这无疑是我在本科生（迈克尔·拉什金访问斯坦福大学时）所学的建构主义集合理论课上所记得的最引人注目的事实。我特别记得的是，如果一个元素集的幂集公理的实例是真的，那么整个幂集元素都是真的。谢谢你更详细地解释了发生了什么！

伊斯瓦兰指的是这个。让1是一个单元素集合。如果电源组P（1）存在，则所有电源组P（X）存在。实际上，这句话有点取决于其他公理的细节。我怀疑迈克尔·拉什金（Michael Rathjen）教过CZF或类似的东西，它有（强有力的）集合公理和足够的分离来证明“对于每个集合”X（X）和Y（Y）函数集X-&gt；Y（Y）存在”。从中你可以通过注意到P（X）与X-&gt；P（1）.

但是你能写一个程序，把布尔函数作为输入吗f:NN->2并输出真值对于NN中的所有n。f（n）对一些人来说欧米茄哪里2 != 欧米茄?

你好，安德烈（好久不见）。。。作为一个生活在二维世界中的“受过经典训练”（某种程度上）的数学家，我是如何解释（随着时间的推移）构造逻辑的，尤其是关于2的这一非常有见地的讨论，以及PeterMcB对LEM的评论。我想故意说这很难，但我真的很好奇建构主义者会说什么：

“构造逻辑是经典逻辑+可判定性。基本上，采用好的旧经典逻辑，去掉任何在计算机上实现时可能无法判定的部分。”

如果这是真的，那么我真的不明白。。。。当我们可以用TM来讨论事情时，为什么要乱逻辑呢。如果这是错误的，请解释差异。如果这不是真的或假的，那么我完全迷失了：）。

二值命题逻辑相当容易实现。在我看来，“forall”和“there_exists”的逻辑运算属于谓词逻辑。这更为复杂，但对于定义良好的有限域来说仍然可以管理。困难似乎在于无限的领域，比如自然数。但是，如果出于任何原因，两个逻辑值都不够，那么尝试下一步似乎很自然。。。三个。

让我先回答卢克布。我们可以编写一个需要f： NN-&gt；2作为输入并输出的真值对于n.f（n）中的所有n，但我们不要求输出值为2，而是在欧米茄? 这方面的问题是，在什么方面还不清楚欧米茄是编程语言中的数据类型。在作为一种超级编程语言的Martin-Löf类型理论中，欧米茄不是数据类型，而是所有数据类型的类型！在“真正的”编程语言中，欧米茄不存在。

然而，卢克布的问题仍然存在，而且是一个好问题。我们能写吗对于所有人如果我们改变布尔值的基本类型？答案很有趣，需要在博客上写一篇完整的文章：-）

接下来，哈尔（你好！）问他是否正确地将构造数学解释为经典数学领域中的“那些可以计算的东西”。答案基本上是“是的”，但需要注意的是，这并不是唯一可行的方法口译建构主义数学（因为这是哈尔正在做的，他正在把它翻译回经典数学）。更微妙的是，在您的解释中，哪些内容是有效的取决于您所说的“在计算机上实现”的确切含义。使用哪种编程语言？（这很重要！）这还需要一篇完整的博文。

Thad建议也许我们可以使用三值逻辑对于NN中的所有n那样。我想提出的一个重要观点是，把建设性逻辑视为“三”值是一个坏主意，因为欧米茄弱意义上有两个元素（即不超过两个元素）。按照萨德的建议，更好的做法是不要试图获得第三个真实值，而是找到合适的子集S sube Omega公司这就完成了任务。此类子集必须大于2，将有两个弱意义上的元素。

实际上，我认为有三个逻辑值与对于NN中的所有n相反，这与区分“弱意义上的两个”和“强意义上的二个”的需要有关。在我看来，这是一个精心设计的循环，需要保持某种形式的排斥中间派的法律，同时区分“真实”和“可证明的真实”。但是，通过拒绝将排除中间律作为适用于所有命题的普遍规律，而将其视为适用于某些命题但不适用于其他命题的偶然“原则”，可以更容易地作出这种区分。但这可能不是进行此讨论的最佳场所。

我不同意这篇文章的前提。很明显，逻辑等价句的等价类集合的基数大于2。即使在你用ZFC的公理进行了修改之后，你仍然有CH和Con（ZFC）这样的句子，它们严格地位于“Š”和“Š”之间。事实上，这个集合在经典逻辑中形成了一个丰富的布尔代数。证明&not（&notA∧­­A）是直接的。假设A和A都是可证明的。然后将第一个应用于第二个，我们将根据需要得到“Š”的证明。中的证据Coq公司是：

fun（A:道具）（H:（A->假）/\（（A->假）->假））=>匹配H返回False|联合体B C=>C B结束：对于所有A:道具，~（~A/\~A）

我不会对这里的每一条评论都进行回复，但请不要将其视为我同意或不同意你的意思。本博客并非逻辑教程。我还将写更多的专业话题。

回复萨德：你不能有三个逻辑值。这是有证据的。如果你再次阅读我的帖子，你会发现我确实拒绝接受排中律，并且我确实告诉你如何通过只考虑可判定的命题来重新获得它。

回复罗康纳：你混淆了语法和语义。我很小心地说，真值是由一个句子表示的，但并没有这样说每一个真理值可以用一句话来表示，这是你帖子中隐含的一个假设。你提到的Lindenbaum代数只由那些可定义的真值组成，也就是说，由逻辑中的一些表达式表示。此外，真理与可证明性不是一回事。最后一句话：是什么让你认为在构造数学中，每个集合都有基数？

我把排除中间定律理解为有两个经典等价公式：二价（pv~p）和非传统~（p&~p）。在我看来，你拒绝二价，但接受非二价。我很惊讶地得知我不能有三个逻辑值，因为卢卡西耶维茨在1920年发明了他的三值逻辑，而我自己也用它工作了大约20年。你能引用证据吗？如果你在谈论coq中的证据，我相信这可能包括一些我可能不接受的隐含假设。

你说得对。二合价在直觉主义逻辑中无效，而非传统逻辑则有效。

关于二值逻辑的含义有很多困惑（这就是我写这篇文章的原因）。卢卡西维茨的三值逻辑不是直觉主义逻辑的模型，因为其中的一些推理规则是无效的。我所说的并不是任何人可能称之为逻辑的武断的东西，而是更具体地说直觉主义逻辑。但这并不重要，因为我们可以找到似乎具有“三个值”的直觉主义逻辑模型，例如由两个对象和它们之间的箭头组成的范畴上的预升拓扑。事实上，给定任何Heyting代数H（H）只要你愿意，你就可以找到直觉主义逻辑的模型，即H（H）-有值集合，使得欧米茄是布景吗H（H）（具有适当定义H（H）-值相等谓词）。但现在重要的是不要混淆“多少分H（H）有吗？“带着问题”内部模型，需要多少点欧米茄有吗？“.在模型中，你可以证明声明的有效性Omega中不存在p。（p！=TT和p！=_|_），但在元理论中，你可以很容易地找到一个Heyting代数H（H）得分超过两分。请不要将理论与元理论混淆。

许多推理规则的失败似乎是反对卢卡西维茨三值逻辑的最有力论据。但显然没有人注意到，在一定的合理条件下，有可能发展他的逻辑，建立这些推理规则。我的结果有一些很像直觉主义的特征。因为我是业余爱好者完全非正统我对比较它们感兴趣，因为我不是直觉主义逻辑的专家。请容忍我。

1. 你说“如果你认为2=欧米茄，您应该能够编写一个以布尔函数作为输入的程序f:NN-&gt；2并输出真值对于n.f（n）中的所有n你能做到吗？“如果理论是可判定的，比如‘普雷斯伯格算术’和‘欧几里得几何的塔斯基公理’，我可以。”

2. 存在两个以上真值的另一个选项欧米茄就是理论上有独立的句子，比如“皮亚诺公理”上的“古德斯坦定理”

亲爱的Yoav，您提到的选项在本次讨论中无效。

1. Preburger算法是Peano算法的一个非常有限的子集，它甚至不包含乘法。当我们谈到自然的我们指的是皮亚诺算术。因此，您必须考虑所有功能f:NN->2可在Peano算术中定义，并且不可能决定这样的函数是否总是输出1（实际上，对于原始递归函数来说，这已经无法实现了，因为原始递归函数是所有数论函数的一个子家族）。换句话说，当然，通过改变假设，你可以得出不同的结论。

2. 塔斯基公理适用于实闭域，而非自然数。自然数集合在塔斯基的理论中是无法定义的。所以你的第二句话不相关，因为我说的是函数NN->2，不是真的。

安德烈，我去聚会有点晚了，但我想问。。。。

在直觉主义类型理论（比如HTT）中，Bool显然是强2元类型。

这是否意味着Prop（包含单位类型和空类型的宇宙）将是弱2元素类型？Prop不也是子对象分类器吗？

是的，在类型理论中，$\mathtt{Bool}$是具有两个可以识别的元素的类型，即$\mathtt{True}\neq\mathtt1{False}$，对于所有$p:\mathtt{Bool{$，$p=\mathtt-True}$或$p=\fathtt{False}$。

但你搞错了$\mathtt{Prop}$。首先，当你说“$\mathtt{Prop}$是包含单位和空类型的宇宙”时，你的意思并不清楚。写下准确的定义至关重要。例如，如果您的意思是$\mathtt{Prop}=\Sigma（t:\mathtt{Type}），（t=\mathtt1{unit}）+（t=\tathtt{empty}）$，那么您刚刚定义了与$\mathtt{Bool}$等价的东西。但这不是$\mathtt{Prop}$在类型理论中的含义。相反，它必须定义为最多有一个元素的类型：$$\mathtt{Prop}=\Sigma（t:\mathtt{type}），\Pi（xy:t），x=y$$现在您无法证明$\mathtt{Prop}$与$\mathtt{Bool}$等价，实际上有些模型并不等价。最后，您会问$\mathtt{Prop}$是否是子对象分类器（除非排除中间保持，否则$\mathtt{Bool}$当然不是）。这取决于类型理论中“子对象”的含义。有一个子对象的概念，其中$\mathtt{Prop}$确实是子对象分类器，即$f:a\toB$是子对象，如果$f$的同伦纤维是上述意义上的命题。相比之下，作为类型的纯粹命题的做事方式是将每个依赖和作为子对象，在这种情况下，$\mathtt｛Type｝$将是子对象分类器。

最后一个警告：$\mathtt{Prop}$不是一个小类型，也就是说，它不需要包含在任何宇宙中。因此，它是一个“大”分类器，我们在使用它时必须记住这一点。