需要导入Arith。需要导入Bool。

取消设置自动引入。设置隐式参数。

记录有人居住：=居住{ty:>Set；成员：ty}。

定义N:=居住在0。

感应prp：类型：=|基本体：bool→prp|连接词：prp→prp→prp|析取：prp→prp→prp|含义：prp→prp→prp|否定：prp→prp|通用：所有（ty：有人居住），（ty→prp）→prp|存在：对于所有人（ty：有人居住），（ty→prp）→prp。

符号“'['p']'”：=（原语p）（在80级，无关联性）。符号“'neg'x”：=（否定x）（70级，无关联性）。符号“x”和“y”：=（连词x y）（在74级，左结合）。符号“x”或“y”：=（析取x y）（在76级，左结合）。符号“x==>y”：=（隐含x y）（78级，右结合）。符号“'all'x:t，p”：=（@universal t（fun x=>p））（80级，99级x）。符号“'some'x:t，p”：=（@existative t（fun x=>p））（80级，99级x）。

固定点W（p:prp）：=（将p与匹配|基本p=>单位|结合p1 p2=>（W p1）*（W p2）|分离p1 p2=>（W p1）+（W p2）|隐含p1 p2=>（W p1→W p2）*（W p1*C p2→C p1）|否定p'=>（Wp'→Cp'）|通用ty p'=>（对于所有x:ty，W（p'x））|存在typ'=>{x:ty&W（p'x）}end）%类型C p：设置：=（将p与匹配|基本p=>单位|连词p1 p2=>（C p1）+（C p2）|分离p1 p2=>（C p1）*（C p2）|含义p1 p2=>（W p1）*（C p2）|否定p'=>W p'|通用typ'=>{x:ty&C（p'x）}|存在性ty p'=>（对于所有x:ty，W（p'x）→C（p'x））end）%类型。

固定点直径（p:prp）：W p→C p→Prop：=匹配p return W p→C p→Prop|本原p=>（fun__=>Is_true p）|结合p1 p2=>（有趣a b=>匹配b|inl b1=>直径p1（fst a）b1|inr b2=>直径p2（snd a）b2结束）|分离p1 p2=>（有趣a b=>匹配a|inl x=>直径p1 x（fst b）|inr u=>直径p2 u（snd b）结束）|隐含p1 p2=>（fun a b=>直径p1（fst b）（snd a b）→直径p2（fst a（fst b））（snd-b））|否定p'=>（乐趣a b=>~直径p’b（a b））|通用t p’=>（函数a b=>直径（p'（projT1 b））（a（projT b）））（projT2 b）|存在tp'=>（函数a b=>直径（p'（projT1 a））（projT2 a）结束。

可判定定理（p:prp）（a:Wp）（b:Cp）：{diapab}+{not（diapab）}。证明。介绍p a b。诱导p。展开直径，Is_true。诱导磷；灰褐色。在a中展开W；a中的simple；在a中折叠W。将a破坏为[a1a2]。在b中展开C；b中的simple；在b中折叠C。将b破坏为[b1|b2]；很简单。应用IHp1。应用IHp2。将b破坏为[b1b2]。将a破坏为[a1|a2]；[应用IHp1 |应用IHp2]。将a分解为[fg]。将b分解为[xv]。断言（I:=IHp1 x（g（x，v）））。断言（J:=IHp2（f x）v）。展开直径；褶皱直径。陶托。展开直径；褶皱直径。破坏（IHp b（a b））。正确的。简介；矛盾。左；自动。展开直径；褶皱直径。应用H。展开直径；褶皱直径。应用H。问题。

引理dia_not_not_stable（p:prp）（w:Wp）（c:Cp）：~~diapwc→diapwc。证明。简介pwcH。destruct（可判定的pwc）；陶托。问题。

WC_成员定义（p:prp）：W p*C p。诱导磷；展开W；展开C；简单；折叠W；折叠C；分裂；试着点一份。精确（成员类型0）。精确（成员类型0）。定义。定义W_member（p:prp）：=fst（WC_member p）。定义C_member（p:prp）：=snd（WC_member p）。

定义有效（p:prp）：={a:Wp|对于所有b:Cp，diapab}。

定理模因（pq:prp）：有效p→有效（p=>q）→有效q。证明。展开有效，W，C；简单；折叠W；折叠C；很简单。简介p q[wp H][[u v]G]。G中的simple。存在（u-wp）。介绍b。适用（G（wp，b））；很简单。应用H。问题。定理impl_chain（pqr:prp）：有效（p==>q）→有效（q==>r）→有效。证明。展开有效，W，C；简单；折叠W；折叠C；很简单。简介p q r[[a b]H][G]。存在（fun w=>c（a w），fun v=>b（fst v，d（a（fst v），snd v）））。H中的simple。G中的simple。很简单。介绍g I。应用（G（a（fst G），snd G））；很简单。应用（H（fst g，d（a（fst g，snd g）））；很简单。假设。问题。定理或控制（p:prp）：有效（p或p==>p）。证明。介绍p。展开有效，C，W；辛普森；折叠C；折叠W。存在（fun x=>（将x与inl a=>a | inr a=>an end匹配），fun x=>（snd x，snd x））；很简单。内含子[u v]；很简单。破坏u；自动。问题。

定理与控制（p:prp）：有效（p==>p与p）。证明。介绍p。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（乐趣x=>（x，x），fun y=>匹配snd y|inl c=>c|inr c=>c结束）；很简单。简介[u[v1|v2]H；自动。问题。定理或控制（pq:prp）：有效（p==>p或q）。证明。介绍pq。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（fun x=>@inl x，fun y=>fst（snd y））。自动。问题。定理和_eliml（pq:prp）：有效（p和q==>p）。证明。介绍pq。展开有效，C，W；辛普森；折叠C；折叠W。存在（@fst _，fun y=>@inl _（snd y））。陶托。问题。定理or_comm（pq:prp）：有效（p或q==>q或p）。证明。介绍pq。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（fun x=>匹配x与inl a=>@inr _ _ a | inr b=>@in _ _ b end，fun y=>（snd（snd y），fst（snd y））；很简单。简介[u[vw]]；很简单。破坏u；自动。问题。定理and_comm（pq:prp）：有效（p和q==>q和p）。证明。介绍pq。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（fun x=>（snd x，fst x），fun y=>匹配snd y|inr c=>@inr _ c|inr c=>@inl _ _ c结束）。内含子[[a1-a2][b1|b2]]；自动。问题。定理or_distr（pqr:prp）：有效（p==>q）→有效（r或p==>r或q）。证明。引言p q r。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。简介[[a b]H]。H中的simple。存在（fun x=>匹配x与inl t=>@inl _ _ t | inr u=>@inr _ _（a u）end，fun y=>匹配fst y|inl i=>（fst（snd y），b（W_成员p，snd（snd y））|inr j=>（fst（snd y），b（j，snd（snd y））结束）。简介]；很简单。破坏c；自动。介绍G。适用（H（w，e））；很简单。应用G。问题。

定理impl_conj_adjunct1（pqr:prp）：有效（p==>（q==>r））→有效（p和q==>r）。证明。简介pqr。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。简介[[a b]H]。在H。eexists（fun x=>fst（a（fst x））（snd x），乐趣（y：W p*W q*C r）=>让（wp，wq）：=fst y in设cr:=snd y如果dia_decidable q wq（snd（a wp）（wq，cr））然后@inl _（b（wp，（wq，cr）））否则@inr（snd（a wp）（wq，cr）））。很简单。介绍[e]。很简单。destruct（dia_decidetable q d（snd（a c）（d，e）））为[D1|D2]。介绍G。适用（H（c，（d，e））；自动。介绍G。矛盾。问题。定理impl_conj_adjunct2（pqr:prp）：有效（p和q==>r）→有效（p==>（q==>r））。证明。简介pqr。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。简介[[a b]H]；H中的simple。存在（fun x=>（fun u=>a（x，u），fun v=>匹配b（（x，fst v），snd v）|inl c=>c_成员q|inr d=>d结束），fun y=>匹配b（（fst y，fst（snd y）），snd（snd y））|inl c=>c|inr d=>C_成员p结束）。很简单。简介[u[vw]]；很简单。内含子F G。应用（H（u，v，w））。析构函数（b（u，v，w））；自动。问题。定理false_elim（p:prp）：有效（[false]=>p）。证明。介绍p。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（（fun_=>W_member p），（fun=>tt））。介绍[uv]G。矛盾。问题。所有_ intro定理（ty:有人居住）（p:prp）（q:ty→prp）：（对于所有x:ty，有效（p==>qx））→有效（p==>所有x:dy，qx）。证明。简介tpq。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。介绍H。存在（（fun u x=>fst（projT1（H x））u），（乐趣（y:（Wp*{x:t&C（qx）}））=>snd（projT1（H（projT1（snd y）））（fst y，projT2（snd y）））。简介[u[xv]]。很简单。介绍G。应用（项目T2（H x）（u，v））。自动。问题。所有极限定理（ty:有人居住）（a:ty）（p:ty→prp）：有效（（所有x:ty，px）==>pa）。证明。介绍t a p。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（（fun f=>f a），（fun y=>existT _ a（snd y））；自动。问题。定理exists_intro（ty:有人居住）（a:ty）（p:ty→prp）：有效（p a==>一些x:ty，p x）。证明。介绍t a p。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（（fun x=>existT _ a x），（fun y=>snd y a（fst y））；自动。问题。

定理exists_elim（ty:有人居住）（p:ty→prp）（q:prp）：（对于所有x:ty，有效（px==>q））→有效（（某些x:ty、px）==>q）。证明。简介tpq。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。介绍H。存在（（fun（u:{x:t&W（px）}）=>fst（projT1（H（projT1u）））（projT2u）），（fun v x w=>snd（projT1（H x））（w，snd v））。很简单。简介[[xu]v]；很简单。介绍G。应用（项目T2（H x）（u，v））。很简单。应用G。问题。

定义prpEq（m n:n）：=[beq_nat m n]。

定理prpEq_eq（m n:n）：有效（prpEq m n）→m=n。证明。展开prpEq，有效；简单；折叠有效。简介m n[_ H]。断言（G:=Htt）。应用beq_nat_true。应用Is_true_eq_true。假设。问题。

定理eq_prpEq（m n:n）：m=n→有效（prpEq m n）。证明。介绍m n E。重写E。存在tt。介绍b。展开直径；简单；褶皱直径。应用Is_true_eq_right。应用（beq_nat_refl n）。问题。

定理prpEq_refl（n:n）：有效（prpEq n n）。证明。介绍n。应用eq_prpEq。自反性。问题。

定理leibniz_rule（p:N→prp）（m N:N）：有效（prpEq m n）→有效（p m）→有效（p n）。证明。展开有效，C，W；辛普森；折叠C；折叠W。简介pmn[a H][b G]。断言（E:=Htt）。在E中应用Is_true_eq_true。在E中应用beq_nat_true。重写<-E。存在b。假设。问题。

定义eqN_compose（k m n：n）（p：k=m）（q：k=n）：m=n。证明。介绍kmnpq。诱导p。精确q。定义。引理eqN_compose_transibility（mn:n）（p:m=n）：eqN_compose p p=ref_equal n。证明。介绍m n p。病例p；琐碎的。问题。引理eqN_可判定（mn:n）：{m=n}+{m<>n}。证明。诱导m；诱导n；自动。析构函数（IHm n）为[E1|E2]。重写E1。左。自反性。正确的。注入。矛盾。问题。定义eqN_nu（m n：n）（p：m=n）：（m=n）。证明。介绍m n p。destruct（eqN_decrotable m n）为[EQ|NEQ]。精确EQ。矛盾。定义。定义eqN_mu（m n：n）（p：m=n）：=eqN_compose（eqN_nu（ref_equal m））p。引理eqN_mu_nu（n m:n）（p:n=m）：eqN_mu（eqN_nu p）=p。证明。简介n m p。案例p。展开eqN_mu。应用eqN_compose_transibility。问题。定理UIP_N：对于所有（mn:N）（pq:m=N），p=q。证明。介绍mn-pq。使用（p:=p）删除eqN_mu_nu。使用（p:=q）删除eqN_mu_nu。展开eqN_nu。destruct（eqN_decrotable m n）为[EQ|NEQ]。自反性。矛盾。问题。定义W_传输（p:N→prp）（mn:N）：W（pm）→W（pn）。证明。简介p m n w。destruct（eqN_decrotable m n）为[E1|E2]。重写<-E1。精确w。精确（W_member（（pn）））。定义。定义C_transfer（p:N→prp）（m N:N）：C（p m）→C（p N）。证明。介绍p m n c。析构函数（eqN_decisible m n）为[E1|E2]。重写<-E1。精确c。精确（C_member（（p n）））。定义。

莱布尼茨定理（p:N→prp）（mn:N）：有效（prpEq m N==>p m==>pn）。证明。介绍pmn。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（（fun-tt=>（（fun（w:w（pm））=>w_transfer p m n w），（fun y=>C_transfer p n m（snd y））），（乐趣=>tt））。简介[u[wc]]。很简单。介绍E。在E中应用Is_true_eq_true。在E中应用beq_nat_true。破坏E。展开C_transfer、W_transfer。destruct（eqN_decrotable m m）为[E1|E2]。断言（U:=UIP_N E1（ref_equal m））。改写U。很简单。自动。断言（F2:m=m）；自动。矛盾。问题。

定理nat_zero_not_succ（n:nat）：有效（否定（prpEq（Sn）0））。证明。介绍n。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（fun tt=>tt）；自动。问题。定理suc_injective（m n:nat）：有效（prpEq（S m）（S n）==>prpEqm n）。证明。引言mn。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（fun=>tt，fun=>tt）；自动。问题。

定义搜索（p:N→prp）（m:N）：W（p 0）→（对于所有k：N，W（p k）→W（p（S k））→（对于所有k:N，W（p k）*C（p（S k））→C（p kC（p m）→C（p0）+{n:n&（W（pn）*C（p（Sn）））%type}。证明。内含子p m z s b c。感应m。左；精确c。姿势（w:=natrect z s m）。destruct（dia_destimable（pm）w（bm（w，c）））为[D1|D2]。正确的。存在m。精确（w，c）。应用IHm。精确（b m（w，c））。定义。

定理N_归纳（p:nat→prp）（m:nat）：有效（p 0和（所有n：n，p n==>p（S n））==>pm）。证明。下午介绍。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。存在（fun x=>nat_rect _（fst x）（fun k=>fst（snd x k））m，fun y=>搜索pm（fst（fst y））（fun k=>fst（snd（fst y）k））（fun k=>snd（snd（fst y）k））（snd y））。很简单。简介[[zh]c]；很简单。集合（s：=fun k：nat=>fst（h k））。设置（b:=funk:nat=>snd（hk））。诱导m；自动。展开搜索；简单。设置（w:=nat_rect（fun k:nat=>w（p k））z s m）。析构函数（dia_decidable（p m）w（b m（w，c）））为[D1|D2]；很简单。介绍H。应用H。应用D1。介绍。断言（G:=IHm（b m（w，c））。在G中折叠w。埃利姆D2。应用G。应用H。问题。

定义单体（t：有人居住）：=所有x，x=成员t。定义trivial_C（p:prp）：=单例（栖息（C_member p））。定义trivial_W（p:prp）：=单例（居住（W_member p））。当然，原始命题是微不足道的。引理primitive_trival_W（b:bool）：trivial_W（[b]）。证明。简介b w。案例w；自动。问题。引理primitive_trivial_C（b:bol）：平凡_C（[b]）。证明。内含子b。案例c；自动。问题。

引理pair_equal（XY:集）（pq:X*Y）：fst p=fst q→snd p=snd q→p=q。证明。介绍X Y p q G H。诱导磷；感应q。G中的simple；H中的simple。重写G；重写H。自反性。问题。

单电源定义：=对于所有t，singleton t→对于所有s：集合，singleon（居住（fun_：s=>成员t））。

引理含义_平凡_ W（pq：prp）：单粒子功率→trivial_C p→triviall_W q→trivialt_W（p==>q）。证明。E TCp TWq简介。展开trivial_W。展开单体。展开W_member，C_member；简单；折叠W_成员；折叠C_member。简介[f g]。应用pair_equal；很简单。重写（E _ TWq _）。重写（E _ TWq _ f）。自反性。重写（E _ TCp _）。重写（E _ TCp _ g）。自反性。问题。

引理蕴涵_trivial_C（pq:prp）：trivial_W p→trivial_C q→triviall_C（p==>q）。证明。介绍p q TWp TCq。展开trivial_C。展开C、W；简单；折叠C；折叠W。简介[wp cq]。重写（TWp wp）。重写（TCq cq）。应用pair_equal；自动。问题。

定理markov_generalized（t:有人居住）（p:t→prp）：（对于所有x，trivial_C（p x））→（对于所有x，trivial_W（p x））→有效（neg（所有x:t，neg（px））===一些x:t，px）。证明。TC TW简介。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。姿势（u:=有趣（h:_→{x:t&W（px）}）=>设y:=projT1（h（fun x（_：W（px））=>C_member（px存在t（fun x：t=>W（p x））y（W_member（p y）））。存在（u，fun_x_=>C_member（px））；很简单。简介[f g]。很简单。集合（v:=projT1（f（fun x _=>C_member（p x）））。集合（w:=项目T2（f（fun（x:t）（_：w（px））=>C_member（px，）））。重写（TC v（g v（W_成员（p v）））。重写（TW v w）。应用dia_not_not_stable。问题。

马尔可夫定理（p:N→bool）：有效（neg（所有n:n，neg[p n]）==>一些n:n、[p n'）。证明。介绍p。应用markov_generalized with（t:=N）（p:=fun（N:N）=>[p N]）。简介；应用primitive_trivial_C。简介；应用primitive_trivial_W。问题。

定理ip_广义（st:有居）（p:s→prp）（q:t→prp（对于所有（x:s），trivial_W（px））→（对于所有（y:t），琐碎_ C（q y））→有效（（（所有x:s，px）==>some y:t，qy）==>some y:t，（所有x:s，px==>qy）。证明。TW TC简介。展开有效，C，W；简单；折叠C；折叠W。姿势（u:=有趣（x:s）=>W_成员（px））。姿势（v:=fun（y:t）（w:w（qy））=>C_member（qy。细化（现有_（（fun a=>existT _（projT1（fst a u）））（fun _=>projT2（fst-a u），（函数b=>snd a（u，v））），（乐趣=>（u，v））_).很简单。简介[[fg]h]。很简单。设置（y:=项目T1（f u））。设置（z:=项目T1（g（u，v）））。介绍G。折叠。介绍H。重写（TC y）；很简单。在G中重写（TCy（vy（projT2（f u）））；在G。应用G。将（uz）替换为（fst（h y（fun _：对于所有x：s，W（p x）=>projT2（f u），fun_：（对于所有x:s，W（px））*C（qy）=>g（u，v））z）。假设。及物性（成员（居住（W_成员（pz）））；应用（TW z）。问题。

定理ip（st:有居）（p:s→bool）（q:t→prp）：（对于所有（y:t），琐碎_ C（q y））→有效（（（所有x:s，[px]）==>some y:t，qy）==>some y:t，（所有x:s，[p x]）==>q y）。证明。介绍了TC。应用ip_generalized。简介；应用primitive_trivial_W。简介；应用TC。问题。