但这些是吗建设性的平方填充曲线？

毫无疑问，曲线本身是构造性定义的，例如作为一致连续映射的极限。不久前，我甚至制作了一段视频，展示了希尔伯特曲线的极限过程：

希尔伯特曲线具有建设性吗？差不多：

定理1： 对于正方形中的任何一点，它到希尔伯特曲线的距离为零。

证明。回想一下，希尔伯特曲线$\gamma:[0,1]\到[0,1]^2$是一致连续映射序列$\gamma_n:[0,1]到[0,1]^n$相对于连续映射空间$\mathcal{C}（[0,1]，[0,1]*2）$上的上确范数的极限。有限级$\gamma_n$逐渐接近方形中的每个点。因此，对于任何$\epsilon>0$和$p\in[0,1]^2$，都有$n\in\mathbb{n}$和$t\in[0.1]$，这样$d（p，\gamma_n（t））<\epsilon/2$和$d（\gamma_n（t$\盒子$

经典地，定理1足以得出希尔伯特曲线是满射的结论。从建设性的角度来说，我们必须稍微修改一下。回想一下，$\gamma$是自相似的，因为它是由四个自身副本组成的，每个副本按系数$1/2$缩放，经过平移和旋转，精确覆盖了单位平方的四分之一。问题在于：四个相邻的四分之一大小的正方形无法覆盖单位正方形。我们应该使它们稍微大一点，以便重叠。

给定一个比例因子$\alpha$，让我们定义广义希尔伯特曲线$\gamma^\alpha:[0,1]\to[0,1]^2$，其构造与通常的希尔伯特曲线相似，但具有比例因子$\ alpha$。与其在LaTeX中写下公式，不如在Mathematica中编程曲线并绘制一些图片（参见直觉Hilbert.nb)。

在$\alpha=0.5$时，我们恢复了通常的希尔伯特曲线：

当$\alpha=0.4$时，曲线不是平方填充：

在$\alpha=0.6$时，我们得到了一个正方形填充曲线，该曲线在有限阶段已经重叠：这就是我们想要的。

为了好玩，这里有一段视频，显示了$\alpha$从0.4$到0.8$的第8级曲线。

随着$\alpha$的增加，图像在方形中心变得更密集，在边界附近变得更稀疏，但这是显示有限阶段的伪影。只要$\alpha>0.5$，实际曲线$\gamma^\alpha$到处都是同样稠密的。回到正经事上：

定理2： 假设依赖性选择，广义希尔伯特立方体$\gamma^\alpha$为1/2<\alpha<1$。

证明。定义转换$T_0^\alpha、T_1^\alfa、T_2^\alva、T_3^\alba:[0,1]^2\到[0,1]|2$：

• $T_0^\alpha（x，y）=（\alpha\cdot y，\alpha\ cdot x）$
• $T_1^\alpha（x，y）=（\alpha\cdot x，1-\alpha\ cdot（y-1））$
• $T_2^\alpha（x，y）=（1-\alpha\cdot（x-1），1-\alpha\cdot（y-1））$
• $T_3^\alpha（x，y）=（1-\alpha\cdot y，\alpha\ cdot（1-x））$

每一个都将单位正方形映射到带有边$\alpha$的较小正方形上：

• $T_0$缩放并将单位正方形反射到$[0，\alpha]\次[0，\ alpha]上$
• $T_1$将单位正方形缩放为$[0，\alpha]\乘以[1-\alpha，1]$，
• $T_2$将单位正方形缩放为$[1-\alpha，1]\乘以[1-\alpha，2]$，
• $T_3$缩放并反射到$[1-\alpha，1]\次[0，\alpha]$上。

由于$\alpha>1/2$，这四个正方形重叠（而不仅仅是接触），因此它们建设性地覆盖了$[0,1]^2$。给定[0,1]^2$中的任意$p\，我们可以使用依赖选择来查找$T_{i_1}、T_{i_2}、T_{i_3}、\ldots$的序列，这样$p=T_{i_1}（T_{i_3{（\cdots））$，因此$p=\gamma^\alpha（T）$，其中[0,1]$中的$T\是写在基4中的数字$0.i_1i_2i_3\ldots$$\盒子$

我们也可以在没有依赖选择的情况下完成吗？我们当然不能放弃所有的选择。

定理3： 在单位正方形$\mathrm{Sh}（[0,1]^2）$上的滑轮拓扑中，没有平方填充曲线。

证明。设$I$是拓扑中的单位间隔，即它是值为$[0,1]$的连续映射的层。考虑内部声明，即存在从$I$到$I^2$的回注：

$$\存在\gamma:I\到I^2.\，\对于I ^2.\中的所有p\，\存在于I中，\γ（t）=p\tag{1}$$

通过处理层语义（感谢Andrew Swan与我一起喝了一杯咖啡，虽然我声称拥有所有错误），它在开放集$U\subsetq[0,1]^2$上的有效性等于以下条件：存在$U$的开放封面$（U_I）_I$，带有连续映射$\gamma_I:U_I\times[0,1]\ to[0,1]|2$，这样，对于每个$i$、每个打开的$V\subseteq U_i$和连续的$p:V\到[0,1]^2$，存在一个$V$的打开封面$（V_j）_j$，并且连续映射$t_j:V_j\到[0.1]$，这样对于V_j$中的所有$j$和$V\，$\gamma_i（V，t_j（V））=p（V）$。

在所述条件中实例化$p:V\到[0,1]^2$，并包含$p（V）=V$，以获得每$j$$\gamma_i（v，t_j（v））=v$适用于v_j$中的所有$v\。因此，映射$\gamma_i{\restriction}_{V_j}:V_j\times[0,1]\to V_j$有一个连续的部分，即映射$V\mapsto（V，t_j（V））$。但不可能有这样的地图，因为它会违反域不变性，除非$V_j=\emptyset$。因此，（1）保持$U$的唯一方法是$U$为空$\盒子$

总结一下这个论点：在滑轮的拓扑中，“$\gamma$是surpjective”是一个非常强的条件，即$\gama$具有局部截面，并且由于拓扑或几何原因，这些局部截面可能不存在。同时，我们仍然有定理1，所以在滑轮的拓扑中，通常的希尔伯特曲线在单位正方形中没有留下空白。

我们如何理解“黎曼假设（RH）没有确定的真值”这一说法？

让我首先谈谈我认为没有价值的两种可能的解释。

首先，有人可能会认为“相对湿度没有一个明确的真值”与“相对湿度既非真也非假”相同。这是胡说八道，因为“RH既不是真的也不是假的”是语句$\neg\mathrm{RH}\land\neg\neg\mathrm{RH}$，通过非贸易法我希望这里没有讨论。因此，任何声称“RH既非真也非假”的人都意味着他们发现了一个悖论。

第二，将语法无效、格式错误或其他损坏的语句拖到讨论中是令人困惑甚至有害的。说“$（x+（-\leq 7$没有明确的真值”是没有意义的。真值的概念不适用于任意的语法垃圾。即使人们认为这是一个好主意，它也不适用于RH，RH是一个格式良好的公式，可以赋值。

在处理了注定失败的尝试之后，让我们问一下这个语句的精确数学含义是什么。值得注意的是，我们正在讨论语义。这个真值句子$P$是某些布尔代数$（B，0，1，{\land}，{\lor}，}\lnot}）$的B$中的元素$I（P），由解释函数$I$赋值。（我假设是经典逻辑，但如果我们切换到直觉主义逻辑，什么都不会改变，只要用Heyting代数替换布尔代数即可。）考虑到这一点，我可以想出三种解释“RH没有明确的真值”的方法：

1. 真值$I（\mathrm{RH}）$既不是$0$也不是$1$。（不要将此元语句与对象语句$\neg\mathrm{RH}\land\neg\neg\mathrm{RH}$混淆。）当然，要实现这一点，必须使用包含$0$和$1$以外的布尔代数。

2. $I（\mathrm{RH}）$的真值因模型和解释函数而异。这种现象的一个例子是连续体假说，这在一些集合理论模型中是正确的，在其他模型中是错误的。

3. 解释函数$I$无法为$\mathrm{RH}$分配真值。

假设我们已经建立了健全和完整的语义，上面的第一和第二个读数都相当于RH的不可判定性。事实上，如果RH的真值在所有模型中都不是$1$，那么RH是不可证明的，如果它不固定在$0$，那么它是不可反驳的，因此它是不可以判定的。相反，如果RH不可判定，则其真值在Lindenbaum-Tarski代数既不是$0$也不是$1$。我们可以按自己的意愿对代数进行商运算，使值变成真或假。

第三种选择是，一个人的口译功能很差，应该回到画板上来。

在一些讨论中，“相对湿度没有明确的真实值”似乎带有人类中心主义成分。真理的价值是不确定的，因为缺乏对它的了解，或者因为理解陈述有认知障碍，等等。我发现这些与布劳威尔反例支持直觉主义逻辑的辩论。

我能合理理解“$P$没有明确的真值”的唯一领域是前数学，甚至是哲学。可能的情况是，$P$指的是缺乏精确形式描述的前数学概念，或者其现有的形式描述被认为有问题。这种情况与上述第三种情况类似，但不能仅仅视为技术缺陷。Solomon Feferman的数学需要新的公理吗？其中讨论了连续统假设的意义和真值。（然而，我不知道有人会认真争论黎曼假设的数学意义是否有争议。）

那么，我所说的“相对湿度没有确定的真值”是什么意思？没什么，我永远不会这么说，我也不明白这意味着什么。RH显然在每个模型中都有一个确定的真值，如果运气好的话，我们会找到哪一个。（抢先反驳：“标准模型”的概念是一个神秘的概念，而那些陷入“预期模型”的人则缺乏想象力。）

幻灯片： CiE-2023-幻灯片.pdf.

A类连续性原理声明来自给定类的所有函数都是连续的。一个愚蠢的例子是这种说法

离散空间$X$中的每个映射$f:X\到Y$都是连续的。

双重

每个映射$f:X\到Y$到一个不具体的空间$Y$都是连续的。

同样愚蠢，但这两个证明了我们的意思。

为了找到更有趣的连续性原则，我们必须跳出经典数学。Brouwer倡导了一个著名的连续性原则：

Brouwer的连续性原理： 每个$f:\mathbb{N}^\mathbb{N}\to\mathbb2{N}$都是连续的。

这里，连续性是关于$\mathbb{N}$上的离散度量和由

$$\textstyled（\alpha，\beta）=\lim_n2^{-\min\lbrace k\in\mathbb{n}\，\mid\，k=n\lor\alpha_k\neq\beta_k\rbrace}$$

公式表明，如果$k\in\mathbb{N}$是$\alpha_k\neq\beta_k$的最小值，则$\alba$和$\beta$之间的距离为$2^{-k}$。（限制是存在的，因此定义也具有建设性。）Brouwer的连续性原则在Kleene-Vesley拓扑.

在有效地形我们有以下连续性原则：

KLST连续性原则： 从完全可分度量空间$X$到度量空间的每个映射$f:X\到Y$$Y$是连续的。

字母K、L、S和T是克赖塞尔,丹尼尔·拉孔贝,约瑟夫·肖恩菲尔德，以及格里戈里·泽廷,他在可计算性理论的背景下证明了这个定理的各种变体（上述版本最接近于泽廷的）。

第三种具有良好连续性原则的地形是约翰斯通的拓扑拓扑，见Davorin Lešnik的第5.4节博士学位论文了解详细信息。

有一种系统的方法来组织这种连续性原则合成拓扑回想一下，在合成拓扑中，我们首先将“开放真值”的对象$\Sigma\subseteq\Omega$公理化，称为优势，并定义固有拓扑$X$的值为指数$\Sigma^X$。这个想法是基于对传统拓扑的观察：拓扑a空间$X$与连续映射$\mathcal｛C｝（X，\mathbb｛S｝）$是双射对应的，其中$\mathbb｛S｝$是Sierpinski空间.

假设映射$f:X\到Y$是本质上连续当invese图像映射$f^\star$将本质开集映射到本质开集时。

本质连续性原则： 每个映射$f:X\到Y$本质上是连续的。

证明。Sigma^Y$中$U的逆图像$f^\star（U）$是\Sigma*X$中的$U\circ f。□

考虑到证明是多么微不足道，我们不能指望从内在连续性原则中榨取太多。在经典数学中，这个原理是微不足道的，因为存在$\Sigma=\Omega$，所以所有的内在拓扑都是离散的。

但假设我们知道$X$和$Y$的固有拓扑是度量的也就是说，它们与一些度量$d_X:X\times X\to\mathbb{R}$和$d_Y:Y\times Y\to\mathbb{R}$诱导的度量拓扑一致。那么，内在连续性原则意味着每个映射$f:X\到Y$相对于度量都是连续的。但这会发生吗？在“合成拓扑中的度量空间“Davorin Lešnik和我自己的研究表明，在Kleene-Vesley拓扑中，完全可分离度量空间的内在拓扑确实是度量化的。因此，我们可以将Brouwer的连续性原则归结为两个事实：

1. 简单的一般事实：内在连续性原则。
2. 硬性具体事实：在Kleene-Vesley拓扑中，完全可分度量空间的内在拓扑被度量。

我们可以同样考虑KLST连续性原则吗？我的回答是肯定的提交纸张，通过翻译迪特·斯普林的“关于有效拓扑共享空间“从可计算性理论和编号集到合成拓扑。会发生什么out是一个新的拓扑分离属性：

定义：A类Spreen空间是具有以下分隔属性的拓扑空间$（X，\mathcal{T}）$：如果x$中的$x\通过本质开放子集与显性$T\subseteq x$分开，则它已经被分开通过$\mathcal{T}$-open子集从它开始。

准确地说，Spreen空间$（X，\mathcal{T}）$满足：如果S\in\Sigma^X$和$S$中的$X\与公开的$T\subsetqX$不相交，则存在一个开放的$U\in\mathcal{T}$，使得U$中的$X\和$U\cap T=\emptyset$。合成KLST声明：

合成KLST连续性原则： 从显Spreen空间到逐点正则空间的每个映射都是逐点连续的。

证据足够短，可以在这里复制。（我跳过了一些细节，重要的是我们需要开放集本质上是开放的。）

证明。考虑一个从显Spreen空间$（X，mathcal）到Y$的映射$f:X\{T} X（_X）)$到常规空格$（Y，\mathcal{T} Y（_Y）)$. 给定x$中的任何$x和mathcal中的$V{T} 是（_Y）$这样$f（x）\在V$中，我们寻找$U\在mathcal中{T} X（_X）$这样，U\subseteq f^\star（V）$中的$x\。因为$Y$是正则的，所以在mathcal中存在不相交的$W_1、W_2{T} 是（_Y）$使得W_1\subseteq V$中的$x\和$V\cup W_2=Y$。逆图像$f^\star（W_1）$包含$x$，并且本质上是开放的。它也与$f^\star（W_2）$不相交，后者是显的，因为它是显空间的本质开放子集。由于$X$是一个Spreen空间，因此存在$U\in\mathcal{T} X（_X）$使U$中的$x\和$U\cap f{*}（W_2）=\emptyset$，$U\subsetq V$从中跟随。□

有一些非普通的Spreen空间吗？在古典数学中，每一个斯普林空间都是离散的，所以我们必须另眼相看。我展示了它们在综合可计算性方面的丰富性：

定理（综合可计算性）： 基于计数的清醒空间是Spreen空间。

请查阅论文以获得证明。

这里有一个紧急模式：取一个在非常特殊的情况下成立的定理，例如在特定拓扑或反经典公理的存在下，并对其进行重新表述，使其普遍成立，有一个简单的证明，但为了展示该定理的一些有趣实例，我们必须努力工作。这些定理的其他例子是什么？我知道一个，即劳弗尔不动点定理。它花费了一些精力来生成它的非平凡示例，再次在合成可计算性方面，请参见关于综合可计算性中的不动点定理.

这里有带有演讲者备注的幻灯片和视频录制谈话的重点。

这些是带有演讲者备注的幻灯片和谈话的录像.

摘要：

人们常说，所有数学原则上都可以在适当选择的基础上形式化，例如具有集合论的一阶逻辑、高阶逻辑或类型论。当人们试图大规模地这样做时，“原则上”这个限定词的真正含义就被揭示了：数学实践不仅包括写在纸上的文本，无论它们多么详细，还包括能够有效沟通和理解数学文本的潜规则和技巧。虽然学生可以通过观察和模仿来学习这些，但对计算机的期望却不一样。

在本次讲座中，我们将首先回顾一些非正式的数学实践，并将它们与证明助手中的相应技术联系起来，例如隐式参数、类型类和策略。然后，我们将更普遍地问，这些需要仅仅是一堆技巧，还是可以组织成适当的数学理论。

卡蒂亚·贝尔奇奇为我的演讲制作了一个超级酷的标志：

谢谢你，卡佳！如果你是Trekkie，你应该弄清楚。

摘要：

19世纪，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）、尼古拉·洛巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）和贾诺斯·博利艾（János Bolyai）发现了违反平行假设的几何体。最初，这些被认为不如欧几里得几何，欧几里得几何被普遍认为是物理空间的真正几何。随后，伯恩哈德·里曼（Bernhard Riemann）、阿尔伯特·爱因斯坦（Albert Einstein）和其他人的工作将几何学从教条的桎梏中解放出来，并使其蓬勃发展，超越了非欧几里德几何学发明家的想象。

一个世纪后，历史重演，这一次，整个数学世界都处于危险之中。直觉数学和经典数学之间的分裂对一个真正数学的理想提出了挑战，正如L.E.J.Brouwer和David Hilbert之间的竞争故事中所体现的那样。不久之后，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在逻辑方面的工作暗示了众多数学世界的必然性。这些很难被视为逻辑诡辩，因为它们为集合论和数学基础的基本问题提供了答案。20世纪后半叶给我们带来了更多的数学世界：科恩的集合理论强迫，亚历山大·格罗斯内迪克的滑轮，F.威廉·劳弗尔和迈尔斯·蒂尔尼的基本拓扑，马丁·海兰德的有效拓扑，以及许多其他的。

我们将探索浩瀚的数学多元宇宙中的一个小角落，观察每一个典型的数学对象，即实数领域。有一个宇宙，其中实域包含莱布尼茨的无穷小，在另一个宇宙中实域都是可计算的，有一个实域不能分为两个互不相交的子集，还有一个是所有子集都是可测量的。甚至有一个宇宙中的实相是可数的。可能性的范围令人困惑，但也鼓舞人心。它引出了合成数学的概念：就像几何学家和物理学家选择最适合当前情况的几何学一样，数学家可以选择在一个按顺序制造或合成的数学宇宙中工作，这最能抓住感兴趣主题的本质和性质。

在这个场合史蒂夫·阿沃迪组装Dana Scott的精选作品CMU-HoTT/斯科特存储库。这是一个惊人的论文集，对逻辑、集合论、计算和编程语言产生了深远的影响。我希望将来我们可以扩展它，并可能以更好的格式呈现它。

作为一种特殊的待遇，我在这里讲述了一个故事，即著名的非类型$\lambda$-演算的$D\infty$模型的发明。我第一次听到它是在我还是达纳的学生时。2008年，我要求Dana以简短采访的形式重新讲述这件事。

如今，领域理论是数学的一个成熟分支。它对编程语言的理论和实践产生了深远的影响。你什么时候开始做的，为什么？

达娜·斯科特：1968/69年，我和家人在阿姆斯特丹。1969年夏天，我在IFIP WG2.2上认识了斯特拉奇。1969年秋天，我从普林斯顿大学请假，和他一起在牛津工作。我试图说服斯特拉奇使用基于域的类型理论。

您的一个著名结果是构造了一个域$D_\infty$，该域与它自己的连续函数空间$D_\ infty\到D_\ infty$同构。你是怎么发明的？

出生日期：$D_\infty$后来才来。我记得那是1969年11月的一个安静的星期六。我已经证明，如果域$D$和$E$有有限元的可数基，那么连续函数空间$D\到E$也是如此。在理解$D\to E$的基础比$D$和$E$的基更复杂的频率时，我想，“哦，不，一定存在一个坏的$D$，它的基太‘密集’了，以至于$D\toD$的基也同样复杂——事实上，是同构的。”但我从未以这种方式证明模型的存在，因为我很快就看到$X\mapsto（X\to X）$的迭代在极限中构造了一个合适的基。这是实际的$D_\infty$构造。

你为什么说“哦，不”？这是一个重要的发现！

出生日期：由于我多年来一直声称无类型的$\lambda$-演算没有“数学”模型（区别于术语模型），我对自己说：“噢，不，现在我得吃我自己的话了！”

1936年的Church-Rosser定理保证了项模型的存在，这意味着非类型lambda演算是一致的？

出生日期：对。

域$D_\infty$是一个涉及的构造，它为具有$\beta$-和$\teta$-规则的微积分提供了一个模型。给出一个只满足$\beta$-规则的模型容易吗？

出生日期：由于自然数$P\omega$（具有合适的拓扑结构）的幂集对于基于可数的$T_0$-空间是通用的，并且由于连续格是每个超空间的收缩，因此$P\ω到P\omega$是$P\omega$的收缩。这给出了一个没有任何无穷极限构造的非$\eta$模型。但我所知道的连续格在1969年还没有发明。

感兴趣的读者可以在哪里阅读有关这个主题的更多信息？

D.S.公司：我推荐这两个：

• D.斯科特。ISWIM、CUCH、OWHY的类型理论替代方案《理论计算机科学》，第121卷（1993年），第411-440页。
• D.斯科特。关于斯特拉奇及其作品的几点思考。Christopher Strachey特刊，由O.Danvy和C.Talcott编辑。高阶和符号计算，第13卷（2000年），第103-114页。

非常感谢你！

达娜·斯科特：不客气。

摘要：类型理论的原始语法，或者更广泛地说，具有绑定结构的形式系统的原始语法不仅涉及自由变量和绑定变量，还涉及元变量，这些变量在推理规则中具有特征。每个变量的概念都有一个相关的替换概念。从一种类型理论到另一种类型的句法翻译带来了更多层次的替换，这一次是将类型理论构造器映射到术语。使用三个替代级别进行工作，每个级别都依赖于前一个级别，既繁琐又重复。人们觉得应该有更好的方法来处理语法。

在本次演讲中，我将介绍一个相对的单子函数，它捕获了更高等级的语法，一下子解决了替换和保持绑定的语法转换的所有概念。单子的范畴结构正好对应于绑定和替换的理想句法属性。语法的特殊情况，如普通的一阶变量，或带有变量和元变量的二阶语法，可以通过将相对单数预先组合并适当地将限制变量上下文包含到一般单数中来轻松获得。语法在包含过程中迁移的元理论性质。

相对单子具有足够的表达能力，可以为简单类型理论提供内在语法的概念。如何改进单子来解释依赖类型理论的内在语法，还有待观察。

谈话笔记：这是手写的谈话笔记这涵盖了我在演讲中无法表达的内容。

正规化：我已经开始了更高等级语法的形式化，但遇到了一个问题，请参阅下文。有人能提出解决方案吗？（您可以下载语法.agda.)

{-试图形式化（原始）高秩语法。我们定义了语法的概念，该概念允许更高等级的绑定器，变量和替换。变量的一般概念是特殊情况：*顺序1：普通变量和替换，例如λ演算*第二阶：元变量及其实例化*顺序3：依赖类型理论中的符号（术语形成器），例如∏、∑、W和理论之间的句法转换语法由一类语法类参数化。对于例如，在依存类型理论中可能有两种句法类ty和tm，对应于类型和术语表达式。-}模块语法（类：集合），其中{-形状也可以称为“语法变量上下文”，因为它们分配给每个变量都有其语法一致性，但没有类型信息。arity是带有语法类的绑定形状。形状指定变量接受多少个参数以及它如何绑定参数的变量。类指定变量的语法类，因此指定它形成的表达式。我们将形状建模为二叉树，以便易于连接其中两个。一种更传统的方法模型以列表的形式出现在这种情况下，必须附加列表。-}中缀6_数据形状：设置位置𝟘 : 形状--空形状[_，_]：∀（γ：形状）（cl:类别）→ 形状——只有一个变量的形状_∀_：\8704；（γ：形状）（δ：形状）→ 形状--形状的不相交和中缀5[，]∈_{-de Bruijn索引是二进制数，因为形状是二进制的树木。[δ，cl]∈γ是γ中的可变指数集，其arity是（δ，cl）.-}数据[_，_]∈_：形状→ 等级→ 形状→ 设置位置var-here:{θ}{cl}→ [θ，cl]∈[θ、cl]var-left:{θ}{cl}{γ}{δ}→ [θ，cl]∈γ→ [θ，cl]∈γδvar-右：{θ}{cl}{γ}{δ}→ [θ，cl]∈δ→ [θ，cl]∈γδ{-示例：假设ty：类--类型类假设tm：类——术语类序号-变量-整体：类→ 形状序数-变量-整体c=[𝟘 , 【抄送】二元类型可变整体：形状二进制-类型-变量-完整性=[[𝟘 , tm][𝟘 , tm]，ty]∏-数：形状∏-数=[[𝟘，第[第]页𝟘 , tm]，ty]，ty】-}{-因为一切都是变量，甚至是符号，所以只有一个表达式构造器``通过应用形成和表达式变量x到参数ts.-}--表达式中缀9_`_数据表达式：形状→ 等级→ 设置位置_`_：{γ}{δ}{cl}（x:[δ，cl]∈γ）→（ts:{θ}{B}（y:[θ，B]∈δ）→ 实验（γŞθ）B）→ 实验γcl--重命名中缀5_→ʳ__→ʳ_：形状→ 形状→ 设置γ →δ={θ}{cl}（x:[θ，cl]∈γ）→ [θ，cl]∈δ--身份重命名𝟙ʳ : ∀ {γ} → γ →ʳ γ𝟙ʳx=x--重命名的组成中缀7__∘ʳ_ : ∀ {γ} {δ} {η} → (δ →ʳ η) → (γ →ʳ δ) → (γ →ʳ η)（r）x=r（s x）--重命名扩展⇑ʳ : ∀ {γ} {δ} {Θ} → (γ →ʳ δ) → (γ ⊕ Θ →ʳ δ ⊕ Θ)⇑ʳr（变量左x）=变量左（r x）⇑ʳr（var-right y）=var-right y--重命名表达式的操作中缀6[_]ʳ_[_]ʳ：∀{γ}{δ}{cl}（r:γ→δ）→ 实验γcl→ 实验δcl[r]ʳ（x`ts）=r x`λ{y→ [ ⇑【r】【ts y】--替代中缀5_→ˢ__→ˢ_：形状→ 形状→ 设置γ →ˢδ=∀{∈}{cl}（x:[∈，cl]∈γ）→ 表达式（δθ）cl--旁注：注意Expr定义中的ts只是一个替换--现在，当我们试图在naive中定义身份替换时遇到了一个问题--时尚。Agda拒绝接受该定义，因为它在结构上不是递归的。--{-#终止#-}𝟙ˢ : ∀ {γ} → γ →ˢ γ𝟙ˢx=var-left x`λy→  [ ⇑ʳvar右]ʳ𝟙ˢy{-处理非终止问题的最佳方式是什么？我尝试过：1.大小类型：结果好坏参半，也许我不知道如何使用它们2.基础良好的递归：它会变得混乱且不易使用3.重新组织上述定义，但非结构递归总是在强烈建议使用使恒等式代换计算的解决方案。对于替换的其他操作，例如合成，问题仍然存在以及替代的作用。-}

菲利普的论文类型理论的有效元理论由三部分组成：

1. 概念的表述和研究有限类型理论和标准型理论。这些与一般类型理论是用彼得·卢姆斯代恩，但都是为实现量身定制的。

2. 公式和研究无语境有限类型理论这是没有明确上下文的类型理论。相反，变量用其类型进行注释。菲利普表明，一个人可以在类型理论的两个版本之间进行转换。

3. 一种新颖有效的元语言仙女座元语言（AML）用于证明助手，它使用代数效果和处理程序来允许通用证明助手和用户之间的灵活交互。

Anja的论文类型理论的元分析及其在形式证明设计中的应用还有三个部分：

1. 公式和研究有限型理论的变换与有限类型理论的相关类别。

2. A类用户可扩展的等式检查算法对于标准类型理论，它专门针对特定类型理论的几种现有等式检查算法。

3. A类一般精化定理其中，类型理论的转换被用来证明每一个有限类型理论（不一定完全注释）都可以被详细描述为一个标准类型理论（完全注释）。

此外，菲利普在实施无语境类型理论和有效元语言方面做了大量工作仙女座2Anja实现了通用的等式检查算法。在最终推出论文的过程中，实施过程受到了一些影响，并且落后了。我希望我们能加快速度并使其可用。Anja有关于如何在证明助手中实现类型理论转换的想法。

当然，我对这些特别的结果感到非常高兴，但更让我高兴的是，菲利普和安雅在类型理论作为数学和计算机科学的一个分支的发展中迈出了重要的一步：他们没有研究特别的类型理论或其狭隘家族，这是迄今为止的规范，但一般依赖型理论他们的论文包含有趣的非平凡元理论，这些理论适用于大类类型理论，毫无疑问可以进一步推广。外面有很多低垂的水果。