空间填充曲线，建设性

• 2024年1月30日
• 安德烈·鲍尔
• 建构主义数学,宝石和石头

1890年朱塞佩·皮诺发现了一条平方填充曲线一年后，大卫·希尔伯特发表了他的变种在那些日子里，人们没有用运球浪费读者的注意力——皮亚诺在3页纸上解释了这一切，希尔伯特只在2页纸上用图片解释了这一点！

但这些是吗建设性的正方形填充曲线？

毫无疑问，曲线本身是构造性定义的，例如作为一致连续映射的极限。不久前，我甚至制作了一段视频，展示了希尔伯特曲线的极限过程：

希尔伯特曲线具有建设性吗？几乎：

定理1： 对于正方形中的任何一点，它到希尔伯特曲线的距离为零。

证明。回想一下，希尔伯特曲线$\gamma:[0,1]\到[0,1]^2$是一致连续映射序列$\gamma_n:[0,1]到[0,1]^n$相对于连续映射空间$\mathcal{C}（[0,1]，[0,1]*2）$上的上确范数的极限。有限级$\gamma_n$逐渐接近方形中的每个点。因此，对于任何$\epsilon>0$和$p\in[0,1]^2$，都有$n\in\mathbb{n}$和$t\in[0.1]$，这样$d（p，\gamma_n（t））<\epsilon/2$和$d（\gamma_n（t$\盒子$

经典地，定理1足以得出希尔伯特曲线是满射的结论。从建设性的角度来说，我们必须稍微修改一下。回想一下，$\gamma$是自相似的，因为它是由四个自身副本组成的，每个副本按系数$1/2$缩放，经过平移和旋转，精确覆盖了单位平方的四分之一。问题在于：四个相邻的四分之一大小的正方形无法覆盖单位正方形。我们应该使它们稍微大一点，以便重叠。

给定一个比例因子$\alpha$，让我们定义广义希尔伯特曲线$\gamma^\alpha:[0,1]\to[0,1]^2$，其构造与通常的希尔伯特曲线相似，但具有比例因子$\ alpha$。与其在LaTeX中写下公式，不如在Mathematica中编程曲线并绘制一些图片（参见直觉Hilbert.nb).

在$\alpha=0.5$时，我们恢复了通常的希尔伯特曲线：

当$\alpha=0.4$时，曲线不是平方填充：

当$\alpha=0.6$时，我们得到一条在有限阶段已经重叠的平方填充曲线：这就是我们想要的。

为了好玩，这里有一段视频，显示了$\alpha$从0.4$到0.8$的第8级曲线。

随着$\alpha$的增加，图像在方形中心变得更密集，在边界附近变得更稀疏，但这是显示有限阶段的伪影。只要$\alpha>0.5$，实际曲线$\gamma^\alpha$到处都是同样稠密的。回到正经事上：

定理2： 假设依赖性选择，广义希尔伯特立方体$\gamma^\alpha$为1/2<\alpha<1$。

证明。定义转换$T_0^\alpha、T_1^\alfa、T_2^\alva、T_3^\alba:[0,1]^2\到[0,1]|2$：

• $T_0^\alpha（x，y）=（\alpha\cdot y，\alpha\ cdot x）$
• $T_1^\alpha（x，y）=（\alpha\cdot x，1-\alpha\cdot（y-1））$
• $T_2^\alpha（x，y）=（1-\alpha\cdot（x-1），1-\alpha\cdot（y-1））$
• $T_3^\alpha（x，y）=（1-\alpha\cdot y，\alpha\ cdot（1-x））$

每一个都将单位正方形映射到带有边$\alpha$的较小正方形上：

• $T_0$缩放并将单位正方形反射到$[0，\alpha]\次[0，\ alpha]上$
• $T_1$将单位正方形缩放为$[0，\alpha]\乘以[1-\alpha，1]$，
• $T_2$将单位正方形缩放为$[1-\alpha，1]\乘以[1-\alpha，2]$，
• $T_3$缩放并反射到$[1-\alpha，1]\次[0，\alpha]$上。

由于$\alpha>1/2$，这四个正方形重叠（而不仅仅是接触），因此它们建设性地覆盖了$[0,1]^2$。给定[0,1]^2$中的任意$p\，我们可以使用依赖选择来查找$T_{i_1}、T_{i_2}、T_{i_3}、\ldots$的序列，这样$p=T_{i_1}（T_{i_3{（\cdots））$，因此$p=\gamma^\alpha（T）$，其中[0,1]$中的$T\是写在基4中的数字$0.i_1i_2i_3\ldots$$\盒子$

我们也可以在没有依赖选择的情况下完成吗？我们当然不能放弃所有的选择。

定理3： 在单位正方形$\mathrm{Sh}（[0,1]^2）$上的滑轮拓扑中，没有平方填充曲线。

证明。设$I$是拓扑中的单位间隔，即它是值为$[0,1]$的连续映射的层。考虑内部声明，即存在从$I$到$I^2$的回注：

$$\存在\gamma:I\到I^2.\，\对于I ^2.\中的所有p\，\存在于I中，\γ（t）=p\tag{1}$$

通过处理层语义（感谢Andrew Swan与我一起喝了一杯咖啡，虽然我声称拥有所有错误），它在开放集$U\subsetq[0,1]^2$上的有效性等于以下条件：存在$U$的开放封面$（U_I）_I$，带有连续映射$\gamma_I:U_I\times[0,1]\ to[0,1]|2$，这样，对于每个$i$、每个打开的$V\subseteq U_i$和连续的$p:V\到[0,1]^2$，存在一个$V$的打开封面$（V_j）_j$，并且连续映射$t_j:V_j\到[0.1]$，这样对于V_j$中的所有$j$和$V\，$\gamma_i（V，t_j（V））=p（V）$。

在所述条件中实例化$p:V\到[0,1]^2$，并包含$p（V）=V$，以获得每$j$$\gamma_i（v，t_j（v））=v$对v_j$中的所有$v\保持不变。因此，映射$\gamma_i{\restriction}_{V_j}:V_j\times[0,1]\to V_j$有一个连续的部分，即映射$V\mapsto（V，t_j（V））$。但不可能有这样的地图，因为它会违反域不变性，除非$V_j=\emptyset$。因此，（1）保持$U$的唯一方法是$U$为空$\盒子$

总结一下这个论点：在滑轮的拓扑中，“$\gamma$是surpjective”是一个非常强的条件，即$\gama$具有局部截面，并且由于拓扑或几何原因，这些局部截面可能不存在。同时，我们仍然有定理1，所以在滑轮的拓扑中，通常的希尔伯特曲线在单位正方形中没有留下空白。