综合可计算性类别中的帖子
我忘了记录两年前我写过一篇论文的事实综合可计算性中的Lawvere不动点定理：
安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）：关于合成可计算性中的不动点定理.第比利斯数学杂志，第10卷：第3期，第167-181页。
这是一期纪念教授的特刊彼得·J。弗雷德和F.威廉劳弗尔在他们80岁生日。
劳弗尔的论文“对角线参数和笛卡尔闭合类别证明了一个美丽简单的不动点定理。
定理：（罗维尔）如果$e:A\到B^A$是一个满射，那么每个$f:B\到B$都有一个不动点。
证明。因为$e$是一个满射，所以a$中有$a\，这样$e（a）=\lambdax:a\，.\，f（e（x）（x））$，但随后$e（a）（a）=f（e$\方框$
Lawvere的原始版本有点笼统，但这里给出的版本非常清楚，Lawvere's不动点定理是结晶形式的对角线论点。事实上，定理的反正形式，即
推论： 如果$f:B\到B$没有固定点，则不存在$e:A\到B^A$的满射。
直接暗示了一些著名的定理，这些定理依赖于对角线论证。例如，由于映射$x\mapsto 1-x$在$\lbrace 0，1\rbrace$中没有不动点，因此不可能有surpjection$A\to\lbrace0，1\\rbrace^A$，这就是Cantors定理。
要找到Lawvere定理适用的非平凡实例并不容易。事实上，如果排除中间值，那么具有$e:a\到B^a$的满射意味着$B$是单元素。我们应该在经典集合以外的类别中寻找有趣的实例。在我的论文中，我这样做了：我证明了有效拓扑中基于可数的$\omega$-cpos是可数的，并且在可数乘积下是闭的，这给了我们丰富的对象$B$供应，因此存在一个到B^\mathbb{N}$的满射。
享受报纸！
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以下是我在维也纳2014年逻辑大讨论会上的幻灯片。这是与日本高级科学技术研究所的吉村和尊（Kazuto Yoshimura）的合作。
摘要：在构造数学中，我们经常考虑非构造推理原则之间的含意。例如，众所周知，全知的有限原则意味着实数相等是可以决定的。大多数这样的减少是通过将结果的实例减少为先行的实例来进行的。因此，我们可以定义实例可还原性它的结构非常丰富。更好的是，在Kleene的函数可实现性解释中，实例可约性对应于Weihrauch可约性，而Kleenes的数字可实现性则将其与真实可约性联系起来。我们还可能会问，在可计算性理论中，对其他可约性的建设性处理。我将讨论如何通过克莱恩的数字可实现性建设性地处理图灵可约性。
带有谈话笔记的幻灯片： lc2014-幻灯片-注释.pdf
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在德国Fischbachau的EST培训研讨会上，我做了两次关于合成可计算性理论的讲座。这个版本的谈话包含递归分析的材料，在MFPS XXI版本类似的谈话。
摘要：
可计算性理论是逻辑和计算机科学的基础，它研究可计算函数和可计算集。它的经典表示通常包含相当数量的哥德尔编码。因此，出现了许多可计算性理论的演示，旨在以抽象和概念上令人满意的方式呈现该主题。我们基于两种这样的方法，即Hyland的有效拓扑和Richman在主教式构造数学中的公式，从几个简单的公理出发，发展了基本的可计算性理论。因为我们想要一个尽可能类似于普通数学的理论，所以我们从不谈论图灵机器和哥德尔编码，而是使用集合论和
拓扑结构。
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摘要：可计算性理论是计算机科学的基础，它研究可计算函数和可计算集。它的经典表达通常包含相当数量的哥德尔编码，有时会模糊巧妙的论点。因此，出现了许多可计算性理论的演示，旨在以抽象和概念上令人满意的方式呈现该主题。我们基于两种这样的方法，即Hyland的有效拓扑和Richman在主教式构造数学中的公式，从几个简单的公理出发，发展了基本的可计算性理论。因为我们想要一个尽可能类似于普通数学的理论，所以我们从不谈论图灵机和哥德尔编码，而是使用集合论和拓扑学中熟悉的概念。
提交地点：编程语义数学基础XXI，伯明翰，2004年（受邀演讲）。
下载论文： 合成.pdf,合成.ps.gz
下载幻灯片： 合成幻灯片.pdf
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