运行最大值，然后通过找到方程的（唯一）根来确定屏障的第一次击中时间。然后，我们对这些随机时间内$（1）$的左手边取平均值，最后将结果绘制为屏障的函数（第页）代码中的定义：<pre><code>（*这是我们严格增加的\无穷小运算符。*）F[x_，\[Mu]_，\[西格玛]_，\[θ]_，r_]：=[{\[Zeta]=r/\[Mu]，A=Sqrt[（2\[Mu]）/\[Sigma]^2]}，2^（-1+\[泽塔]/2）（伽玛[\[Zeta]/2]超几何c1F1[\[Zeta]/2，1/2，1/2 A^2（x-\[Theta]）^2]+Sqrt[2]A（x-\[Theta]）伽马[（1+\[Zeta]）/2] 超几何1F1[（1+\[泽塔]）/2，3/2，1/2 A^2（x-\[Theta]）^2]）];（*在\Ornstein-Uhlenbeck工艺。*）清除[\[Mu]，\[Sigma]，\[θ]，x，t，dt]；x0=1/2；proc=ItoProcess[\[DifferentialD]x[t] ==\[Theta]（\[Mu]-x[t]）\[微分D]t+（\[西格玛]x[t] ）\[微分D]w[t]，x[t]、{x、x0}、t、，w\[分布式]WienerProcess[]]；</code></pre>下面给出了正在使用的代码主体（第页）<pre><code>{\[Mu]，r，\[Sigma]，\[Theta]}={5，3，Sqrt[9]，1.1}；数量=5000；dt=0.01；tmax=10；rf=随机函数[proc，{0.，tmax，dt}，num，方法-&gt&quot；KloedenPlatenSchurz&quot；]；mLL＝｛｝；bs=数组[#&amp；，100，{1/2，5}]；做[b=bs[[其中]]；mll={}；做[l1=rf[[2，1]][[p，All]]；l2=文件夹列表[Max，l1-b]；f=插值[l2]；tind=吨/。查找根[f[t]==0，{t，1，Floor[tmax/dt]+1}]；如果[！NumberQ[tind]||！（1&lt；=tind&lt；=地板[tmax/dt]+1），{tstar，mExp}={NaN，NaN}，tstar=dt*（tind-1）；mExp=经验[-r*tstar]；];mll=连接[mll，{tstar，mExp}}]；，{p，1，长度[rf[[2，1]]}]；mll1=选择[mll，数字Q[#[[2]]]&amp；]；mLL=连接[mLL，{{b，平均值[mll1[[All，2]]，Sqrt@方差[mll1[[全部，2]]，长度[mll1]/Length[mll]}]；PrintTemporary[&quot；b=&#quot；，N@bs[[which]]；已完成&【】；，{which，1，长度[bs]}]；</code></pre>代码的绘图部分：<pre><code>ListPlot[{{#[[1]]，Around[#[2]]，#[[3]]}&amp；/@mLL，{#，F[x0，\[Mu]，\[Sigma]，\[θ]，r]/F[#，\[Mu]，\[Sigma]，\[Cheta]，r]}&amp；/@bs}，轴标签-&gt；{“b”；，&quot；\\（\*SubscriptBox[\（E\），\（x\）]\）[实验[-r\！\（\*ubscriptBox[\(\\[头]\），\（b\）]]&quot；}，绘图图例-&gt；{“MC”，“理论”}]</code></pre>蒙特卡罗模拟的结果（蓝色点和蓝色误差条）与理论曲线重叠，如下图所示（第页）<a href=“https://i.sstatic.net/6rkeFNBM.png“rel=”nofollow noreferrer“><img src=”https://i.sstatic.net/6rkeFNBM.png“alt=”OU过程中第一次命中时间分布的拉普拉斯变换。这里，蓝色点和蓝色误差条代表模拟的平均值和标准偏差，而橙色点代表理论。“/></a>显然，模拟与理论不符！对于大值的$b$，与理论结果相比，模拟的首次命中时间系统地太小。当我们增加实例数num时，结果似乎不会改变，也不会随着时间span$t_{max}$的增加而改变（第页）这是什么原因（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4908881 0 使用斯特林公式证明极限行为篝火 https://math.stackexchange.com/users/1034702 2024-05-01T13:23:05Z 2024-06-19时间9:58:18Z

我正试图理解/证明一个引理，这是在两篇关于分支过程的论文中提出的（Jabbour-Hattab的《鞅与二叉搜索树的大偏差》中的引理2.2和Chauvin的《二叉树的鞅、嵌入和倾斜》中的引理2.8）。论文引用了斯特林公式和标准分析方法，但没有给出更多的证明（第页）对于$n\geq1$和$C_0（z）=1$</sspan>，我们得到了一个乘积$C_n（z，当$n$趋于无穷大时，我们有以下渐近行为：$C_n（z）\sim\frac{n^{2z-1}}{\Gamma（2z）}$不幸的是，当涉及到斯特林公式或伽玛函数时，我没有太多知识。任何帮助都将不胜感激（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934696 -1 离散时间随机过程的解析公式赫尔姆08 https://math.stackexchange.com/users/1338952 2024-06-19T09:35:58Z 2024-06-19T09:35:58Z

我想问你一个数学问题。我想计算一个过程的动力学，这个过程在每次采样时都会有一个下降（比如等于40%），每次下降后都会有反弹（比如直到95%）：这样就可以考虑到永久和暂时的影响。对于这条向下曲线在时间t的预期值，是否有一个解析的闭合解（第页）没有反弹的简单情况可以用一个乘法二项式过程来描述，其中$V_0$作为过程的初始值，在每个采样步骤t，过程$V_t$</sspan>是$$V_t=V{t-1}*（1-D_t）$$，其中$D_t$</sspan>等于所有t的常数0.4。因此，该过程可以描述为$$V_t=V_0*（0.6）^t$$感谢所有试图帮助我的人

https://math.stackexchange.com/q/4934444 1 续签奖励流程的奖励尾概率 hshlmh公司 https://math.stackexchange.com/users/1338561 2024-06-18T20:15:21Z 2024-06-18T20:39:36Z

假设给我们一个骰子，它有$K$个面，用$K=1，\dots，K$表示，其中实现一个面的概率为[0,1]$$p_K\，其中[span class=“math-container>$sum_{K=1、\dots、K}p_K=1$</sspan>。现在，我们反复掷骰子。当实现一个面$k$时，我们需要等待一个正随机时间$S_k$，然后再滚动。问题是：给定总时间预算$B&gt；0$，我们滚动了多少次特定的面$k^*$（第页）这个问题可以形式化为<a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Rewal_theory#续订-reward_processes“rel=”nofollow noreferrer“>更新-奖励过程</a>，其保持/等待时间是IID随机变量的序列$\{S_{k_i，i}\}_{i\geq1}$，平均值为（0，\ infty）美元。停止时间$\tau=\inf\{t=1,2，\dots\colon J_t=\sum_{i=1，\dots，t}S_{k_i，i}&gt；B\}=\sum_{t=1,2，\dots}1_{S_{t-1}\leq B}$。然后，奖励被定义为实现face$k^*$的次数。形式上，奖励是$\tau_{k^*}：=\sum_{t=1,2，\dots}1_{S_{t-1}\leq B}1_{k_t=k^*}$（第页）作者：<a href=“https://link.springer.com/book/10.1007/b97236“rel=”nofollow noreferrer“>Asmussen公式6.2（Wald方程）中的应用概率和排队，我们得到了$\mathbb{E}[\tau_{k^*}]=p_{k*}\mathbb{E}[\tau]$，并且根据Prop.6.2，我们得到（第页）我的问题是奖赏$\tau_{k^*}=\sum_{t=1,2，\dots}1_{S_{t-1}\leqB}1_}k_t=k^*$是否存在指数衰减的尾浓度不等式，其形式为]]\leq\exp[-\dots]$？这里，假设每个人脸的$s_k$是正的次指数随机变量，这意味着$\forall\lambda\colon|\lambda |&lt；\压裂{1}{\alpha_k}\colon\mathbb{E}[\exp[\lambda S_k]\leq\exp[\frac{\lambda^2 v_k^2}{2}]$https://www.stat.cmu.edu/%7Earinaldo/Teaching/36709/S19/Scribed_Leachs/Feb5_Aleksandr.pdf“rel=”nofollow noreferrer“>（此处定义5.1）</a>我试图构造一个鞅$\sum_{t=1,2，\dots}1_{S_{t-1}\leqB}（1_{k_t=k^*}-p_{k^*{）$并应用https://en.wikipedia.org/wiki/Azuma%27s_inquality（英文）“rel=”nofollow noreferrer“>Azuma-Hoeffing。然而，我不知道如何将Azuma-hoeffing中的固定离散时间$N$与我们问题中的随机停止时间$\tau$</sspan>联系起来

https://math.stackexchange.com/q/2948704 0 计算E（Xt）、Var（Xt”）和Cov（ts，Xs）汤12 https://math.stackexchange.com/users/596258 2018年10月9日T15:47:39Z 2024-06-18T19:02:55 Z

<a href=“https://i.sstatic.net/su32v.png“rel=”nofollow noreferrer“><img src=”https://i.sstatic.net/su32v.png“alt=”在此处输入图像描述“></a>我是研究B.M.的新手，我很难理解下面的计算是如何得出的。我不确定Var，Cov，但我想推导E（Xt）的答案需要考虑西格玛和μ是常数这一事实。我了解B.M.的基本属性，但我很难理解如何正确应用它们（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4934309 4 难以理解障碍选项蒂莫菲耶8384 https://math.stackexchange.com/users/734943网址 2024-06-18T15:52:49 Z 2024-06-18T15:52:49 Z

<区块报价>我们有以下包含屏障选项的合同：＜ul＞<li>如果在合同期间，$S_t$高于障碍水平$B$</sspan>，我们将收到$N\cdot\max（S_t-4.45,0），4.45&gt；B$来自银行，其中$N$-名义价值</li><li>如果在合同期内，$S_t$低于$B$</sspan>的水平，那么如果$S_t\ge4.65$，我们将从银行收到$N\cdot（S_t-4.65）$，否则我们将向银行付款>$N\cdot（4.65-S_T）$</li></ul></blockquote><ol><li>推导合同参数必须满足的条件，使其在签订时的值为零，即平衡构成本合同的工具的当前值</li><li>创建一个脚本，该脚本将根据此合同的其余参数确定$B$的值</li></ol>我对问题的理解：1.该合同包括一个直接购买障碍期权，如果$S_t$低于$B$</sspan>，该期权将失效。然后激活期权，包括向银行发行的看跌期权和我们以4.65美元的相同行权价格购买的看涨期权。因此，在签订合同时，应满足以下条件：$$\text{call}K_1=\text{call}K_2-\text{put}K_2$$然而，我不知道如何对障碍期权进行折现，我也没有在文献中找到任何帮助。有人能告诉我该用什么吗，或者给我一些小费吗（第页）2.我们的合同是美国式的障碍选项。因此，最终付款取决于合同期内$\min{S_t}$和$B$之间的关系。对于这项任务，我已经给出了市场数据，我可以使用vanna-volga方法计算各种值，但我完全不知道如何确定$B$屏障的值。我不希望任何人为我编写代码，只需要向我解释一下我可以使用什么条件来得出$B$的公式（第页）

https://math.stackexchange.com/q/208111 0 概率与距离成反比拉胡尔·纳拉帕 https://math.stackexchange.com/users/409006 2017年1月22日T00:45:40Z 2024-06-18T07:01:25Z

<a href=“https://i.sstatic.net/WS7cC.png“rel=”nofollow noreferrer“>教科书问题</a>在我的一个家庭作业问题中，我很难理解这样一句话：“概率与从当前位置”这三个距离分别是3厘米、4厘米和5厘米，我必须根据这个反比例规则为这三个事件分配概率，总计1（第页）我构造了以下方程式：（1/3）x+（1/4）x+然后，我求解x，得到x=（60/47），并将其乘以（1/3）、（1/4）和（1/5）。我的基本原理是找到一个常数因子，这样我就可以将概率分配给这三个事件，总计1，但我认为这是不对的（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4933196 4 平稳随机过程子序列的收敛性核武器 https://math.stackexchange.com/users/802456 2024-06-16T08:16:52Z 2024-06-17T18:08:07Z

设$\{X_n\}_{n=1}^\infty$是一个实值平稳随机过程，而$\{W_n\}_{n=1}^\infty$是一个二值随机过程，其中。我们将$W_n$称为事件选择过程，因为$W_n=1$标记事件的发生（第页）将$K_i$定义为第次$i$</span次$W_n=1$</span，即$K_i$</span是第次关键事件发生的时间：$$K_i=n\iff W_1+W_2+\cdots+W_n=i，W_n=1$$成对$（\{K_i\}，\{X_n\}）$现在是标记点过程的一个示例（第页）假设$Y_i=X_{K_i}$，即，$Y_i$</sspan>是第$i$</span个事件发生时进程的值（第页）问题陈述：证明序列$\{Y_i\}_{i=1}^\infty$在分布中收敛，因为$\{X_n\}$</sspan>和$\{W_n\}$是联合平稳的（第页）最后，我在寻找一些条件（施加在$X_n$、$W_n$和$K_I$</sspan>上），这些条件意味着序列$\{Y_I\}_{I=1}^\infty$是遍历的，即$$\lim_{N\rightarrow\infty}\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Ng（Y_i）=g（Y_ \infty）$$其中$Y_\infty$是一个随机变量，$Y_i$</sspan>向其收敛，而$g$</spa>是一些足够好的函数。但首先需要$Y_i$的收敛性和存在性（第页）我尝试的解决方案：我展示了以下不太一般的结果＜ul＞<li>如果$\{W_n\}$和$\{X_n\}$是独立的，并且$X_n$</sspan>是固定的，那么$Y_i$是相同分布的</li><li>如果$X_n$是i.i.d.，并且$W_n$通过$W_n=\mathbb依赖于它们{我}_{X_n\在B}$中，其中$\mathbb{I}$是指示符函数，而$B$是任意集（在潜在概率空间中可测量），然后$Y_I$均匀分布</li></ul>显然，相同分布的$Y_i$意味着它们（在分布中）收敛（第页）我处理更一般情况的方法包括查看概率$$P（Y_i\in A）=\sum_{n=1}^\infty P（X_n\in A，K_i=n）\\=sum_{n=1}^系数P（X_n在A中，W_1+cdots+W_{n-1}=i-1，W_n=1）$$并应用一些时移（由$X_n$和$W_n$的联合平稳性保证）来形成某种递推关系。通过这个循环，我可以证明$P（Y_I\in A）$收敛为$I\rightarrow\infty$。然而，我很难构建这样的递归关系，我发现自己陷入了困境（第页）

https://math.stackexchange.com/q/4933843 2 高斯过程的运行最大值分布有闭合形式的解吗？大安 https://math.stackexchange.com/users/881138 2024-06-17时间16:18:22 2024-06-17T16:18:22Z

设$X=（X_t）_{t\geq0}$是方差为零均值的高斯过程{E} X _ t X _ t^\顶部$并定义$$S_T=\sup_｛T\leq T｝X_T\quad T\in[0，\infty）$$$X$的运行最大值（第页）问题：如果我们知道$\sigma（T）$中的所有$T\in[0，T]$</sspan>，是否存在$S_T$的封闭形式解决方案（第页）首先，我试图用随机微积分的结果来研究这个问题。也就是说，如果我没记错的话，因为$X$是高斯的，那么对于任何$T$</sspan>，停止的进程是鞅，如果$\sigma（T）$是可预测的，那么根据鞅表示定理，我们可以写$$X_T=\int_0^T\xi\mathrm{d} W公司\四边形{P}（W）_T$$其中，$\mathcal{P}（W）_T$表示渐进过程的空间，其中$\mathbb{E}\int_0^TX_T^2\mathrm{d}\langle W\rangle_T=\mathbb{E}\ int_0^ TX_T ^2\ mathrm{d} t吨&它；\infty$。因此，$X$可以写成关于布朗运动的随机积分，并且布朗运动的运行最大值已经得到了很好的研究。即，对于布朗运动，我们知道$$P（\sup_{t\leq t}W_t&gt；x）=P（|W_t|&gt；x）\quad\对于所有x\in\mathbb{R}，\quad_for所有t\in[0，\infty）$$因此$\sup_{t\leq-t}W_t\sim|W_t|$。现在直觉告诉我也许$$S_T\sim|N（0，\int_0^T\sigma（T）\mathrm{d} t吨)|$$假设这与布朗运动的情形一致，即$\int_0^T\mathrm{d} t吨=T$，但提出证据比我预期的要难（第页）备注：作为一个小备注，我希望使用结果来判断一个过程是否确实是高斯过程。也就是说，在某些假设下，过程$X$应该是高斯的，而在另一种假设下，对于每个$t&gt；0$，因此，如果我们知道所有$t\in[0，t]$的$\sigma（t）$，则可以统计测试，在$t$时，我们观察到$S_T$大于某个值$x\in\mathbb{R}$（第页）

https://math.stackexchange.com/q/2333938 2 平方正态随机变量的MGF 苏珊_马特123 https://math.stackexchange.com/users/272910 2017年6月23日18:09:14Z 2024-06-17T12:28:05Z

<区块报价>如果$X\sim\mathcal{N}（\mu，\sigma^2）$和$Y=X^2$，那么$Y$的力矩生成函数（MGF）是什么（第页）</blockquote>回答：Y的MGF是：$$\mathbb{E}\left[E^{tY}\right]$$但是，首先我必须计算$Y$的PDF：$$\mathbb{P}（Y\leqx）=1-\mathbb{P}（x^2\geqx）=1-2\mathbb}（x\geq\sqrt{x}）$$我可以继续，但路还很长。有更短的路吗（第页）如果$X$是标准正态分布（$\mu=0$，$\sigma^2=1$），则$Y$将是卡方分布，其MGF对于$t&lt；为（1-2t）^{-0.5}；0.5$. 我怎样才能用它来获得我需要的东西（第页）