math.stackexchange.com最新30条 2024-06-13T10:26:32Z https://math.stackexchange.com/feeds/question/4341134网址 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://math.stackexchange.com/q/4341134 5 香港Bst https://math.stackexchange.com/users/261514 2021-12-24T12:24:13Z 2021-12-25T02:44:36Z

<p><a href=“https://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number#计算_by_rounding“rel=”noreferrer“>根据维基百科</a>，可以将Binet的斐波那契数公式倒置：</p><p>$$F_n=\frac{\varphi^n-\psi^n}{\varpi-\psi}=\frac{\varfi^n-\psi ^n}{\sqrt 5}$$</span>其中$\varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}约1.61803\，39887\ldots$和$\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=1-\varphi=-{1\over\varphi}\近似-0.61803\，39887\ldots$</span>，或者更具体地说是其截断变量：</p><p>$$F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}+\frac{1}{2}\right\rfloor$$</p><p>找到不大于实数的最大斐波那契数$F&gt的索引$n（F）$</span>；1美元</span>：</p><p>$$（F）=\left\lfloor\log_\varphi（F\sqrt5+1/2）\right\rfloor$$</p><p>由于没有给出理由，除了楼层函数是单调的之外，我想证明这一点</p>（第页）<p>因此，假设截断公式成立：$$F_n=\left\lfloor\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}+\frac{1}{2}\right\rfloor$$</span>$$F_n=\frac{\varphi^n}{\sqrt 5}+\frac{1}{2}+E，\text{where$0\le E&lt；1$}$$</span>$$\varphi^n=\sqrt5（F_n-\frac{1}{2}-E），\text{where$0\le E&lt；1$}$$</span>$$n\log\varphi=\log（\sqrt5（F_n-\frac{1}{2}-E）），\text{where$0\le E&lt；1$}$$</span>$$n=\log_\varphi（\sqrt5（F_n-\frac{1}{2}-E）），\text{where$0\le E&lt；1$}$$</p><p>由于n是一个整数，我们可以发言：</p><p>$$n=\lfloor n\rfloor=\left\lfloor\log_\varphi（\sqrt5（F_n-\frac{1}{2}-E））\right\rfloor，\text{where$0\le E&lt；1$}$$</span>$$n=\left\lfloor\log_\varphi（\sqrt5 F_n\left（1-\frac{1+2E}{2F_n}\right）\right\rfloor，\text{where$0\le E&lt；1$}$$</span>$$n=\left\lfloor\log_\varphi（\sqrt5 F_n）+\log_\ varphi\left（1-\frac{1+2E}{2F_n}\right）\right\rfloor，\text{where$0\le E&lt；1$}$$</span></p><p>这似乎不是正确的道路</p>（第页）

https://math.stackexchange.com/questions/4341134/-/434161#4341161 6 克劳德·莱博维奇 https://math.stackexchange.com/users/82404 2021-12-24T13:15:46Z 2021-12-25T02:44:36Z

<p>我们有<span class=“math container”>$$F_n=\frac｛\phi^n-（-\frac｛1｝｛\phi｝）^n｝｛\sqrt｛5｝｝$$</span>什么可以反转写<span class=“math-container”>$$\phi^{2n}-F_n\sqrt{5}\，\phi^n-（-1）^n=0$$</span>，它是$\phi^n$</sspan>中的二次方。所以<span class=“math container”>$$\phi^n=\frac｛F_n\sqrt｛5｝+\sqrt｛5F_n^2 \pm 4｝｝｛2｝\暗示n_\pm\log（\phi）=\log\Bigg[\frac｛F_n\sqrt｛5｝+\sqrt｛5F_n^2 \pm 4｝｝｛2｝\Bigg]$$</span>两种解决方案之一是整数<span class=“math-container”>$$\左(\开始{数组}{cccc}n（&amp；n）；F_n（&amp；）；n-和；氮+\\3&amp；2和amp；3000万&amp；3.209573980 \\4&amp；3&amp；3.907487979和；4.000000000 \\5&amp；5&amp；500亿&amp；5.033256487 \\6和amp；8&amp；5.987011534和；6.000000000 \\7&amp；13和；70000000000&amp；7.004918572 \\8&amp；21和；7.998115113和；8.000000000 \\9&amp；34和；90000000000&amp；2007年9月19061日\\10&amp；55岁及以上；9.999725212和；10\结束{数组}\右）$$</p><p>如果不是这样，那么这个数字就不是斐波那契。尝试<span class=“math-container”>$12345678987654321$，结果是$n_pm=78.669724$；所以，它不是斐波那契数（但我们知道最接近的一个）。$$F_{78}=8944394323791464\quad&lt；\四线组12345678987654321$$</span>$$F{79}=14472334024676221\quad&gt；\四元12345678987654321$$</span></p><p>编辑</p><p>考虑两个根之间的区别：考虑$F_n$</span>是大的，并进行一系列扩展$$n_+-n_-\sim\frac{2}{5F_n^2\log（\phi）}&lt；\压裂{1}{F_n^2}$$</p>