贝努利的Brachistichrone：
“成为时刻的科学”的一个范例
为了响应开普勒关于发展适合非均匀运动的数学的呼吁，莱布尼茨发明了一种新的位置几何形式，他称之为“微积分”。虽然听到这些话，有些人可能会感到恐惧，但如果人们意识到，这种惊恐的根源完全是亚里士多德对莱布尼茨的攻击，牛顿、尤勒、拉格朗日、柯西及其盲目追随者强加给莱布尼兹美丽的发明——怒容，他仇敌的草率形式主义。
开普勒的发现所需要的是一种几何学，它根据控制行星运动的变化原理来测量行星的位置。希腊人的成就被证明是不够的，因为这些调查试图确定与其他立场相关的立场。莱布尼茨提供的是一种几何位置，它决定了相对于变化原理的位置。
为了让我们的思维适应莱布尼茨的发明，我们可以转向另一项关于位置几何学的研究，这项研究是在巴赫的领导下于同一时期发展起来的。正如巴赫的作品所表明的那样，音符不是位置，而位置又决定了音程，音程又决定了音阶，然后是琴键，然后是整个和谐的体系。巴赫作品的任何听众都能很容易地识别出，任何音符的位置都是一种模糊性，随着作品的展开，这种模糊性变得不那么模糊，由此产生的音程及其倒置都是相对于美声复调这一和谐的体系来听的。是变化决定了音符，而不是音符决定了变化。
对于开普勒轨道上的行星也是如此。行星在任何给定时刻的位置都是太阳系谐序的函数。行星的两个位置标记了轨道的间隔，但该间隔不是由位置定义的，而是由该作用间隔中发生的变化定义的。由于在非均匀轨道上，行星的速度和轨道总是在变化，开普勒需要一种方法来测量每时每刻的变化。莱布尼茨发表演讲，发展了他的新的位置几何，即微积分。
正如本系列的最后一部分所提到的，莱布尼茨发现的一个很好的教学示例是它在约翰·伯努利发现的臂时曲线中的应用。（以下是对伯努利结构概念的总结。这将需要读者做一些工作，并打算与伯努利的原创文章一起阅读，其英文翻译可在D.E.Smith的《数学源书》中找到。
1697年，伯努利在莱布尼茨的《博学学报》中向全世界的数学家提出了挑战。问题陈述如下：
“最快下降曲线上的机械几何问题。”
“确定连接两个给定点的曲线，在距离水平面不同的距离处，而不是在同一条垂直线上，沿着这条曲线，一个移动的粒子受到自身重量的作用，从上点开始运动，最快地下降到下点。”
承诺的奖品不是金银，“因为这些呼吁只针对卑鄙和贪赃枉法的灵魂，对此我们可能不希望有任何值得称赞的东西，也不希望对科学有用。相反，由于美德本身是最令人向往的奖赏，而名声是一种强大的激励，我们提供的奖赏适合于高贵血统的人，由荣誉、赞扬和赞许组成；因此，我们将在公开和私下里，通过文字和口耳相传的方式，为我们伟大的阿波罗登基、致敬和颂扬。”
正如伯努利所指出的，即使使用费马的极大值和极小值方法，所提出的问题也无法解决。在这些情况下，费马从给定的一组量或轨迹中寻找最大值和最小值，例如圆锥曲线的最大曲率点。相反，伯努利的问题是在无限可能的路径中找到一条最小曲线。这条备受追捧的曲线上的每个位置都是由一个变化的原则决定的。因此，必须发现的是，根据给定的变化原理，即最短时间，身体的位置是如何确定的。这相当于找到行星的正确轨道，而不仅仅是一个可能的轨道。或者用形而上学的术语来说，“我们怎么知道，一个坠落的物体是怎么知道的，去寻找最少血统的路径？”
正如你将看到的，伯努利并没有提出一个抽象的数学难题，仅仅是为了迷惑其他人，这个问题的解决导致了力学和形而上学的重要发现。
伯努利对这个问题的攻击始于他所谓的“费马的形而上学原理”，即光总是寻找最短时间的路径。这是古希腊人的一项发现，当光线从镜子反射时，它所走的路是最短的。然而，当光通过不同的介质（如水和空气）折射时，光的路径并不是最短的。费马发现，在密度较大的介质中，光速较慢，他证明了光在两种介质的边界处改变了方向，以遵循最短时间的路径。当然，这与希腊的发现是一致的。在反射中，由于光只通过一种介质，因此不会改变速度，所以最短的路径也是最短时间的路径。但是，当介质发生变化时，光在时空中传播的路径最短，或者说传播时间最短。
伯努利的方法是跟随光明，可以说，走上最短时间的道路。如果光线通过密度不断变化的介质的路径与物体在重力作用下下落的原理相同，那么光的最小时间路径将与物体的最小时间轨迹相同。
但是，当我们只知道改变的原则，而没有定位时，如何发现道路？在光的路径上的每一刻，光都会改变它的速度和方向，这样它的整个传播过程花费的时间最少。因此，与行星的运动类似，在每一个这样的时刻，光不再是原来的样子，而变成了将来的样子。在每一时刻，光的位置都是保持最短时间路径的原则的函数。
费马已经证明，当光从一种更稀有的介质移动到一种更稠密的介质时，它会减慢速度，并且路径变得更加垂直。例如，如果光通过空气传播到水中，其路径与垂直线的夹角在空气和水的边界处发生变化。如果它的路径与空中垂直线的角度发生变化，那么它与水下垂直线的角度也会相应变化。然而，这两个角度并没有成比例地改变。相反，它们的变化使得角度的正弦始终保持相同的比例。
因此，在沿着光的路径的每一个“形成时刻”，光的速度和轨迹都在改变，光在那一刻形成的角度的正弦，总是与所有这些“形成时刻“的角度正弦成正比
为了找到时间轴，伯努利以以下方式思考了媒介：
“如果我们现在考虑一种介质，它不是均匀致密的，但好像被无限多的薄片隔开，这些薄片水平地相互叠放在一起，它们的空隙中充满了稀少的透明材料，根据一定的规律增减；很明显，一条可以被视为小球的光线不是沿直线传播，而是沿某条弯曲的路径传播。这条路径是这样的：一个粒子以与稀少程度成比例的速度不断增加或减少，在最短的时间内从一个点到另一个点。”
在这个想法下，在每一张水平纸上，光的速度和方向都会改变。莱布尼茨将其速度和方向在每个水平薄板上变化的原理称为微分。所有这些微分的总和（莱布尼茨称之为积分）就是人们追求的臂时曲线。
从一个“形成时刻”到下一个，当光从一个密度垂直传递到下一密度时，其位置会发生变化。位置的每一个垂直变化都伴随着位置的水平变化，这对应于每个“形成时刻”的倾角正弦。（贝努利对上述内容的几何结构可以在史密斯的第652页上找到。）贝努利采用莱布尼茨的符号来表示这些想法，称垂直变化dy、水平变化dx以及由此产生的光路径变化dz。垂直和水平之间的比例dy:dx，路径dz的变化是介质密度变化速率的函数。
伯努利表明，如果介质的密度随物体自重下落的速度而变化（具体地说，速度随垂直距离的平方根而变化），则所得曲线为摆线。“……当我说惠更斯的摆线和等时线是我们所需要的臂时线时，你会惊讶得目瞪口呆……”他宣布。
但是，伯努利指出，这不是对特定物理现象的发现，而是对普遍原理的形而上学发现：
“在我结束之前，我忍不住再次表达我对惠更斯的重音时线和我们的臂时线这一出乎意料的同一性所感到的惊讶。此外，我认为值得注意的是，这一同一性只有在伽利略的假设下才被发现，所以即使从这一点上我们也可以推测，大自然希望它是因为，大自然习惯于以最简单的方式前进，所以在这里，她通过一条和同一条曲线完成两种不同的服务，而在其他任何假设下，两条曲线都是必要的，一条用于等长振荡，另一条用于最快下降。例如，如果坠落物体的速度不是以法拉伦高度的平方根而是以法拉伦高度的立方根的形式变化，那么腕力时变将是代数的，另一方面是超验的；但如果速度随着高度的下降而变化，那么曲线将是代数曲线，一条是圆，另一条是直线。”