计算高度为$h$的$n$个顶点上（标记和未标记）根树的数目-数学堆栈交换

计算高度为$h$的$n$个顶点上（标记和未标记）根树的数目-数学堆栈交换 math.stackexchange.com最新30条 2024-06-16T13:46:58Z https://math.stackexchange.com/feeds/question/1801039 https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/rdf https://math.stackexchange.com/q/1801039 4 计算高度为$h的$n$个顶点上（标记的和未标记的）根树的数目$ 用户340082710 https://math.stackexchange.com/users/44711 2016年5月26日T16:22:44Z 2018年10月22日12:24:59Z

据我所知，$n$顶点上带标签的根树的数量是$n^{n-1}$。计算高度为$h$的$n$个顶点上（有标签和无标签）根树的数量有已知结果吗？请注意，这些树不需要是二进制的。此外，如果可能的话，我正在寻找一个封闭形式的答案，它可能是$n$和$h$的函数。在最坏的情况下，如果不知道确切结果，我想知道渐近量（第页）

https://math.stackexchange.com/questions/1801039/-/1801475#1801475 5 Marko Riedel关于计算高度为$h的$n$个顶点上有根树（标记和未标记）的数目的回答$ 马尔科·里德尔 https://math.stackexchange.com/users/44883 2016年5月26日T23:29:24Z 2018年10月22日下午2:24:59

有了OP提出的问题，我会尽力做推荐人就是这样，提供与OEIS的链接。令人惊讶的是，即使是OEIS在此没有提供通常的各种参考，这表明这个问题是公开的。我们计算生成函数$T_{leh} （z）$对于高度最多为$h$</sspan>，则所需计数为由$T_{\leh}（z）-T_{\leh-1}（z）给出$ 我们为标记的组合类$$\mathcal{T}（T）_{\le h}=\数学{Z}\def\textsc#1{\dosc#1\csod}\def\dosc#1#2\csod{{\rm#1{\small#2}}}\times\textsc{SET}（\mathcal{T}（T）_{\le h-1}）$$ 对于标记的案例，这转换为$$T_{\le-h}（z）=z\exp T_{\le h-1}（z）$$其中$T_{\le0}（z）=0$和$T_{\tle1}（z）=z.$例如，使用$h=3$，我们得到$$T_｛\le 3｝（z）=z\exp（z\exp（z））$$从而产生序列<a href=“https://oeis.org/A052512“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A052512</a>：$1，2，9，40，205，1176，7399，50576，\ldots$$对于$h=4$，我们得到$$T_{\le 4}（z）=z（exp（z\exp（z（z）））$$从而产生序列<a href=“https://oeis.org/A052513“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A052513</a>：1、2、9、64、505、4536、46249、526352美元 我们为未标记的组合类$$\mathcal{T}（T）_{\le h}=\mathcal{Z}\times\textsc{MSET}（\mathcal{T}（T）_{\le h-1}）$$其转化为如下的生成函数，$$T_{\le-h}（z）=z\exp\左（sum{l\ge 1}\压裂{T_{leh-1}（z^l）}{l}\right）$$其中，$T_{\le 0}（z）=0$和$T_{\ le 1}（z）=z$（第页）我们得到了$$T_{le2}（z）=z\exp\left（\sum_{l\ge1}\frac{z^l}{l}\right）=z\exp\log\frac{1}{1-z}=\frac{z}{1-z}$$这些是根节点，附带有单例。继续我们得到的递归$$T_{\le 3}（z）=z\exp\左（sum{l\ge 1}\压裂{1}{l}\sum{q\ge1}z^{ql}\right）=z\exp\左（sum{q\ge 1}\sum{l\ge1}\frac{1}{l}z^{ql}\right）\\=z\exp\sum_{q\ge1}\log\frac{1}{1-z^q}=z\prod_{q\ge1}\frac{1}{1-z^q}$$从而产生序列<a href=“https://oeis.org/A000041“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A000041</a>：$1、1、2、3、5、7、11、15、22、30、42、56美元（毫不奇怪，当我们为根和其余部分是一个最多为高度的单扇形分区两个，其中每个节点计数只有一个）（第页）从$T_{\le4}（z）$我们得到序列<a href=“https://oeis.org/A001383“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A001383</a>：$$1，1，2，4，8，15，29，53，98，177，319，565，\ldots$$最后，$T_{\le5}（z）$生成序列<a href=“https://oeis.org/A001384“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A001384</a>：1、1、2、4、9、19、42、89、191、402、847美元这里有两种解释，这取决于单例应该有零或一个高度。相关链接如下<a href=“https://math.stackexchange.com/questions/1183643/“>MSE链接</a> 备注。分区数增长的复杂性提供了此问题的难度，即如果不是更困难的话。更详细地研究OEIS条目似乎可以计算出这些疾病的简单复发率（第页） 关于标记病例鉴别的复发生产$$T'{\leh}（z）=\exp T_{\leh-1}（z）+z\exp T_{leh-1}（z）\times T'_{leh-1}（z）\\=\frac{1}{z}T_{leh}（z）+T_{leh}（z）\乘以T'{leh-1}（x）$$提取这里的系数$$！[z^n]T'_{\le h}（z）=T_{\le h，n+1}=n！[z^{n+1}]T_{\le h}（z）+n！[z^n]T_{\le h}（z）\乘以T'_{\le h-1}（z）\\=frac{1}{n+1}T_{leh，n+1}+n！\和{q=1}^{n}[z^q]T_{\leh}（z）[z^{n-q}]T'{\leh-1}（z）\\=frac{1}{n+1}T_{leh，n+1}+sum_{q=1}^{n}{n选择q}T_{leh，q}T_{leh-1，n-q+1}$$我们得到了闭合形式$$\bbox[5px，border:2px solid#00A000]{T_{leh，n+1}=frac{n+1}{n}\和{q=1}^{n}{n选择q}T_{leh，q}T_}leh-1，n-q+1}。}$$这里的边界条件是$T_{leh，1}=1$和$T_{0,1}=0.$ 将微分应用于未标记的案例产量$$T'{\le-h}（z）=\exp\left（\sum_｛l\ge 1｝\frac｛T_｛\le h-1｝（z^l）｝｛l｝\right）\\+z\exp\left（\sum_{l\ge1}\frac{T_{leh-1}（z^l）}{l}\right）\时间\sum{l\ge1}T'{leh-1}（z^l）z^{l-1}\\=\frac{1}{z}T_{leh}（z）+T_{\le-h}（z）\times\sum_{l\ge1}T'{\leh-1}（z^l）z^{l-1}$$提取我们找到的系数$$[z^n]T'{\leh}（z）=（n+1）T_{\leh，n+1}\\=[z^{n+1}]T_{leh}（z）+\sum_{l=1}^n\和{q=1}^n[z^q]T_{\le h}（z）[z^{n-q}]z^{l-1}T'{\le h-1}（z^l）\\=T_{\le h，n+1}+\sum_{l=1}^n\和{q=1}^nT_{\le h，q}[z^{n-q-l+1}]T'{\le h-1}（z^l）$$我们得到了闭合形式$$T_{leh，n+1}=\裂缝{1}{n}\sum{l=1}^n\和{q=1}^nT_｛\le h，q｝[[l|n-q+1]]（（n-q+1）/l）T_｛\le h-1，（n-q+1）/l｝$它简化为$$\bbox[5px，border:2px solid#00A000]｛T_｛\le h，n+1｝=\裂缝{1}{n}\sum{q=1}^n\sum{l|n-q+1}（n-q+1）/l）$$边界条件与标记的情况相同（第页） 这种循环使得计算$T_{le6，n}成为可能$这就产生了$1、1、2、4、9、20、47、108、252、582，\\13453086707216121美元即<a href=“https://oeis.org/A001385“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A001385和$T_{\le 7，n}$这就产生了$$1、1、2、4、9、20、48、114、278、676，\\1653、4027、9816、23843美元即<a href=“https://oeis.org/A034823“rel=”nofollow noreferrer“>OEIS A034823</a> 实现这两个循环的Maple代码如下（第页）<预>电话：=过程（h，m）选项记忆；局部n；如果m=1，则如果h=0，则返回0，否则返回1 fi-fi；n：=m-1；（n+1）/个*加（二项式（n，q）*T（h，q）*T（h-1，n-q+1），q=1..n）；结束；X（X）：=过程（h，m）选项记忆；局部n；如果m=1，则如果h=0，则返回0，否则返回1 fi-fi；n：=m-1；1/n个*加（加（X（h，q）*`如果&#96；（n-q+1模l=0，（n-q+1）/l*X（h-1，（n-q+1）/l），0），q=1…n），l=1..n）；结束；</pre>