组合学分组理论着色活动题-数学堆栈交换

组合学分组理论着色活动题-数学堆栈交换 math.stackexchange.com最新30条 2024-06-29T01:28:10Z https://math.stackexchange.com/feeds/tag？标记名=组合+群理论+着色&amp；sort=最新 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://math.stackexchange.com/q/4837156 2 具有非对称图像的立方体的颜色？用户326210 https://math.stackexchange.com/users/362210 2024-01-01T22:37:30Z 2024-01-02T00:40:43 Z

我试图找出有多少种方法可以在立方体的六个面上绘制图形Z（或其任何旋转或反射）。也就是说，每个面有四个可能的标签：Z、N、И和镜像Z在计算标签数量时，任何两个与立方体适当旋转相关的立方体标签都应视为相同</p＞图形Z与立方体具有180度旋转对称性，没有其他对称性</p＞我熟悉伯恩赛德的计数引理，例如，我已经确定，如果我们忽略Z的旋转，而只是计算我们是使用Z的[旋转]Z还是它的镜像，我们将有10种可能的组合</p＞但我不知道如何在我们分配给面的标签也有自己的对称属性的情况下扩展这个计数过程。我写了一个计算机程序来计算它们，得到了216个，但总有可能我犯了错误——我更愿意正式知道如何证明这一点

https://math.stackexchange.com/q/4722552 0 波利亚边着色和顶点着色结合的枚举定理。 Gravis材料 https://math.stackexchange.com/users/777073 2023-06-20T22:28:55Z 2023-06-21T07:44:48Z

假设我们有一个四面体，其标签如下：<a href=“https://i.sstatic.net/d75tR.png“rel=”nofollow noreferrer“><img src=”https://i.sstatic.net/d75tR.png“alt=”标记四面体“/></a>我们想找出给顶点和边上色的不同方法的数量，例如2个顶点为绿色，2个顶点是红色，4个边为黑色，2个边为白色。旋转时，颜色被认为是相同的，但不是反射</p＞只需数一数，我就知道有9个。但我想知道波利亚的枚举定理在这种情况下是如何应用的</p＞实际上，我们可以做到以下几点</p＞1获取顶点和边的循环索引</p＞<div class=“s-table-container”><table class=“s-table”><头部><tr>旋转循环索引顶点循环索引边</tr></thead><t车身><tr><td>$1\次id$</td><td>$x_1^4$</td><td>$y_1^6$</td></tr><tr><td>$4\乘以120°$</td><td>$x_1^1x_3^1$</td><td>$y_3^2$</td></tr><tr><td>$4\乘以240°$</td><td>$x_1^1x_3^1$</td><td>$y_3^2$</td></tr><tr><td>$3\乘以180°$</td><td>$x_2^2$</td><td>$y_1^2y_2^2$</td></tr></tbody></表格></div>其中，对于$\alpha^i_j$，$j$表示循环长度，$i$表示其多重性</p＞将行相乘并相加$$\裂缝{1}{12}（x_1^4y_1^6+8\cdot x_1^1x_3^1y_3^2+3\cdot x_2^2y_1^2y_2^2）$$3替换颜色让我们取$（a+b）$作为顶点颜色的生成函数，取$（c+d）$作为边的生成函数。这样我们就得到了。$$\裂缝{1}{12}（（a+b）^4（c+d）^6+8\cdot（a+c）^1（a^3+b^3）^1美元找到$a^2b^2c^4d^2$的系数，即9我在从群论角度理解我的解决方案时遇到的主要问题是第2点和第3点，即：<ul><li>为什么边和顶点的循环索引结合了两列的点积</li><li>为什么我们可以为$x$和$y$使用单独的生成函数</li></ul>

https://math.stackexchange.com/q/4570838 1 $3$-四面体顶点着色的轨道大小。 jiten公司 https://math.stackexchange.com/users/424260 2022-11-07T00:18:42Z 2022-11-08T02:04:10Z

对于四面体的四个顶点着色的情况，由$\{1,2,3,4\}，$的集合$n=2$</sspan>颜色给出；有$2^4=16$颜色</p＞四面体（$A_4$）的旋转对称性如下所示：<ul><li>标识旋转：$e，$</li><li>沿顺时针和逆时针方向绕任何顶点旋转：$$（234），（432），（123），（312）</li><li>围绕相对边的中点旋转：$（12）（34），（13）（24），（14）（23）$$</li></ul>基于群元素对集合$X{n=2}的作用所诱导的映射，集合$X}$被划分为五个等价类（轨道）$轨道大小为：$1,4,6,4,1.$想知道颜色的数量是否更改为$n=3，$，那么轨道的大小是多少，而不需要为其制作详细的表格</p＞请审查：设，$n=3$颜色分别用$a、b、c$</sspan>表示 大小为$1$的轨道的元素如下：$aaaa，bbbb，cccc$集合$X{n=3}$的左边元素是$3^4-3=78.$</sspan>首先从三种颜色中选择两种颜色，即可得到集合元素：$2a-2b、2a-2c、2b-2c、$形式的$X{n=3}$</sspan>。接下来从第一个选择的位置填充两个位置（从$4$中取出）。这得出：$3C2\cdot 4C2\cdot 2=36$每个元素，$x，$都有稳定器$|\text{Stab}（x）|=2.$</sspan>其余元素为：$78-36=42.$它们有两种形式的轨道：a） 1a-3b，1a-3c，1b-3c美元：$这些元素的数量为：$4C3\cdot 3=12.$b） 3a-1b，3a-1c，3b-1c美元：$这些元素的数量为：$12.$仍然剩下$42-24=18$个元素吗</p＞编辑#1：$2a-2b、2a-2c、2b-2c、$的情况仅获得$18$</sspan>颜色。例如，首先从$3、$中选择一种特定的颜色，然后从$4$</sspan>中选择两个位置以使用该颜色填充。这给出了：$3.4C2=3.6=18$方式，但第二种颜色可以是左边两种颜色中的任何一种。这意味着需要乘以$2C1=2$方式。然后，获取$36$，而不是$18$</sspan>方式或颜色。例如，如果选择的第一种颜色（首先填充两个位置）是$a，$，那么：$aaxx，axxa，axax，xxaa，xaax，xaxa$还有三种选择第一种颜色的方法。因此，$18$方式。然后，有两种方法可以选择第二种颜色。但是，$aaxx、axxa、axax、xxaa、xaax、xaxa、$中存在对称性，因为只涉及两种颜色。因此，总共有18美元的不同颜色</p＞

https://math.stackexchange.com/q/4224906 4 轨道稳定器定理和立方体的着色学习者 https://math.stackexchange.com/users/161650 2021-08-15T08:58:40Z 2021-08-15T15:27:34Z

这个问题是关于6种颜色的立方体的颜色</p＞众所周知，一个人可以用6种颜色以30种不同的方式给一个立方体上色。观察这一点的方法是观察一个立方体可以旋转到24个不同的位置，这意味着对于一种颜色，有23种其他颜色与之等价。然后，总的颜色数$6$除以$24$得到$30$</sspan></p＞就集体行动而言，集体行动的集合是着色的集合，而集体是立方体的等距集合。旋转等价的24库仑构成了一个给定颜色的轨道和作用于立方体的一组等距线</p＞可以使用伯恩赛德引理来求轨道数</p＞但我想知道轨道稳定定理是否也适用。该定理表明，（=立方体的等轴测数=给定元素（=着色）的稳定器乘以其轨道的大小（=矩阵容器）</p＞现在我的问题是$\frac{48}{24}$等于2，而不是应该的$30$</sspan>。基本上，使用这个，我计算出稳定器的大小为$2$，但我认为这也是错误的，因为很明显，只剩下给定边的等距是恒等式</p＞所以我的问题是：<ol><li>有可能用轨道稳定器理论来计算给立方体上色的方法吗</p＞</li><li>本例中稳定器的尺寸是多少</p＞</li></ol>

https://math.stackexchange.com/q/4182522 1 只有两种方法可以得到四色正四面体，寻找简单的答案显示名称 https://math.stackexchange.com/users/944289 2021-06-25T06:38:14Z 2021-06-25T07:37:55Z

正四面体是一个三角形金字塔，其面都是等边三角形。有多少种不同的方法可以用红、蓝、绿、橙颜料来绘制一个正四面体的四个面，从而使两个面颜色不一样</p＞我在网上搜索了一下，得到的答案是$2$，但所有的解释我都想不起来了。有人能给我一个简单的答案（小学生可以理解）来解释为什么会这样，并且避免讨论伯恩赛德、轨道稳定器、组等

https://math.stackexchange.com/q/3801438 0 对完整图着色以得到不等边三角形、单色三角形珍妮Z https://math.stackexchange.com/users/818754网址 2020-08-24T07:24:59 Z 2020-09-11T01:38:16Z

让$n$是一组颜色，让$K_m$</sspan>是一个完整的图，我想找到一个用它给完整图的边着色的构造，这样每种颜色的单色三角形就会出现，而不等边三角形就会出现在一个完整图中。另一种方法是，给整个图的边上色，这样你就得到了一个三角形，它的所有边都用同一种颜色上色，而得到一个三角形的所有边用不同的颜色上色</p＞这里是我的尝试：我开始让$n=4$四种颜色，我假设有7个节点，然后我制作了下表，但我无法从表中获得一般结构，这是表\begin{array}{c|ccccccc}\cdot和amp；1和amp；2&amp；3&amp；4&amp；5&amp；6&amp；7\\\氯化氢1和amp；0（&amp；）；1和amp；2和amp；3&amp；4&amp；1和amp；2 \\2和amp；1和amp；0（&amp；）；3&amp；4&amp；3&amp；1和amp；4 \\3&amp；2和amp；3&amp；0（&amp；）；1和amp；3&amp；4&amp；2 \\4&amp；3&amp；4&amp；1和amp；0（&amp；）；2和amp；2和amp；4\\5&amp；4&amp；3&amp；3&amp；2和amp；0（&amp；）；2和amp；1 \\6和amp；1和amp；1和amp；4&amp；2和amp；2和amp；0（&amp；）；3\\7&amp；2和amp；4&amp；2和amp；4&amp；1和amp；3&amp；0\结束{数组}表中的数字表示1第一种颜色（黑色）、2第二种颜色（蓝色）、3第三种颜色（红色）、4第四种颜色（绿色），因此节点（1、2）由1（黑色）连接，节点1、3由2种蓝色连接$0$表示那里没有颜色，但您可以假设相同的数字，而不是$0$，我的意思是节点1,1通过1连接，节点2,2通过2连接 我试图为上表找到一个函数，我假设x和y是图的节点，然后我认为 （x，y）=（something）mod 5，但我找不到函数。此外，我正在考虑定义一个组和操作来设置表，然后将表中的条目视为颜色，但我迷失了方向</p＞

https://math.stackexchange.com/q/3453892网址 0 使用K个不同的单位单元堆叠NxNxN立方体的不同方法马杜苏达纳 https://math.stackexchange.com/users/168768 2019-11-27T23:57:25Z 2019-11-28T00:02:16Z

假设我们必须通过堆叠尺寸为1 x 1 x 1（以某些单位）的较小立方体来构建形状为N x N x N（以某些单元）的立方体。每个较小的立方体（单位立方体）都有K种不同的颜色，我们有足够的供应。我们可以用多少种不同的方法来堆叠这些立方体以形成更大的立方体</p＞可以相互旋转或镜像的较大立方体不被认为是不同的</p＞PS：我在stackexchange上看到了几个链接，但没有一个足够通用。很想知道是否有一个通用的公式可以帮助解决这个问题。还想知道当我们增加问题中的维数时会发生什么，即对于N x N x N x N超立方体</p＞

https://math.stackexchange.com/q/2994492网址 0 1*3网格边缘的着色莫特扎·索尔塔尼 https://math.stackexchange.com/users/485025 2018-11-11T21:41:51Z 2018-11-11T22:24:43Z

我试图找出以下问题中不同颜色的数量：考虑使用10根棍子和8个球形成一个1*3网格（如下所示）。使用$m$颜色进行着色。有多少种方法可以用$m$颜色给棍子上色？<a href=“https://i.sstatic.net/3UMJq.jpg网站“rel=”nofollow noreferrer“><img src=”https://i.sstatic.net/3UMJq.jpg网站“alt=”球是无法区分的，但边缘是清晰的，并进行了编号。“>”</a>我尝试使用伯恩赛德引理来计算不同的颜色，但我无法找到所有的对称群。任何帮助都将不胜感激</p＞

https://math.stackexchange.com/q/2742968 4 用4种颜色可以用多少种方法给正方形的边缘上色？博斯科 https://math.stackexchange.com/users/371243 2018年4月18日T12:30:28Z 2018年4月18日T13:29:45Z

在这种情况下，由于$D_4$元素的操作而不同的颜色被认为是相同的。我们也可以使用4种颜色的任意组合</p＞我使用了伯恩赛德引理</p＞首先，一组可能的颜色$X$具有$4^4$元素，因为我们可以绘制任何边缘任何颜色</p＞该标识修复了$X\因此\mathrm{Fix}（e）=4^4的每个元素$$j_x$沿x轴翻转，让我们为两条垂直边选择任意颜色，水平边的颜色必须匹配，因此总共是$\mathrm{Fix}（j_x）=4^3$种可能的颜色组合</p＞在不损失通用性的情况下，我们获得了$j_y$的相同结果，即沿y轴的翻转</p＞我们沿着正方形的对角线还有两次翻转。在这种情况下，对角线一侧的两条边必须与另一侧的各自边匹配，因此每次翻转的可能组合总数为$\mathrm{Fix}（j_{\pm\pi/4}）=4^2$</p＞$\pi/4$的旋转需要每个边上的每个颜色都相同，因此我们得到$\mathrm{Fix}（r_{\pi/4}）=4$个可能的组合。这也包括$\mathrm{Fix}（r_{-\pi/4}）=4$最后，对于$\pi/2$的旋转，上边缘和下边缘交换位置，左边缘和右边缘也交换位置，得到$\mathrm{Fix}（r_{\pi/2}）=4^2$，因为上下对可以有4种可能的颜色，而左右对可以有四种可能的色</p＞使用伯恩赛德引理，我们得到$$\mathrm{\#Colorings}=\frac{1}{|D_4|}\sum_{g\in g}\mathrm{Fix}（g）=\frac{4^4+2\cdot4^3+3\cdot4 ^2+2\cdot 4}{8}=55$$

https://math.stackexchange.com/q/2542164 0 bump立方体的旋转和对称性马赫利萨·莱基 https://math.stackexchange.com/users/492235 2017年11月29日T01:50:35Z 2017年11月29日T02:04:38Z

一个缓冲立方体有6个正方形面和32个三角形面。仅允许对象旋转（无镜像反射），此对象的对称组中有多少元素。最容易在32个三角形的排列中显示</p＞我很难找到这个群的元素，这个群的顺序是24，对称数等于一个立方体中的对角线数，12。我有一个缓冲立方体的网，想看看是否能得到列出的其中一种旋转颜色</p＞

https://math.stackexchange.com/q/2317882 2 伯恩赛德引理在金字塔上的应用用户403023 https://math.stackexchange.com/users/403023 2017年6月10日23:01:21Z 2017-06-11T17:13:06Z

如果我们使用黄色、白色和绿色，一个金字塔的面（带有我们不着色的方形底）有多少种旋转不同的颜色</p＞我在这个任务中使用了伯恩赛德引理，得到了：$$\frac{1\cdot 3^4+2\cdot 3+1\cdot3^2+2\cdot3+2\cdot3+2}{8}=\ frac{81+6+9+54+18}{8{2}=21$$有一个标识元素保持所有$3^4$元素不变</p＞有一个$90$度和一个$270$度的旋转，因此每个都有$3$可能的颜色</p＞有一个$180$度的旋转，我有$3\cdot 3=3^2$种可能的颜色</p＞我也有对称的面对面。这里有两种对称：修复两个面对面，有$3\cdot 3$种方法为固定面着色，而其他两个必须具有相同的颜色，因此有$3$种可能的着色。因此，有$2\cdot 3^3$可能的颜色</p＞最后是对角线对称。我只需要在对称的一侧给两张脸上色，所以$2\cdot 3^2$</p＞这是正确的吗</p＞

https://math.stackexchange.com/q/53859 4 着色十二面体贾斯卡 https://math.stackexchange.com/users/13589 2011年7月26日T16:06:25Z 2015年5月10日16:51:21Z

几个月前，我发现有波利亚枚举定理可以计算十二面体的着色数。我很感兴趣，想知道如何只用伯恩赛德引理来表示，有9099种方法可以用三种颜色给十二面体着色。我怎么计算</p＞

https://math.stackexchange.com/q/848515 6 是否可以分区$\mathbb{无}_+$into a*finited*family of set complete not closed under$+$？$into一个在$+$下完全不封闭的有限集合族？保罗·诺瓦克 https://math.stackexchange.com/users/121603 2014年6月26日T16:35:24Z 2014年6月26日T17:11:11Z

假设$A\subseteq\mathbb{无}_+$在$+$下未完全关闭，如果$$\对于a}中的所有{a，b[{a+b\notinA}]$$是否可以分区$\mathbb{无}_+$into afinitedfamily of set complete not closed under$+$</p＞

https://math.stackexchange.com/q/416377 2 这个图着色问题解决得对吗？巴尔泰克 https://math.stackexchange.com/users/23371 2013年6月10日T12:37:01Z 2013年6月10日T15:15:29Z

打开<a href=“http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside%27s_lemma“rel=”nofollow“>这是关于伯恩赛德引理的维基百科页面，据计算，一个立方体的面上有57种旋转不同的颜色，有三种颜色。我对这种方法感到困惑他们将引理应用于所有$3^6$函数的集合，为每个面指定一种颜色。这是正确的吗？关于图形着色的页面上说，面部着色是指相邻的两张脸没有相同的颜色。在我看来，这里的证明忽视了这个定义。我该如何理解这一点？这里计算的是什么？我怎么计算另一个呢</p＞