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建设性宝石：非理性到非理性的力量即理性

以下参数是经常被引用作为一个例子，说明了排除中间逻辑和经典逻辑规律的必要性。我们应该证明两个无理数$a$和$b$的存在，使得它们的幂$a^b$是有理的。根据排除中间律，$\sqrt{2}^{\sqrt}2}$是否有理。如果它是有理的，那么取$a=b=\sqrt{2}$，否则取$a=\sqrt}2}^{\sqrt[2}}$和$b=\scrt{2}$。无论哪种情况，$a^b$都是合理的。让我们从建设性的角度考虑一下这一点。

排除中间律应该在这里以一种基本的方式使用，因为我们不知道$\sqrt｛2｝^｛\sqrt｛2｝｝$是否合理。事实上，它是非理性的，所以“基本”用法源于我们假定的无知，而不是真正的数学事实。因此，该论点表明，排除中间律是支持无知的一种极好方法（这在许多方面都是好的，就像好的编程语言支持程序员的懒惰一样）。

但是，给出两个无理数$a$和$b$的具体例子，使$a^b$成为有理数有多难？一点也不难！取$a=\sqrt{2}$和$b=2\log_23$。很容易证明两者都是非理性的，事实上，证明$b$是非理性比证明$a$是非理性更容易。我们有$a^b=2^｛\log_23｝=3$。看到这个之后建设性的参数古典的其中一个看起来更傻，只是一个不值得注意的并发症。这个故事的寓意是，建构性思维模式应该是默认的，因为它产生了更简单、更具体的数学。只有在你真的需要的时候才切换到经典模式（即使那样，也不要）。

评论

德里克·R

让我想到了cut-the-knot.org网站，这表明${\sqrt{2}^\sqrt}2}^\sqrt{2]$是有理的。

安德烈·鲍尔

德里克，你发布的链接没有这样的功能。这正是我上面概述的经典论点。

杰夫·艾格

但毫无疑问，这是一个没有意义的问题$a=\sqrt{2}^{\sqrt}2}$是非理性的。（虽然我承认我没有检查过盖尔丰·施奈德定理的构造有效性。）此外，我以前从未见过这个著名的“非构造证明”被用作反对构造逻辑的论点（我不经常阅读维基百科）。当我还是一名学生的时候，这是一个有趣的关于分离本质的思维实验。

杰夫·艾格

另外，我很好奇地在谷歌上搜索“构造性的gelfond-schneider定理”。第二支和第五支安打有些有趣：2http://en.wikipedia.org/wiki/Constructive_proof（与关于排除中间人的文章不同，这篇文章提出了以上两点：你的和我的）5http://cs.nyu.edu/pipermail/fom/2005-March/008843.html

巴斯·斯皮特尔斯

$\pi+e$的类似问题被视为数学难题：http://rjlipton.wordpress.com/2009/12/26/mathematical-尴尬

無理數的無理數次方 « 往日情懷

[…]引ç“非理性的力量是理性的[…]

匿名

一位直觉主义逻辑学教授告诉我，有一次，他试图从自己的书中解决一个问题，准备第二天的本科生逻辑讲座。经过数小时不成功的思考，他发现自己无法解决问题，因为他没有使用PEM。：）

科迪·鲁克斯

我对上述定理的证明方式与“一个无用的非破坏性证明示例”略有不同。让我用汽车类比来说明我的观点。你去找一个汽车经销商，他给你提供了一辆车，并保证：如果需要的话，他必须给你提供一辆可以使用的车。如果你从未使用过汽车，合同就隐含地得到了满足，否则，如果你试图启动汽车，可能会发生两种情况：汽车启动，一切正常，或者汽车无法启动。在这种情况下，您可以使用您的保修，经销商会提供一辆新的、可以正常工作的汽车（或其他具有其他保修的汽车）。对于两个无理数$a$和$b$的存在性的经典证明，您也可以这样做，以使$a^b$是有理数：就好像$a=\sqrt{2}$和$b=\sqrt{2}$满足您的定理一样。如果有人要求你证明$\sqrt{2}^\sqrt}2}$是无理的，你可以通过提供新的证据来“回溯”你的定理：$a=\sqrt[2]^\sqrt{2}$和$b=\sqart{2}$。从某种意义上说，非构造性证明确实比构造性证明包含“更少的信息”。然而，它确实提供了如上所述的“保证”，即您可以使用您的证人，但要注意，在以后可能需要用他们来代替“正确的”证人。

特里

尽管注意到非建设性论证证明了比建设性论证更有力的东西，即存在两种非理性代数的数字$a$，$b$，这样$a^b$是合理的。

安德烈·鲍尔

@泰瑞：这是一个好观点。我们能得到两个幂为有理的无理代数数的构造性证明吗？

安德烈·鲍尔

@特里：嗯，事实上，如果你想到了涉及$\sqrt{2}^\sqrt}2}$的通常非构造性证明，我不知道你的意思，因为这个数字是超越的，因为它是Gelfand-Schneider常数.

罗伯·哈波

你可以把这个定理重新表述为一个经典的等价形式，这样可以更好地展示建设性的内容。这个定理可以表述为“对于每个无理a和b，数字a^b都不是无理的”。假设是这样的。经典地说，根2是无理的，所以根据假设，根2到根2的幂是无理性的。因此，再次假设，根2对根2对根2是无理的。但这仅仅是2，这非常合理。矛盾，我们结束了。

这是一个完美合理定理的完美构造性证明（假设存在根2非合理性的构造性证明）。但它在建设性上并不等同于听起来有问题的存在陈述。古典数学认为这两种形式的定理是完全可以互换的，但至少从心理上来说，我们知道它们不是这样的（因为我们可以观察到人们在面对这两种形态时的反应）。无论如何，它们在直觉上是不等价的，这是一件好事，因为在直觉上，这两个定理之间的计算内容是不同的。

罗伯·哈波

噢，该死，我把“经典”这个词写得太多了。在第三句中，我的意思是“自古以来就知道”，而在其他地方，我的意思是“二价逻辑”。

Jitendra Thoury公司

什么是$2^{\sqrt{2}}，我的意思是它是理性的还是非理性的？

安德烈·鲍尔

就我所知，$2^{\sqrt{2}}$是无理的，但我不知道如何证明这一点。也许有人可以给我们介绍一个相关的定理。

托德·特里布尔

这是超然的。这直接来自Gelfond-Schneider定理。相关地，回到安德烈2011年的问题，由两个代数无理数构建的指数必须是超越的，同样是由G-s构建的。

科雷

在建设性的证据中，我们向证人证明，有两个无理数$$a$$和$$b$$，因此$$a^{b}$$是无理的，我们在没有使用LEM的情况下这样做。但这个证明依赖于这样一个命题：对于任意两个实数$$a$$和$$b$$，$$a^{log{a} b条}=b$$。也许我们正在使用LEM来证明这个命题？或者我们真的计算了$$2^{log的值吗_{2}3}$$，发现是3？还有，对数的构造性定义是什么？它是计算$$\log的算法吗_{a} b条$$代表任何实数$$a$$和$$b$$？我的观点是，在没有进一步澄清的情况下，构造性证明看起来就像一个挑选两个数字的经典证明。它并没有在表面上使用LEM，但我不确定我们是否完全避免了它；所以我不愿意把这个证明称为建设性的，我知道这是一个著名的建设性证明的例子。

安德烈·鲍尔

@科里：当然，这需要检查，但指数和对数的建设性工作正如预期的那样。例如，Bishop&Bridges的“构造性分析基础”开发了足够的实际分析，特别是收敛幂级数，以表明这并不奇怪。

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