探索奇怪的数学新世界

• 2023年2月10日
• 安德烈·鲍尔
• 会谈,建构主义数学

2023年2月10日，我列维·L·科南讲座系列讲座“探索奇怪的数学新世界”，在伍斯特理工学院数学系。这是带有演讲者备注的幻灯片和视频谈话录音。

卡贾·贝尔奇奇为我的演讲制作了一个超级酷的标志：

谢谢你，卡佳！如果你是Trekkie，你应该弄清楚。

摘要：

19世纪，卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）、尼古拉·洛巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）和贾诺斯·博利艾（János Bolyai）发现了违反平行假设的几何体。最初，这些被认为不如欧几里得几何学，欧几里德几何学被公认为是物理空间的真正几何学。随后，伯恩哈德·里曼、阿尔伯特·爱因斯坦和其他人的工作将几何从教条的束缚中解放出来，并使其蓬勃发展，超出了非欧几里德几何的发明者的想象。

一个世纪后，历史重演，这一次，整个数学世界都处于危险之中。直觉数学和经典数学之间的分裂对一个真正数学的理想提出了挑战，正如L.E.J.Brouwer和David Hilbert之间的竞争故事中所体现的那样。不久之后，库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在逻辑方面的工作暗示了众多数学世界的必然性。这些很难被视为逻辑诡辩，因为它们为集合论和数学基础的基本问题提供了答案。20世纪下半叶给我们带来了更多的数学世界：科恩的集合论强迫、亚历山大·格罗特内迪克的滑轮、F·威廉·劳维尔和迈尔斯·蒂尔尼的初等拓扑、马丁·海兰德的有效拓扑，以及其他许多。

我们将探索浩瀚的数学多元宇宙中的一个小角落，观察每一个典型的数学对象，即实数领域。有一个宇宙，其中实域包含莱布尼茨的无穷小，在另一个宇宙中实域都是可计算的，有一个实域不能分为两个互不相交的子集，还有一个是所有子集都是可测量的。甚至有一个宇宙中的实相是可数的。可能性的范围令人困惑，但也鼓舞人心。它引出了合成数学的概念：就像几何学家和物理学家选择最适合当前情况的几何学一样，数学家可以选择在一个按顺序制造或合成的数学宇宙中工作，这最能抓住感兴趣主题的本质和性质。