阿贝尔函数的戏剧性力量
为了理解黎曼对阿贝尔函数的处理，将这一发现置于其产生的历史背景中，追溯到古希腊的前欧几里德毕达哥拉斯，并展望拉鲁什在物理经济科学方面的独特和革命性发现。想象一下，整个序列，作为一段戏剧性的历史，跨越时间，把过去投射到未来，把未来投射到过去，把两者都投射到现在，这样，几个世纪的成就就浓缩成了一个单一的瞬间想法。
动力
在柏拉图对话的开场白中，梅加拉的欧几里德告诉特普西翁，他刚刚看到在科林斯战役中受伤的泰特图斯被带到雅典，几乎奄奄一息。这一经历促使欧几里德回忆起，许多年前，当苏格拉底濒临死亡时，他曾告诉他，“如果他活着，那么泰特斯将是一个非凡的人。”。在写下苏格拉底的报告后，欧几里德现在向特普西恩宣读历史，这是柏拉图对话的主要内容。正如欧几里德所说，对话始于年轻的泰特图斯受到老师西奥多罗斯的赞扬，因为前者已经超越了后者的洞察力。正如Theatetus所解释的那样，狄奥多罗斯通过将每一条线展示为一个单独而独特的力量，从三倍开始，到十七倍结束，“出于某种原因，他停止了。”Theatetus继续说道，“由于权力的数量是无数的，我们想到了把它们都归入一个名称或物种的概念。”
然后通过引用一个简单的几何结构，Theatetus指出存在三种不同的幂：生成直线的幂、生成正方形的幂和生成实体的幂。每一个物种都由一个完整的、不同的个体力量组成。但是，Theatetus解释说，每个流形都可以根据一个单一的原理来考虑：线性、二次或三次。
对话中没有直接提到，但背景中突出的是Archytas的相关发现，他表明每个物种都与不同类型的物理作用有关：分别是线性、圆形和环形。
Theatetus和Archytas的这些发现证明了埃利亚特人、智者以及后来的亚里士多德所否认的思维能力，对于黎曼处理阿贝尔函数来说至关重要的一点是：{心灵超越感性对象的有限决定，并认识决定它们的更高普遍原则的能力}。
正如泰特斯（Theatetus）所证明的那样，通过了解决定每种力量能做什么的原理，例如，将一个正方形加倍，而不必单独构造每种力量，就可以了解整个力量种类。要知道所有这些个体的力量都是一个物种的，而产生平方力量的原理永远不会产生立方力量，就需要头脑超越每个个体大小的独特特征，认识整个物种的性质，以及其边界的性质。
亚里士多德坚持认为，人类的心灵没有这种力量，因为它是有限的、致命的，不能从有限的决定上升到普遍的决定：
“一些人，如毕达哥拉斯和柏拉图，把无限作为一种自我存在的物质意义上的原则，而不仅仅是其他事物的属性。只有毕达哥罗斯把无限放在意义的对象中（他们不认为数字与这些对象是分不开的）并断言天堂之外的事物是无限的。另一方面，柏拉图认为外面没有身体（形式不在外面，因为它们无处不在），然而无限不仅存在于感官对象中，也存在于形式中……”
“很明显，无限不可能是一种实际的东西、一种物质和一种原则…。
“因此，那些以毕达哥拉斯人的方式说话的人的观点是荒谬的…。
“然而，这一讨论涉及到一个更普遍的问题，即无限是否存在于数学对象、可理解但没有扩展性的对象以及可感知对象中。我们的探究（作为物理学家）仅限于其特殊的主题，即感官对象，我们必须问，其中是否有一个在增加方向上无限的身体。”（物理，第五册）
亚里士多德的论点纯粹是诡辩。通过将物理学定义为只关注可感对象，他排除了对产生这些对象的普遍原理的所有考虑。一旦被排除在外，他断言这些原则在物理世界中没有任何作用，因为它们是无限的，实际上不可能存在。
与亚里士多德相反，正如Theatetus在柏拉图的对话中和通过柏拉图的对话所证明的那样，或者正如苏格拉底本人在许多其他地方所表明的那样，最著名的是《斐多》，不朽而非时间界限是人类精神的特征，不仅是直线、正方形和立方体之类的东西，还有产生它们的力量。正如泰特图斯所展示的那样，它可以改变自己，从西奥多罗斯所教的对不同力量的单独理解，到西奥多勒斯所发现的对无数个体力量的整个物种的概念的理解。
正如柏拉图的叙述、欧几里得的叙述、苏格拉底的叙述、泰特斯对自己发现的叙述所表明的那样，人类精神不受其起源的凡人生活的约束。
产生权力的权力
在{Theatetus}对话中描述的方法是一个基本的、但在历史上和教学上都很重要的例子，它是黎曼方法背后的思维类型，在他的{阿贝尔函数理论}中进行了详细阐述。在那里，黎曼正在处理产生越来越高级功能的原理，这些功能超越了毕达哥拉斯、狄奥多罗斯、泰特斯、阿奇塔斯和柏拉图所设想的功能。当Riemann回顾这些伟大的古代思想所期待的时，他从库萨、开普勒、莱布尼茨、高斯和阿贝尔发现的有利角度进行了回顾。这些后来的发现者所证明的是，柏拉图等人所指出的权力种类被一系列相继拥有更大权力的更高级物种所取代。黎曼（Riemann）扩展了高斯（Gauss）关于复域的概念，创造了一种方法来理解产生这一扩展类更高功率的更高功率。他对阿贝尔函数的处理表达了心灵的品质，这种品质可以超越感官感知的领域，超越看似无限的东西，承认新的先验力量物种的存在，并将其作为更高形式的认知。
要理解黎曼对阿贝尔函数的阐述，关键是要强调库萨早期发现新力量物种的认识论基础，库萨称之为{“习得无知”}。
库萨发现，曲线与直线之间的不可通约性，如圆形与其铭文和包围多边形之间的不可通约性所示，表明存在着一种新的力量，这种力量超越了柏拉图等人命名的力量。库萨证明了，莱布尼茨后来阐述了这一新的力量，莱布尼茨称之为{超越}，它可以产生所有较低的{代数}次幂，而从代数生成超越的逆幂则是不可能的。
与柏拉图一样，库萨认识到，要理解这些更高种类的力量，大脑必须超越感知领域的边界，从外部发现支配它的更高力量：
“我知道，我能感知到的东西并不存在于自身。因为正如视觉本身并不区分任何事物，而是有别于更高的力量，同样，可感知的东西也不存在于自身，而是存在于更大的力量。使徒说，“来自世界的创造”因为作为生物，我们从可见的世界被提升到造物主。因此，当我看到可感知的东西时，我明白它存在于更高的力量中（因为它是有限的，而有限的东西不能从自身存在；因为有限的东西怎么能设定自己的极限？），那么我只能把它存在的这个力量视为无形和永恒的……”（实际电位）
库萨给了他的方法一个数学表示，但{不是通过亚里士多德或他后来的追随者欧拉、拉格朗日和顽固的柯西}的形式化、逻辑演绎过程。在库萨的数学表示中，数学上看似无限的东西，即超越有限的东西（康托尔后来称之为超限），表明存在一种新的力量或原理，从外部作用于感知领域。因此，将有限的数学表达式推到边界和边界之外，可以揭示那些寻求但尚未发现的更高功率的特性：
“……当我们开始以隐喻的方式研究最大值时，我们必须超越简单的相似性。因为所有数学都是有限的，否则甚至无法想象：如果我们想用有限的事物作为上升到不合格的最大值的方式，我们必须首先考虑有限的数学图形及其特征统计和关系。接下来，我们必须以转换的方式将这些关系应用于相应的无限数学图形。第三，此后我们必须以一种更为高度变换的方式，将这些无限图形的关系应用于简单的无限，它甚至与所有图形都是完全独立的。在这一点上，我们的无知将被不可理解地教会，当我们通过隐喻摸索时，我们将如何更正确、更真实地思考至高者。”（关于习得性无知，第一册）
库萨详细阐述了这个比喻。他仔细研究了点、线、多边形和圆的有限关系及其超限关系之间的差异。在有限中，这些物体都是不同的，但转化为它们的无限形式，它们变得全等，这表明存在更高的原理，从中展开它们的有限关系。因此，较低的有限形式受较高形式的限制（和支配），从较低形式的角度来看，{似乎}是无限远的。因此，要了解有限中的关系，就必须从似乎无限边界的条件的角度来看待它们。正如我们很快将要说明的，在黎曼对阿贝尔函数的处理中，这种关系达到了一种更成熟的形式。
与柏拉图一样，库萨将人类思维的这种能力与灵魂的不朽联系在一起，即超越表面无限的边界，并将新的数字种类视为力量：
“同样，从数字的角度来看，也可以恰当地展现心灵的不朽性。因为心灵是一个有生命的数字，也就是一个数字，而且每个数字本身都是不可腐化的（即使数字在物质中是可变的，但在物质中却是可变的），我们头脑中的数字不能被认为是腐败的。那么，数字（即心灵）的作者怎么可能腐败呢？此外，任何数字都不会耗尽头脑的编号能力。因此，由于天空的运动是由头脑编号的，而且时间是衡量运动的尺度，时间不会耗尽头脑的力量。相反，思想的力量将继续作为所有可测量事物的极限、衡量和决定。用于测量天空运动的仪器——人类思维产生的仪器——证明了运动测量心灵而非心灵测量运动的情况并非如此。因此，头脑似乎通过其智力操作涵盖了所有的连续运动，而头脑从自身产生理性操作或理性运动。因此，心灵是运动的形式。因此，如果任何事物溶解时，溶解是通过运动发生的，那么运动的形式如何通过运动溶解呢？既然心灵是一种自我运动的智力生命，也就是说，一种产生生命的生命是它的理解，那么它怎么可能永远活着呢？如何停止自动运动？因为心灵与生命息息相关；在这一生中，它总是活着的。（举例来说：一个球体总是圆的，这得益于与之相连的圆圈。）如果心灵的构成是数字的构成，而数字是由它自己构成的，那么心灵如何能分解为虚无？…
…因此，数字的人展开并拥抱。心灵是永恒的形象，但时间是永恒的展开……”（《心灵的外行》）
与异教徒亚里士多德不同，对库萨来说，无限并不在宇宙之外。似乎与感觉知觉的立场相去甚远的只是标志着向宇宙物理原理的无形但有效领域过渡的边界。这些原则穿过边界，进入可见领域，决定其中行动的特征。反过来，心灵又回溯过去，超越表面上的无限，发现这些原则的特征。{因此，无穷大在数学表达式中的出现，只是表明了思想观念转变的必要性——这种转变使一个看似不可接近的普遍原理为人所知。}
物理发电
从库萨开始，探索那些更高级的超验力量物种的道路，这些超验力量是黎曼作品的主题，经过了高斯和阿贝尔的调查，他们受到了以下因素的挑衅：
–开普勒发现万有引力原理产生了本质上是椭圆的行星轨道，以及；
–莱布尼茨认为，这些轨道反映了悬链线表示的物理最小作用的普遍原则。
开普勒拒绝了托勒密、哥白尼和布拉赫的亚里士多德形式主义，并将他的研究仅仅建立在物理考虑上，因此他被迫拒绝了物理确定的椭圆轨道的数学上更简单的圆形轨道。这就产生了一个危机，因为在圆轨道上，角度和正弦之间存在不可通约性，而在椭圆轨道上，圆弧和角度之间也存在不可通度。开普勒试图从圆函数的角度测量椭圆运动（即直线三角形和圆弧的连接作用），产生了被称为“开普勒问题”的悖论。开普勒开发了一种用于实际目的的近似测量方法，但对他来说，这是不够的。开普勒不是一个实用主义者。虽然实际的解决方案对他的工作至关重要，但开普勒也坚持了解这一原则。当他对这个原理一无所知时，开普勒要求未来的几何学家解决这个问题，以确保即使他自己的死也不会结束他的探索。
虽然开普勒并没有发现椭圆运动的更高原理，但他指出了应该去哪里寻找。在他的光学相关工作中，开普勒建议将椭圆视为生成所有圆锥曲线的单个函数中的一个相位。他通过著名的投影将圆转化为双曲线，以几何方式表达了这一点。（见图1。）椭圆和双曲线之间出现了一个明显的无限边界，在一个连续的函数中，这表明了这个未被发现的原理可以被发现的方向。
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图1
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椭圆和双曲线之间无限边界的出现当然反映了圆锥截面的双圆锥构造。在“无限”、圆、椭圆和抛物线的一侧，只有下锥体被相交平面切割。当平面接触上锥体时，双曲线就形成了。（见图2。）
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图2
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莱布尼茨通过应用他的微积分，证明了悬挂链的曲率可以表示为两条指数曲线之间的算术平均值。（见图3。）这些指数曲线并不存在于悬挂链的可感知区域中。然而，它们表达了{物理流形}的一个特征，即在感知领域之外，在链条上，在每一个无限小的间隔中发挥作用。
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图3
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正如莱布尼茨所强调的那样，这些指数曲线表示产生所有低代数幂的超越幂。（见图4。）
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图4
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同样的关系也用不同的形式表示为等角螺旋线和双曲线。（请参见图5a、和图5b.)
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图5a
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图5b
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在对悬链线的研究中，莱布尼茨创造了术语{“函数”}来表示特定的转换。例如，指数函数将算术关系转换为几何关系。它的逆函数，即对数函数，将几何关系转换为算术关系。因此，作为两个指数函数之间的算术平均值，悬链线是两个函数的函数。
当莱布尼茨将这项研究推向极限时，他试图确定产生负数对数的函数，他遇到了-1的平方根的出现，他认为它存在于一个真实但“虚构”的域中。
那个未被发现的国家
因此，年轻的高斯人面对莱布尼茨所说的“对神圣精神的美好追索，几乎是介于存在与非存在之间的两栖动物”的外表，给予了负数的平方根“充分的公民权利”。从这个观点出发，他重新审视了“开普勒问题”，发现椭圆运动是由一种更高级的超越性物种控制的，这是开普勒或莱布尼茨所预期的，但他并不知道。
复数的物理意义很自然地从莱布尼茨的悬链线原理和负对数悖论中显现出来。（见图6。）
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图6
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由于悬链线是作为{两}指数曲线之间的算术平均值形成的，莱布尼茨寻求生成这两条曲线的函数，该函数可以表示为生成它们的几何平均值的函数。但是，在悬链线的平面内，以及悬挂在悬链线后面的指数内，没有连续的变换可以将一个指数变换为另一个指数。唯一能够产生两条曲线的物理动作是与悬链线平面正交的旋转。（见图7。）
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图7
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如果一个指数的方向指定为正，另一个方向指定为负，则它们之间的几何平均值表示为负数的平方根。（见图8。）
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图8
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这导致了以下悖论：在两个指数的平面上，它们之间的几何平均值是一条直线。但是，从物理作用的更高角度来看，直线实际上是旋转轴，从旋转轴生成一个与链平面正交的整个曲面。因此，要表示链子的物理作用，挂在链子后面的看不见的指数，以及生成指数本身的看不到的原理，需要链子的平面和与其正交的作用平面。
高斯想出了在一个表面上表示这个复杂区域的想法。这个表面充当了想象的舞台，在这个舞台上，物理行为和支配它的普遍原则都可以被表现出来。
悬链线平面上的两个指数是由一个完全超出其可见域的动作生成的。旋转轴与该旋转生成的曲面接触的点，即该旋转形成的圆的中心，是可见域与表示生成原理的曲面之间的唯一交点。
就像在古典舞台上一样，戏剧背景中的一句话（“对我来说是希腊语。”）可以表明整个文化的历史转变，表面上代表复杂领域，在复杂功能的背景下，整个原则可以通过单个点的动作来表示。
隐藏的和声被听到
通过采用高斯的方法，黎曼能够创造一个舞台，在这个舞台上，无数级别的超越者可以被带到想象的范围内。从库萨发现的最简单的超越种开始，到高斯的椭圆函数，再到阿贝尔发现的更高级的超越种，每一个新的超越种都通过增加一个新原理而与其前身区别开来。根据黎曼的想法，每个新原理都由曲面的几何特征{拓扑}的变化来表示。
在这里，黎曼采用了高斯1799年关于代数基本定理的论文中应用的莱布尼茨的{分析位置}方法。高斯表明，形式代数无法区分幂变换的含义。正如高斯讽刺地强调的那样，这反映在，从形式代数的角度来看，无法回答代数最重要的问题：“给定的代数表达式有多少解？”，他们的基本特征可以被了解。然后，很明显，函数的最高幂决定了一个拓扑特征（“驼峰”的数量），它与该函数的低幂或系数的任何变化无关。（请参见图9a、和图9b.)
因此，高斯运用莱布尼茨的几何位置，{分析位置}，表达了与最高权力相关的原则支配所有低级权力的认识论关系。因此，功率级的变化是控制原理的变化，并通过曲面整个几何体的变换来表示。因此，不需要欧拉、拉格朗日和达朗贝尔无用的形式计算，就可以完全知道整类代数函数的基本特征。
为了说明黎曼的方法，我们首先看一下超越函数的最简单种类，那些与圆函数、双曲函数和指数函数相关的种类。正如莱布尼茨和伯努利所证明的，链表达了最小作用的普遍物理原理，在一个单一的物理作用中体现了所有这三种功能。
然而，从“简单”领域的角度来看，这三种功能似乎具有完全不同的特征。例如，圆和双曲线是圆锥曲线，而指数不是。在可见区域中，圆是周期的，双曲线和指数看起来无限延伸。
莱布尼茨认为一个更高的原则将所有三个超越性统一起来，但他从未详细阐述过他的观点。这位老练的，但却是莱布尼茨-哈廷-欧拉（Leibniz-hating Euler）试图用一系列代数形式来模糊莱布尼兹的洞察力（例如他臭名昭著的方程式：ei*圆周率-1=0; 和ei*x（i*x）=cos[x]+i*sin[x]）至今困扰着几代学生和科学家。
然而，通过高斯和黎曼的复域物理概念，可以很容易地证明，这三个函数表示一个统一的超越数种类，并且都是从复指数导出的。高斯早在1796年8月14日就意识到了这一点，他在笔记本上写道：“顺便说一句，（a+b*？-1）m+n*-1已解释”。
在这里，高斯表示他已经将指数函数的概念扩展到了复域。如上所述，指数函数是算术关系到几何关系的转换。在“简单”域中，这在几何上表现为单个曲线的特征曲率，例如等角螺旋线、双曲线或指数曲线。在高斯复域中，复指数函数将整个曲面的算术关系转换为几何关系，将所有曲线转换为新曲线。
这一点最容易从高斯关于共形映射的哥本哈根奖论文中的几何示例中看出（黎曼所依赖的）。高斯在那里表明，复指数函数对应于球体在平面上的赤平投影，这是古希腊人在绘制天球图时首先发展的投影。（见图10。）
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图10
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在这种投影下，球体上的“纬度”圆被投影到平面上的同心圆上，同心圆的半径呈指数级扩展。球体上的“经度”圆被转换为平面上的径向线。
不要将此转换视为静态图像。从身体动作的角度来思考。想想球体上沿纬度圆周的运动。飞机上相应的运动是什么？想想球体上沿经度圆的运动。平面上相应的运动是什么？想象一下在球体上沿着相等航向的路径运动（loxodrome）。平面上相应的运动是什么？当你这样想的时候，你可以开始看到球体上的所有关系是如何合法地转化为平面上的不同关系的。
这里出现了一个在“简单”领域中看不到的重要新想法。平面上看似“无限”长的径向线，变成了球面上“有限”的经度圆。平面上看似向“无限”方向移动的动作接近球体上的一个点。从库萨的观点来看，如果平面上所有径向线的端点都被认为是“无限”圆，那么它的图像就是球面上的一个点。换言之，围绕平面上的作用的原理，似乎是无限的和不可知的，是通过与球面上的一个点相关联的作用带入想象的。因此，在复域中，我们可以忠实地表示Cusa的概念，即在无穷大中，中心和圆周、最小值和最大值是重合的。
然而，重要的是要强调，物理行为，例如悬挂链，从来都不是“无限的”。悬链线是悬挂在两个位置之间的链条的曲线。因此，“无限的这一边”，物理指数总是有界的。它所反映的普遍原理是{超限}。
另一个特征现在出现在人们的视野中，否则它会被指数的“简单”观点所掩盖。在简单域中，指数曲线看起来是非周期的，但这只是由于过于简单地查看指数而产生的错觉。从赤平投影图中可以看出，径向线是无限的，但纬度圈是周期性的。（正如你所能想象的，这个周期是真实的。坚持复杂指数的周期是“想象的”是欧拉的骗局。）
当将复指数视为平面上正交曲线网格的变换时，或者如黎曼所建议的那样，将其视为一个非常大的球体表面上的正交曲线网格变换时，可以更显著地看到其隐藏的周期性。（见图11。）
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图11
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这里，所有“直线”都被转换为等角螺旋线网络，以旋转最大、延伸最小的螺旋线（即圆）和旋转最大、旋转最小的螺旋（即径向线）为边界。
从行动的角度思考这个图像。在复指数变换下，沿“直线”的运动转化为螺旋运动，包括圆和径向线的极端情况。沿垂直线的非周期运动转化为周期性的圆周运动。（见图12。）
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图12
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沿水平线的非周期运动转化为沿指数延伸半径的运动，该半径保持非周期。沿对角线的运动转化为不断扩大的螺旋运动。（见图13。）
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图13
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现在将这个结果与上面提到的与悬挂链相关的两条指数曲线进行比较。在可见域中，此操作是非周期的。然而，垂直于悬挂链平面的旋转具有周期性。在这里，我们可以认识到指数函数“想象”周期的物理现实。
正如莱布尼茨（Leibniz）和伯努利（Bernoulli）在其悬链线研究中所证明的那样，双曲函数是指数函数：双曲余弦是两个指数之和的一半，双曲正弦是两个指标之差的一半。（请参见图14。)
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图14
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正如莱布尼茨所坚持的那样，循环函数也是指数函数，但只是在不同的“虚”域中。（见图15。）圆余弦是两个复指数之和的一半，而圆正弦是两个复数指数之差的一半。
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图15
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从高斯和黎曼复域的观点来看，所有这些函数都可以用相同类型的作用来表示：如随附动画中的圆圈所示，两个反向移动的复指数之间的算术平均值。（请参见图16a,图16b,图16c,图16d、和图16e双曲函数和圆函数共同构成了同一作用类型的四种不同变化。因此，由同一类型的行动产生，它们都是同一种超越的物种。
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图16e
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椭圆超越
年轻的高斯正在思考“开普勒问题”的起源，他对无法用圆函数、双曲函数或指数函数来表示椭圆运动感到困惑。但是，当他从复域的角度来看一个类似的问题，即柠檬酸盐的问题时，他发现了一种不同种类的超验，这种超验是用椭圆运动表示的。当在黎曼阶段观察该物种的特征时，椭圆和下超越之间的差异变得明显。
虽然高斯并没有直接这样说，但1797年1月他决定开始对引证进行认真调查，这暗示了开普勒早些时候提出的圆锥曲线概念的线索。
如上所述，开普勒认为所有圆锥曲线都是由一个连续函数生成的。椭圆和双曲线之间无限边界的出现，反映了向双圆锥函数中包含上圆锥的过渡。因此，整个功能涉及两个不同方向的作用（平行于和垂直于圆锥体底部）。从库萨的观点来看，无限的出现意味着存在着一个更高的、未被发现的原理，它将垂直和平行的作用合为一体。正是从这个更高类型的函数中，开普勒的圆锥曲线函数展开了。
该函数与循环函数和双曲函数的关系必须与这些函数与代数函数的关系相同。也就是说，较高的物种必须有能力产生较低的物种，但不能产生相反的物种。这类似于从Archytas的角度来看数量级的二次种和三次种之间的关系。产生三次振幅的圆环运动原理也可以产生二次函数，但不能产生逆函数。
现在这些椭圆先验的本质是什么？我们如何才能发现它？让我们从开普勒提供的线索和黎曼提供的后来的解决方案的角度重建高斯对柠檬酸盐的研究。
柠檬形将成为高斯关注的焦点，这是开普勒圆锥截面概念扩展到复杂域的自然结果。如本系列前几期所述，柠檬形可以生成为圆形双曲线的倒置，或双曲线在球体上的赤平投影。（请参见图17和图18从这两个投影的角度来看，可以看出，圆是双曲线和柠檬形之间的几何平均值。因此，我们寻求一个更高的函数，将双曲线通过圆转换为引理。
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图17
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图18
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重要的是要注意这里使用的反演方法。在两条指数曲线和悬链线的情况下，在曲线和悬挂链的可见区域内找不到两条指数线之间的几何平均值。对生成两个指数的原理的搜索将我们引入了复杂领域。在圆锥曲线的情况下，开普勒函数从另一个生成一个。但函数中间出现的无穷大诱使我们考虑更高的函数。该函数生成的不是另一个二次曲线，而是一个引理。
现在看看开普勒函数，他设想它投影到平面上，从黎曼的观点来看，投影到球体上。（见图19。）在前一种情况下，圆被转换为椭圆，椭圆被转换为双曲线，然后被转换为直线。在后者中，圆被转换为投影椭圆，投影椭圆被转换为引理，然后转换为两个重合的半球圆。
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图19
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因此，为了掌握更高的原理，我们必须考虑两个函数同时发生：一个在平面上生成圆锥截面的函数，另一个在球面上生成柠檬形的函数。但从我们的有利位置来看，我们可以看到这两个阶段都在{one}阶段，即复杂领域的阶段。
请注意，出现在平面中的无限边界在球面投影中显示为柠檬形的交叉点。{超限}的存在，表示为引理链中的一个点，表示存在一个额外的原理，即在二次曲线的域之外，但{在}引理所驻留的域之内。如前一部分所述，高斯表明，柠檬形曲面上的交叉点也反映了环面上正曲率和负曲率区域之间的边界。（见图20。）
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图20
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这个新原理的存在是否表明柠檬酸盐与一种不同于圆形或双曲函数的超越函数相关联？高斯说是的，黎曼提供了从几何学上认识这一点的基础。
高斯通过引理函数的双周期性，认识到了这种附加原理在引理中的存在。例如，如果循环函数相对于区间0到2Pi是周期的，则引理函数相对于区间1到-1{和}相对于区间/-1和-/-1是周期的。（参见Riemann了解反摘要52。）
高斯在1832年出版的关于双二次剩余的著作中表达了双周期的几何特征。然而，正如他的笔记所示，它的发现要早得多，“我发现了柠檬酸和双二次剩余之间的显著联系”。
高斯在他的{双二次剩余的第二篇论文}中给出的关于简单模量和复模量的几何表示说明了这种联系。高斯表明，对于实数，模量可以用一条简单的线段或曲线几何地表示。（请参见图21a并且，图21b.)
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图21a
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图21b
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然而，在复域中，复模量由曲面上的平行四边形表示。（见图22。）
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图22
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高斯指出，在比较复域中的柠檬形函数和圆函数时，也出现了同样的几何区别。在圆函数、双曲函数或指数函数的情况下，一个方向的运动是周期性的，而垂直于它的运动则不是周期性的。如上图所示，这种类型的运动可以映射到曲面上，例如球体。
然而，对于引理，运动在两个方向上同时是周期性的。（请参见图23a,图23b、和图23c.)
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图23c
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这种运动不能在黎曼球面上表示，在黎曼球体上，一个方向，例如纬度圆，是周期性的，但在正交方向上，经度圆在不跨越无限大的情况下是非周期性的。
黎曼表明，椭圆函数只能在允许两条不同周期曲线的曲面上表示。黎曼表示，这样一个曲面可以通过取高斯复模量的平行四边形，并将对边相互连接，形成具有环面拓扑结构的曲面来构造。（见图24。）
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图24
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在圆环体上，有两条截然不同的曲线，一条绕着外面，另一条穿过洞。（见图25。）
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图25
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黎曼强调，环面与球体是完全不同的曲面类型。{而且，如果不引入新原理，就没有连续函数可以将球体转换为圆环。一旦引入，新原理将影响该曲面上所有关系的完全转换。}
通过对椭圆超验的高级物种和低级物种之间区别的研究，我们能够认识到，这两种超验物种之间的差异反映了作用于每个物种的原理数量的根本变化。正如阿贝尔所表明的那样，一整类先验都可以由更高的力量依次构成。在黎曼的阐述中，从一个物种到更高物种的变化符合从“n”原理域到“n+1”原理域的转换。正如阿奇塔斯对立方体加倍的构造，或高斯在1799年关于代数基本定理的论文中所采用的方法一样，这样的变换可以在复域的阶段被理解为该域{拓扑}中的不连续变换。
然而，更重要的是，有了这一新的力量，使更高级的先验物种的产生变得可理解，我们现在可以想象，当一个新的原理被加入时，在任何领域都必须发生的转变。因此，通过故意使用心灵的发现能力，我们可以超越看似无限的边界，并将新的原则带入我们的意识中。
这让我们回到了Theatetus，作为一个小男孩，他向我们展示了今天，一个完整的物种可以被知道，完全不需要计算。
