建构数学类帖子
1890年朱塞佩·皮诺发现了一条平方填充曲线一年后，大卫·希尔伯特发表了他的变种在那些日子里，人们没有用运球浪费读者的注意力——皮亚诺在3页纸上解释了这一切，希尔伯特只在2页纸上用图片解释了这一点！
但这些是吗建设性的平方填充曲线？
→继续阅读
在迪特·斯普林75岁生日之际逻辑与分析杂志.我已经提交了一篇论文“Spreen空间和综合Kreisel-Lacombe-Shoenfield-Tseitin定理”，作为预印本提供arXiv:2307.07830这对Dieter关于可计算函数连续性的著名定理的推广形成了建设性的解释。在这篇文章中，我解释了这篇论文是如何适应更一般的连续性原则主题的。
→继续阅读
不久前，我以前的学生徐创杰我用一个层拓扑.为此，
- 我们建设性地发展了数学，
- 我们在Martin-Löf类型理论中形式化了我们的数学阿格达符号，
- 我们按下按钮，然后
- 几秒钟后，我们看到前面的整数。
好吧，在步骤（3）-（4）中，电脑只需要几秒钟，而在步骤（1）-（2）中，我们只需要三年。
→继续阅读
乔尔·哈姆金斯在推特上公布了以下定理：
定理： 全部完成 命令字段是同构的。
标准证明Joel发布的内容分为两部分：
- 一个完整的有序域是阿基米德域。
- 利用阿基米德域中有理数稠密的事实，我们构造了任意两个完全有序域之间的同构。
第二步是构造性的，但第一步是使用排除中间进行证明的，如下所示。假设$F$是一个完整的有序字段。如果F$中的$b\是自然数的上界，被解释为$F$的子集，那么$b-1$也是如此，但$F$中没有任何元素可以是$\mathbb{N}$的最小上界。通过排除中间，F$中的每个$x上方都有$n\inmathbb{n}$。
所以我问自己和建设性新闻邮件列表定理的构造状态是什么。但有些地方出了问题，比如弗雷德·里奇曼立即要求我提供一个完整有序字段的示例。他为什么要这么做，难道我们没有麦克尼尔·雷尔斯？在就定义达成一致后，托比·巴特尔斯给出了答案，我冒昧地稍作修改并在这里呈现。我可能只是在重新设计方向盘，所以如果有人知道原始参考，请在评论中提供。
这个定理具有建设性，但有一个奇怪的原因：如果存在一个完整的有序场，那么排除中间点定律成立，标准证明有效！
→继续阅读（11条评论）
我有一段时间没有写博客了，所以我决定写一篇关于直觉主义逻辑中真理值的简短观察，这有时似乎有点令人费解。
设$\Omega$是真值的集合（在Coq中，这将是基本类型为$\mathsf｛Prop｝$的setoid，等式为等价的$\left-rightarrow$，而在HoTT中，这是h-命题）。调用真值$p:\Omega$中间的如果它既不是真也不是假，即$p\neq\bot$和$p\neq\top$。这种“第三”真实值$p$被排除在外的中间层所禁止。
难题在于解释以下两个事实是如何结合在一起的：
- “没有中间真值”是一个直觉定理。
- 直觉主义逻辑有很多真值模型。
→继续阅读（6条评论）
以下是我在维也纳2014年逻辑大讨论会上的幻灯片。这是与日本高级科学技术研究所的吉村和夫共同开展的工作。
摘要：在构造数学中，我们经常考虑非构造推理原则之间的含意。例如，众所周知，全知的有限原则意味着实数相等是可以决定的。大多数这样的减少是通过将结果的实例减少为先行的实例来进行的。因此，我们可以定义实例可约性它的结构非常丰富。更好的是，在Kleene的函数可实现性解释中，实例可约性对应于Weihrauch可约性，而Kleenes的数字可实现性则将其与真实可约性联系起来。我们还可能会问，在可计算性理论中，对其他可约性的建设性处理。我将讨论如何通过克莱恩的数字可实现性建设性地处理图灵可约性。
带有谈话笔记的幻灯片： lc2014-幻灯片-注释.pdf
→继续阅读
在岗位上看似不可能的功能程序，我编写了越来越高效的Haskell程序实现数学陈述
$\表示所有p:X\到2。（存在x:x.p（x）=0）$
对于$X=2^\mathbb{N}$康托集合无限二进制序列，其中$2$是二进制数字的集合。然后在岗位上有限时间无限搜索的Haskell单子我研究了如何使用上述相应的Haskell实现器系统地构造这样的集合$X$全知原则.
在本文中，我给出了无限集$X$和相应的构造性示例证明他们的全知全能主教数学，我有形式化的在里面马丁·洛夫 类型理论在里面阿格达符号。这排除了下面讨论的示例$X=2^\mathbb｛N｝$，但包括许多有趣的无限示例。我还研究了从给定集合构造新的全知集合的方法。这些集合尤其包括：，序数，我们可以找到最少的证人如果有目击者。
Agda是一种基于Martin-Löf类型理论的依赖类型函数编程语言。由咖喱-霍华德信件，Agda也是一种用于形成数学定理（类型）并写下其证明（程序）的语言。阿格达是一个彻底的裁判，只接受正确的定理和证明。此外，Agda可以运行您的证明。这里有一个图表这是本文的主要Agda模块，下面是一个完整图形所有模块。
→继续阅读（1条评论）
在HoTT的书中第460期提问者贪吃的奶奶（人们从哪里得到这些昵称？）再次暴露了我们试图解释的一个常见误解第5.8节（非常感谢Bas Spitters将这本书放入谷歌图书，现在我们可以链接到特定的页面）。显然，以下信念广为传播，我承认几年前就持有这一信念：
归纳类型正好包含我们通过重复使用构造函数获得的那些元素。
如果你相信上述说法，你应该继续阅读。我要说服你，这个说法是没有根据的，或者至少它阻碍了你理解类型理论。
→继续阅读（29条评论）
在我看来，人们认为我是一个建设性的数学家，或者更糟糕的是一个建构主义者（这个词带有一定的哲学污名）。让我非常清楚地说：我是否是一位建构主义数学家还不确定。
→继续阅读（44条评论）
众所周知，无论是在构造数学还是在编程语言中，类型都是秘密拓扑空间，函数也是秘密连续的。我之前曾在帖子中利用过这一点看似不可能的功能程序和有限时间无限搜索的Haskell单子，使用Haskell语言。语言基于马丁·洛夫型理论例如阿格达，有一组所有类型。这可以用于定义将数字映射到类型的函数$\mathbb{N}\to\mathrm{Set}$，将类型映射到类型上的函数$\tathrm{Set}\to\fathrm}$，等等。
因为$\mathrm{Set}$本身是一个类型，一个大型的小型类型，所以它必须有一个秘密拓扑。这是怎么一回事？有多种接近方式拓扑。最流行的是通过开放集。对于某些空间，可以使用收敛序列，这种方法在我们的情况下更方便。事实证明，宇宙$\mathrm｛Set｝$的拓扑结构是不凝结的：每个类型序列收敛到任何类型！我应用这个来推断$\mathrm{Set}$满足以下结论赖斯定理：它没有非平凡的、可扩展的、可判定的属性。
要了解其工作原理，请检查：
可以通过单击任何（定义的）符号或单词来导航Agda页面，特别是通过单击导入的模块名称。
→继续阅读（2条意见）
我不知道该把这一块称为建设性的宝石还是石头。我想这是个人品味的问题。我认为这是一块宝石，尽管很不寻常：有一个拓扑，其中$\mathbb{N}^\mathbb2{N}$可以嵌入到$\mathbb{N{$中。
→继续阅读（3条评论）
为我的部分联合教程做准备校样中的程序在MFPS 27型本月底乌尔里希·伯杰,莫妮卡·塞森伯格、和保罗·奥利瓦，我在阿格达我们一起做的一些事情。
使用
为了给出经典可数选择的证明项，我们证明了Agda中的经典无限鸽子洞原理：每个无限布尔序列都有一个常数无限子序列，其中存在量化是经典的（双重否定）。
作为推论，我们得到了有限鸽子洞原理，利用弗里德曼的技巧使存在量词直观。
这个我们可以跑，它跑得足够快。重点是在Agda中说明我们如何从使用可数选择的经典证明中获得证人。当然，有限鸽子洞原理有一个简单的构造性证明，因此这实际上只是为了说明。
Agda的主要文件是
这些是转换为html的Agda文件，因此您可以通过单击单词来浏览它们的定义。A类zip文件所有Agda文件都可用。没有更多可用信息在这里.
实现Berardi-Bezem-Coquand、Berger-Oliva和Escardo-Olifa函数的三个小模块禁用了终止检查程序，但其他模块都没有。Agda中这些功能的类型是J移位原理它概括了双重否定移位。
→继续阅读（3条评论）
我想我已经上瘾了Coq公司或者更广泛地说，是用计算机做数学，包括证明。我上周完成了哥德尔逻辑函数解释的形式化，也称为辩证逻辑解释。现在似乎还没有一个可用的，这是一个发表博客文章的好机会。
→继续阅读（6条评论）
与达沃林·勒什尼克.
摘要：我们研究了每一个集合都具有内在拓扑的拓扑合成方法与度量空间的构造理论之间的关系。我们将康托空间紧性的综合概念与布劳沃的范数原理联系起来。我们证明了完全可分度量空间的内禀拓扑和度量拓扑在Baire空间中是一致的。在俄罗斯建构主义中，合成拓扑和度量拓扑之间的匹配被打破，因为即使是一个非常简单的完全有界空间也不能是紧的，并且其拓扑严格地比度量拓扑精细。相反，在Brouwer的直觉主义中，拓扑和紧性的综合和度量概念是一致的。
下载论文： csms_in_synthtop.pdf
→继续阅读
以下参数是经常被引用作为一个例子，说明了排除中间逻辑和经典逻辑规律的必要性。我们应该证明两个无理数$a$和$b$的存在，使得它们的幂$a^b$是有理的。根据排除中间律，$\sqrt{2}^{\sqrt}2}$是否有理。如果它是有理的，那么取$a=b=\sqrt{2}$，否则取$a=\sqrt}2}^{\sqrt[2}}$和$b=\scrt{2}$。无论哪种情况，$a^b$都是合理的。让我们从建设性的角度考虑一下这一点。
→继续阅读（18条评论）
这些是我的幻灯片和扩展摘要MSFP公司2008年演讲。显然，我忘记在网上发布了。关于阿格达邮件列表中的谈话有点相关，所以我现在发布。
摘要：可实现性是直觉主义逻辑的一种解释，它包含了Curry-Howard对命题的类型解释，因为它允许实现者使用非终结、存储和异常等计算效果。因此，我们可以使用可实现性作为程序开发和提取的框架，它允许任何类型的编程，而不仅仅是Curry-Howard通信支持的纯功能性编程。与合作克里斯托弗·斯通我们开发了RZ，这是一个使用可实现性将以构造逻辑编写的规范转换为用逻辑断言注释的接口代码的工具。RZ不从证明中提取代码，但允许任何实现方法，从手写代码到其他工具从证明中抽取的代码。根据我们的经验，RZ对于规范非平凡理论很有用。虽然计算效果的使用确实提高了效率，但也使得很难推理程序并证明其正确性。我们通过考虑Brouwerian连续性原理的非纯函数实现器来证明这一事实。
下载： msfp2008-2008幻灯片.pdf,msfp2008摘要.pdf
→继续阅读（2条意见）
我展示了如何使用Haskell中的单子来构造无限搜索算法，并确实免费获得它们。这是我博客帖子的后续内容看似不可能的功能程序.在两篇论文中允许快速穷举搜索的无限集（LICS07）和高类型计算中的穷举集（LMCS08），我讨论了哪些类型的无限集允许在有限时间内进行穷举搜索，以及如何系统地构建此类集。在这里，我使用单子来构建它们，这使得算法更加透明（并且更加经济）。
→继续阅读（14条评论）
在2008年MSFP在冰岛我聊过丹·皮珀尼他鼓励我写下一些想法。我几乎没有原创性可言，所以这似乎是发表博客文章的绝佳机会。那么让我解释一下为什么我认为直觉数学有利于物理学.
→继续阅读（37条评论）
与伊兹托克·卡夫克勒.
摘要：我们提出了一个连续域的预测性、构造性理论，其可实现性解释给出了连续上下链完全偏序集及其之间的连续映射的实际实现。我们将该理论应用于区间域和精确实数的实现。
下载：构造域.pdf
→继续阅读
与伊兹托克·卡夫克勒.
摘要：区间域是由Dana Scott提出的实数域理论模型。这是一个成功的理论构想，也启发了许多实数计算模型。然而，当前最先进的实数实现，例如Mueller的iRRAM和Lambov的RealLib，似乎并不基于区间域。事实上，他们的作者观察到，诸如函数单调性等领域理论概念阻碍了计算效率。
我将回顾精确实数算法的现代实现中使用的数据结构和算法。它们提供了重要的见解，但关于哪些理论模型支持它们，以及我们如何证明它们是正确的，仍存在一些问题。事实证明，正确性并不总是明确的，好的旧区间域仍然有一些技巧可以提供。
下载幻灯片： 域8-slides.pdf
→继续阅读（5条评论）
与Davorin Lešnik合作。
摘要：我们研究了度量空间的构造理论与合成拓扑之间的关系。它们之间的联系是通过要求空间的内在拓扑和度量拓扑之间存在关系来建立的。我们提出了一个非经典公理，它具有几个理想的结果，例如，可分离度量空间之间的所有映射在度量意义上都是连续的，并且在拓扑等价之前，一个集合最多可以配备一个度量，这使得它是完全的和可分离的。
演示地点： 形式拓扑第三次研讨会
下载幻灯片： 3wft.pdf格式
→继续阅读
与伊兹托克·卡夫克勒.
摘要：RZ是一种工具，它使用逻辑的可实现性解释将数学结构的公理化转换为程序规范。这有助于程序员正确实现可计算数学的数据结构。RZ没有规定具体的实现方法，但允许程序员手工编写高效的代码，或者从形式证明中提取可信的代码，如果他们愿意的话。我们使用这种方法将实数公理化，并实现了RZ计算的指定。公理化是实数作为区间域的最大元素的标准域理论构造，而实现则紧跟当前精确实数算法的最新实现。我们的结果表明，计算数学的理论和实践不仅可以共存，而且它们可以和谐地协同工作。
演示时间：2007年分析中的可计算性和复杂性.
下载论文： rzreals.pdf格式
下载幻灯片： cca2007幻灯片.pdf
→继续阅读
为了卢布尔雅那大学数学系拓扑研讨会的观众，我写了一篇关于Kleene树的自足解释，这是可计算性理论中一个有趣的对象。为了地球上其他地方的利益，我在这里发布它。
→继续阅读（2条意见）
你可能已经听说过，有些数学家认为全部的功能是连续的。解释这一点的一种方式是可计算的功能是连续的。许多人（甚至专家）都不理解的一点是，这种说法的真实性取决于我们使用的编程语言。
→继续阅读（40条评论）
在构造数学中，即使是非常小的集合也可能比在经典数学中更有趣。既然你不会相信我说的，至多有一个元素的集合是非常有趣的，那么让我们看看真值集合，它有“两个”元素。
→继续阅读（18条评论）
建构主义数学实际上是如何解释排斥中间律的。→继续阅读（8条评论）