值得一提的是，“所有类型的选择公理”的情况比这要复杂一些。的确，有一个明显的说法，即“每个surpject都有一个部分”，与单价不一致。然而，也有其他版本的AC描述了任意级别的类型，但与单价一致。例如，有一些传统的命题——作为类型的AC，它们远非不一致，只是真的（正如Martin-Lof著名的观察）。HoTT手册练习7.8中也考虑了一些陈述，这些陈述（显然）比AC-for-sets更强，但至少其中一些与单价一致。

当我写这篇文章时，我想让它简单明了。我很肯定，专家们会忍不住在评论中指出各种备选方案和更好的观点。感谢您辜负了我们的期望：-）

当您将逻辑标记为0-types并将其设置为1-types时，您在最后一段中偏离了1。

@杰森：谢谢，很多人都指出了这一点。它已经被修复了。另一个问题是，圆圈的通用覆盖是可收缩的，因此处于$-2$的水平（正如丹·格雷森（Dan Grayson）向我指出的那样）。所以也许我应该用圆圈来代替它。

本着“不辜负你的期望”的精神，我只想说，我认为你应该谨慎对待“原则上所有经典数学都可以如此形式化”这样的表述，因为（显然）实用数学实际上远不止是经典逻辑+集合论。

我最近一直在读陶喆，非常喜欢他对基本问题的看法。这是他对概率论的回顾：

在纯粹的形式层次上，人们可以把概率论称为用总测度1研究测度空间，但这就像把数论称为研究终止的数字串一样。在实践层面上，情况正好相反：正如数论者研究在每个对自然数建模的数字系统中具有相同含义的概念（如素性）一样，我们将看到概率论者研究概念（如独立性）在建模一系列事件或随机变量的每个度量空间中具有相同的含义。

这是他关于自由概率的笔记：

请注意，这种基本偏好在某种程度上是元数学偏好，而不是数学偏好；在许多情况下，可以用数学上等价的形式重写该理论，以便将其他一些数学结构指定为基础结构，就像概率论可以等价地表示为概率测度的测度理论一样。然而，这并不否定这样一个事实，即不同的基础选择可能导致对主题的不同思考方式，从而提出不同的问题，并发现不同的证明和解决方案。因此，一次理解多个基本观点，以获得主题的真正立体视图通常是有价值的。

我认为类型理论同伦解释的真正价值（我相信你会同意：-）是它增加了我们对逻辑和集合的理解的立体深度。在我看来，没有必要添加“原则上，你能做的一切HoTT都可以做得更好”。

>即使HoTT书没有假设排除中间或选择

当然，某些定理确实假设了这一点，作为其假设的一部分。你可能会提到这一点，作为在HoTT学习古典数学的明确例证。

>显然，某些数学家中流传着一种错误的信念，即单价基础在某种程度上仅限于构造数学。

这种信念不仅是错误的，而且是完全不连贯的。有人可能会说，错误的信念已经传播开来建设性的基础仅限于建构数学！当然，建构主义数学有不同的种类，但由于毕晓普的中立态度越来越突出，大多数人所说的“建构主义数学”是指与古典数学完全兼容的东西，并且在添加完整的选择公理（用于集合）后，它就成为了古典数学。经典数学是有限的！

我已经不再关注列表上的讨论，但我很高兴你在这篇文章中再次引起了我的注意。我真的很喜欢这个帖子，安德烈。

更大的潜在问题是，你必须小心用HoTT说话。但这并不是一个新问题：在所有数学中，你必须小心说话。数学家对这个问题非常熟悉，但他们（尚未）熟悉它在HoTT中的表现。幸运的是，数学家在这方面训练有素。无论是否有意识，学习如何正确处理词汇是一个人在学习一门新学科时首先要做的事情之一。

我喜欢这篇文章，因为它强调了在HoTT中制定某些事情时需要注意的事项以及如何小心。这不是一个简单的对/错问题：它是关于如何正确表达你的一般意思。我认为这篇文章实际上将帮助读者发展正确处理HoTT中的命题、集合和其他类型所需的一些反射，这些技能比仅仅知道AC和LEM的正确公式更有价值。

顺便说一句，如果有一些不是来自拓扑的高级类型的简单示例，那不是很好吗？我认为这样一个引人注目的例子对促进HoTT有很大帮助。

@托比：是的，我考虑过提到基数和序数部分，它们使用了大量被排除在外的中间和选择。既然有人明确提到了这一点，我就插一句话。

@诺姆：我是不是说霍特更好？我说你可以用HoTT将“所有”经典数学形式化。你也可以在米扎做。

在建构主义的所有变体中，我并不是一个受过特别良好教育的人，所以我很惊讶地看到你写道，有些建构主义者希望所有类型的人都有选择。

1. 正如迈克所指出的，props-As-types/pi-sigma版本只是一个类型理论的定理，所以我想你不是那个意思。

2. 集合理论版本暗示了经典逻辑，所以我想你也不是那个意思。

3. 但如果你指的是一个所有/现有版本，那么很容易给出不验证它的模型（例如，用于构造性分析的可实现性模型）。因此，你似乎必须明确自己的假设和预期模型。

但这耗尽了我所知道的可能性！一般来说，什么样的建构主义者期望选择，他们期望什么样的选择公式？

声明“单价基础包含古典数学！”请求一个具体的结果：在HoTT中恢复ZF和ZFC/NBG。

众所周知，材料集理论是拓扑+数字信号源[Awodey，Butz，Simpson，Streicher’2007年]因此，我们可以尝试证明，给定特定集合宇宙MatSets的dssi，材料集理论的语言可以自然地解释，HoTT是关于MatSets在CZF/IZF/ZF/ZFC上的一个概念（取决于我们是否接受Propositional resizing，LEM表示Prop，AC表示set）。使用类范畴的概念，人们可能会重建NBG的语言，并找到一个HoTT公理，重新组合NBG的大小限制*，这使得HoTT比NBG更保守。但这是最容易的部分。

最难的部分是证明先进的所有集合理论构造（如Stone–？ech致密化、GNS构造、奇怪的超滤器等）可以在不使用材料集合理论的情况下进行。正确的表述应该是这样的：“如果物质（MatSet）版本中的一个类别允许某种通用结构，那么结构（n-cat-lab术语中的“非邪恶”）版本也允许这种通用结构。”

（*NBG的大小限制公理有一种非常吸引人的形式：它是一种允许“最大无效性”的声明，相当于假设每个类别都有一个基础，即可以表示为一个严格的类别。HoTT的类比是什么？）

@奈尔：我在哪里说建构主义者接受所有类型的选择？我说他们会的问关于所有类型的选择，因为类型理论中有一个版本，但在普通数学家面前称之为“选择”是错误的。我们在他们面前。

@亚历山大：定理10.5.11HoTT手册就是你要找的。它指出HoTT中有一个0类型的$V$，$V$上有一个关系$\in$，因此$（V，{\in}）$是ZFC的模型（假设选择$0$-类型）。我没有提到的一件事是，在HoTT中还有另一个“维度”，即我们假设一个宇宙序列$U_0\substeqU_1\substeqU_2\substeq\cdots$。然后，可以相对于任何$U_i$构造ZFC模型的$0$类型$V$。（事实上，我们是否得到一个宇宙的累积序列或其他变体并不重要，但唯一公理是关于一个宇宙，所以我们至少需要一个来表达公理。）

@Andrej：我知道HoTT中的ZFC模型（以及任何MLTT中经典的CZF模型，由于Aczel）的可用性。根据假设的宇宙，显然甚至会有双重解释的结果。但我们如何知道给定的模型是一个适当的嵌入？（关于模型对象的可证明语句和ZFC语言中可表达的语句与可证明的ZFC语句完全相同吗？）

我不清楚为什么会这样。我在考虑T=ZFC+{某个不可访问基数的存在性，它有一个ZFC的模型V{？+1}，同时也是Morse-Kelley集理论的模型。显然，关于模型对象的T-可证明语句至少等于MK-provable语句集，这严格大于ZFC可证明语句集。

保守模型的存在对于问题的第二部分非常重要，即假设事实，即任何可以通过集合理论方法进行的与结构相关的构造也可以在没有它们的情况下进行。

关于亚历山大的问题。我的理解如下：；我希望它是正确的。我对简单集模型的理解是有限的，所以我希望专家们会插话确认和/或纠正。

在一致性方面，ZFC+无穷多个不可及函数通过简单集构造证明了经典HoTT（HoTT与AC，从而与LEM）的一致性。另一方面，对于每一个n，经典HoTT通过书中第10章的方法证明了ZFC+至少n个不可访问项的一致性。这两者之间有一个差距，但这个差距相当小，古典霍特的一致性似乎接近这个差距的底部。

就保守性而言，这要微妙得多，因为ZFC和（经典）HoTT语言之间存在巨大差异。问题是，保守性是关于特定语言中某些类别的语句，不同的选择导致不同的保守性结果；因此，如果没有这样的背景，“HoTT相对于ZFC+……是保守的”是没有意义的。获得这种陈述的一种可能的方法是表明，通过在ZFC的环境模型$V$中构造的简单集模型内进行第10章的构造+无限多的不可访问项，可以恢复环境模型的（相关的）$V_\kappa$。这似乎是可能的，但我无法确定，因为我对要验证的简单集模型没有足够的理解。无论如何，这将导致某种保守性结果。

很难找到所有这些，这些问题是否在HoTT文献中明确提到过？

@亚历山大：是的，这些确实是有趣的问题，尤其是关于结构相关结构的问题。但我同意弗朗索瓦的观点，即我们应该谨慎地表述一些概念。我现在没有什么明智的话要说。

@弗朗索瓦：应该可以摆弄宇宙。为了方便起见，我们假设一个宇宙链$U_0\subseteq U_1\substeq U_2\subset\cdots$。除此之外，我们可能还有$U_\omega$。但我想我们仍然无法与配备了一些不易接近的设备的$ZFC$通信。在某种程度上，ZFC$V$就像一个“顶级宇宙”，因此正确的比较可能也需要HoTT方面的“顶级宇宙”。

@安德烈：这是一个微妙的问题。Mike Shulman和我对此进行了简短的讨论在这里.HoTT中的宇宙结构对一致性强度有着深刻的影响。我曾建议使用极简主义“任何两种类型都在一个共同的宇宙中”，这一选择最终在书中被提及。

为了说明其微妙之处，请考虑在我所链接的讨论中提出的Universe的索引实际上是什么的问题。如果索引是纯语法的，即我们有一个命名Universe$U，U’，U’’，\ldots$的层次结构，该层次结构会延续您可以写的任意多个刻度线，然后，这就是我用一堆额外的常量符号提出的最简公式。然而，如果指数是自然数类型的元素，那么一致性强度会略微上升。如果表述得当，这个经典HoTT的一致性意味着所有n$Con（ZFC+$n$不可访问）的$\，因此严格地强于最低限度的经典HoTT。

类似地，如果在所有命名的宇宙$U、U'、U'和ldots$之上添加$U^\omega$，则会得到不同的结果，而如果在U^\infty$中有一个$U:\mathbb{N}，这样每个$U（N）$都是一个宇宙，每个$a:U^\infty$都属于某个$U（N）$。事实上，通过为宇宙强加更丰富的结构，你可以获得一些非常大的基本力量。。。

无论如何，我提到的“差距”对HoTT来说不是问题。没有理由期望自然的集合论是确切地在稠度强度方面与经典HoTT相当。我提到的差距就是经典HoTT的一致性所在。如果在这个差距中出现另一个理论，比较这两个理论将很有趣，直到那时，差距才是故事的结局。（或多或少，差距实际上并不是空的，这就是为什么我说“接近底部”。）

[……]不久前，在与迈克·舒尔曼的评论讨论中，他们在最近与安德烈·鲍尔和亚历山大·库克列夫的评论讨论时再次提到。我将使用HoTT这本书作为参考，尽管这篇文章并不是为了批评[…]

@弗朗索瓦，你有没有考虑过一个带有Mahlo Universe的HoTT版本？如果我没记错的话，安东·塞泽尔（Anton Setzer）能够识别出一种与一个Mahlo宇宙的内涵ML等价的Kripke-Platek集理论，如果具有Mahlo宇宙论的经典HoTT与具有Mahla基数论的ZFC等价，这是可能的。

@亚历山大：几年前，我考虑过这个问题，原因完全不同，也是在我了解霍特之前。我记得当时有很多东西需要消化，我不相信自己有时间再次沉浸其中。我想第一个问题是这些Mahlo宇宙是否与单价兼容。。。

补遗：我现在已经说服自己，经典HoTT（如书中所述）的一致性正好等同于所有n$Con的$\Pi_1$-语句$\（ZFC+“至少有$n$不可访问”）。上面详细讨论了一个方向在这里相反，需要一点技巧。。。

利用紧性，我们可以得到一个非标准自然数$n$和至少$n$不可访问的ZFC模型。在这个ZFC模型中，单纯形集构造给出了一个带有$n$单价宇宙链的类型理论模型。走出这个非标准ZFC模型，我们可以忘记用非标准数字索引的宇宙，我们得到了经典HoTT的完整模型。注意，这个经典HoTT模型的自然数$\mathbb{N}$与我们的非标准ZFC模型的自然值相同。因此，这一论点利用了一个非常重要的事实，即HoTT中的宇宙（如书中所述）是不由内部$\mathbb{N}$索引。

@弗朗索瓦（François），具有Mahlo宇宙的HoTT，考虑到它与单价相兼容，很有意思，因为它似乎为无限范畴理论提供了一个恰当的基础费费曼的同名文章.

@亚历山大：我同意。宇宙反射原理是我将如何对Setzer的Mahlo宇宙进行分类的，它可能非常有用，并且说明了“大宇宙假设”的必要性

人们很容易认为这些只是为了更深奥的目的才有用。然而，我参加过几次集合论演讲，演讲者说了这样的话：“这是实数集合子集的一个简单属性，它不应该与大基数有任何关系。”直到HoTT演讲中出现同样的情况，这只是时间问题。

弗朗索瓦问道：

顺便说一句，如果有一些不是来自拓扑的高级类型的简单示例，那不是很好吗？我认为这样一个引人注目的例子对促进HoTT有很大帮助。

托尔斯滕·阿滕柯奇（Thorsten Altenkirch）给了谈话上周，关于HIT的出现如何增强了容器/多项式函子的概念。

这里有一个简单的例子。多项式函子的行走示例是单词，即$W（X）=\sum_{n\in\mathbb{n}}（[n]\to X）$，其中$[n]$表示带有$n$构造函数的归纳类型。通常，多项式函子无法企及的一个例子是有限多集，即$X$到重新排序的元素序列。

现在，让$\mathbb{P}$表示定义的HIT，就像$\mathbb{N}$一样，但对于$[N]$的每个置换，标识为$N=N$。得到的多集为$M_f（X）=\sum_{p\in\mathbb{p}}（[p]\ to X）$。

这当然是对乔亚尔关于物种的观点的一种类型理论上的改造，而$\sum$实际上是最后一个公式中的一个coend。

[……]不久前，在与迈克·舒尔曼的评论讨论中，他们在最近与安德烈·鲍尔和亚历山大·库克列夫的评论讨论时再次提到。我将使用HoTT这本书作为参考，尽管这篇文章并不是为了批评[…]