Ultra-short and ultra-intense X-ray free-electron laser single pulse in one-dimensional photonic crystals

André, J.-M.; Jonnard, P.

doi:10.1107/S1600577517000820

研究论文\（第5em段）

的日志
同步加速器
辐射

国际标准编号：1600-5775

第24卷| 第2部分| 2017年3月| 第376-385页

https://doi.org/10.107/S1600577517000820

一维光子晶体中超短超强X射线自由电子激光单脉冲

让-米歇尔·安德雷 ^a、，^b条和菲利普·乔纳德 ^a、，^b条 ^*

^一法国巴黎索邦大学、巴黎UPMC大学06、博伊特库里埃1140、4位朱西厄、F-75252巴黎Cedex 05 Chimie Physique-Matière et Rayonnement实验室^b条法国巴黎Cedex 05，F75252，Jussieu，4 place，Bote courrier 1140，CNRS UMR 7614，Chimie Physique-Matière et Rayonnement实验室
^*通信电子邮件：philippe.jonnard@upmc.fr

德国DESY HASYLAB G.Grübel编辑(2016年9月1日收到； 2017年1月17日接受； 2017年2月16日在线)

利用非线性介质中含时耦合波理论的框架，分析了X射线自由电子激光器发出的超短超强脉冲在一维光子晶体中的传播。结果表明，超短脉冲的反射和传输呈现一个瞬态周期，该周期受消光长度和传输结构厚度的制约。对于超强脉冲，预计会出现非线性效应：它们可能会产生许多现象、双稳态、自导透明、间隙孤子、开关、，等。之前已在光学领域中显示。

关键词： X射线自由电子激光器;一维光子晶体;非线性过程.

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1.简介

本工作的目的是分析由X射线自由电子激光器（X-FEL）在布拉格结构中传输的超强和/或超短单脉冲的时域传播的不同方面。在硬X射线领域，首先实现的布拉格结构是天然晶体，在所谓的动力学理论衍射（作者，2003 ). 自20世纪70年代以来，基于周期多层叠层的合成布拉格晶体，有时称为多层干涉镜（MIM），已被开发用于天然晶体无法使用的软X射线领域；这些多层结构的与时间无关的衍射也得到了广泛的研究（帕尔多等。, 1988 ).

在本文中，我们考虑MIM，但一些结论可以用类似于天然晶体在布拉格（反射）或劳厄（透射）几何中衍射的方式得出，其中只涉及一维。因此，在下文中，我们使用通用术语“一维光子晶体”（1D-PC）来指代两种类型的布拉格结构，即晶体或MIM。文献中也常用“分布式反馈结构”（DFB）一词来指代这种结构。让我们概述一下，术语PC和DFB很少用于X射线范围，等。). 事实上，我们在本文中描述的X射线域的大多数效应都可以在整个电磁频谱中找到，特别是非线性（NL）过程已经在光学域中进行了详细研究，主要是在光纤和波导布拉格光栅的光学背景下，因此§4的大部分是从关于这些主题发表的大量研究中借来的。本工作的目的主要是向X-FEL用户告知X-FEL辐射脉冲可能显示的一些线性和NL效应。

X-FEL设施现在能够传输相干辐射的单个超强和超短脉冲；例如，考虑到FERMI设施，FEL1的光子束参数为每脉冲100µJ，估计脉冲长度（FWHM）小于150 fs`“超短”意味着脉冲的持续时间小于介质的弛豫时间，“超强”意味着预期会产生非线性光学效应，最后“相干”意味着，脉冲中的光子具有固定的相位关系，形成单模。所有这些独特的功能（高亮度，短时间、时间和空间相干）为相干NL过程的观测开辟了道路。激发极化对材料的能量是入射电场的幂级数展开E类，以cgs单位表示，

$[{\bf P}=4\pi\textstyle\sum\limits_{{i}\，\ge\，1}{\chi}^{\left（i\right）}{\left|{\bf-E}\right|}^{i-1}{\ff E}，\eqno（1）]$

$[{\chi^{\左（i\右）}}]$ 是我第个订单。通常，对于任何中心对称系统，均阶项为零，因此最低阶NL过程为三阶。其中，最著名的是克尔效应折射率变化与外加电场或电场强度的平方成正比。最近，有报道称钛的X射线反射率增强（Bencivenga等。, 2014 )由一个团队在FERMI X-FEL设施EIS光束线的TIMEX终端站使用超快XUV辐射；实验结果被解释为等离子体频率与能量密度的关系 $[{{\bar E}}]$ ≃ $[{\left|{\bf E}\right|^2}]$ 在德鲁德的框架内起主导作用折射率反射对沉积能量密度变化的模型。对折射率在上面 $[{{\bar E}}]$ 可视为克尔效应的特例折射率强度依赖性，这会导致观察到和预期的大量NL效应，特别是在电磁频谱的低能域：自聚焦、自相位调制、空间孤子（New，2014 )，NL表面极化子（Leung，1985 ). 强度相关折射率也是布拉格结构中各种效应的起源，如间隙孤子（Chen和Mills，1987 ; Mills&Trullinger，1987年 ; Martijn de Sterke&Sipe，1994年 )与自导透明有关（Aceves&Wabnitz，1989 )，布拉格光纤中的脉冲压缩（Winful，1985 )和NL分布式反馈结构中的双稳态（Winful等。, 1979 ).

布拉格结构的时间相关衍射受到的关注相对较少：Chukhovskii和Förster考虑了晶体的时间相关绕射 )最近，他们的方法已扩展到1D-PC（André&Jonnard，2015）). 让我们提到布拉格结构的响应，MIM（Ksenzov等。, 2008 , 2009 ; Bushuev&Samoylova，2011年 )和晶体（Shastri等。, 2001 ; 布什耶夫，2008 )对X-FEL源进行了频域处理。

我们在扩展到NL材料的含时耦合波（TDCW）分析框架中领导我们的研究。在§2中我们建立了考虑介质非线性响应的耦合波方程组。在§3中我们考虑低强度区域，其中NL行为可以忽略；我们表明，MIM的指示响应显示了一个瞬态周期，该瞬态周期由布拉格结构的反射消光长度和传输消光长度与结构厚度的组合决定。在§4中我们考虑高强度区域，首先在可以设想双稳态的稳态情况下考虑NL效应，然后在与时间相关的情况下考虑观察与布拉格结构的一种自导透明性相关的布拉格孤子的可能性。

2.非线性1D-PC中的时间相关耦合波理论

我们考虑超短超强（通常相干）单脉冲的传播，如图1所示的1D-PC中X-FEL传输的脉冲图中还给出了问题的几何结构和一些符号。我们考虑一个周期性的堆栈N个双层结构。双层由一种材料构成一具有介电敏感性 $[{\chi_a}]$ 和材料b条具有介电敏感性 $[{\chi_b}]$ 具有层厚度天_一=γ天和天_b条= (1 −γ)天分别是。波矢入射辐射k个=(k个_x个,k个_z（z）)在飞机上(x个,z（z）)以斜视角撞击多层结构θ.直角坐标系 $[（\hat{{bfx}}，\hat}{bfy}}和\hat[{bfz}}）]$ 使用。L（左）是烟囱的总厚度，等于钕.倒数向量 $[{\bf g}]$ = $[（{{2\pi/d}}）\hat{{\bfz}}]$ 与层面正交。

图1
由周期性交替堆栈组成的1D-PC草图一/b条双层结构。

电场 $[{\bf E}\左（{x，z，t}\右）]$ X-FEL的单脉冲由频率快速变化的载波建模ω=χκ，由信封调制E类₀(z（z）,t吨)，我们将其写成如下（假设秒-极化情况），

$[{\bf E}\左（x，z，t\右）={电子}_{0}\left（z，t\right）\exp\left[i\left({k}_{x} x个-\ω{t}\右）\右]\，\帽子{\bf{y}}。\等式（2）]$

我们假设介质的极化随电场的变化而变化，但介质具有NL行为；更准确地说，我们认为介质受光学克尔效应的特殊情况影响折射率取决于强度。因此，我们写下极化 $[{\bf P}]$ 如下：，

$[\eqaligno{{\bf P}\left（x，z，t\right）&=\chi\left[z，{电子}_{0}\左（z，t\right）\右]\，{\bf E}\左|{电子}_{0}\左（z，t\右）\右|}^{2}\右]\cr&\quad\times{电子}_｛0｝\left（z，t\right）\exp\left[i\left({k}_{x} x-\ω{t}\右）\右]\，\帽子{\bf{y}}，&（3）}]$

对应于三阶NL。磁化率 $[左（n \右）｝\左（z \右）]$ 不依赖于时间，而总敏感性 $[\chi]$ 取决于时间E类₀(z（z）,t吨)，但它们沿z（z）方向。因此，它们可以展开为傅里叶级数，

$[{\chi}^{（n）}\左（z\right）={\bar{\chi{}^{（n）{+\textstyle\sum\limits_{p\，=\，-\infty}^{+\infty}{\Delta\chi}^{\左（n\right）}{u}_{p} \exp（ipgz），\eqno（4a）]$

具有

$[{\bar{\chi}}^{（n）}={\chineneneep{a}^{（n）{\gamma+{\chi{{b}^{[n）}（1-\gamma），\eqno（4b）]$

$[{\Delta\chi}^{（n）}={\chi}_{a}^{[n）}-{\chi{_{b}^{[（n）{\，\ll\，{\bar{\chineneneep}^{{（n）}，\eqno（4c）]$

$[{u}_{p} =\gamma\，{\rm{sinc}}\left（\pi{p}\gamma\right）\exp（-i\pi{p2}\gama），\eqno（4d）]$

$[g={{2\pi}/d}.\eqno（4e）]$

在我们的研究中，我们仅限于克尔NL，因此我们只保留术语 $[{\bar{\chi}}^{（1）}]$ , $[{\bar{\chi}}^{（3）}]$ , $[{\Delta\chi}^{（1）}]$ 和 $[{{\Delta}}{\chi^{\left（3\right）}}]$ .

在一维PC中，电场包络可以写成沿z（z）-轴，

$[{电子}_{0}\left（z，t\right）=F\左（z，t_right）\exp（+i\kappa{z}）+B\左（z，t\rift）\exp\左（-i\kappa{z}\right），\eqno（5a）]$

具有

$[\kappa=k\sin\theta，\eqno（5b）]$

并使用以下辅助振幅项

$[{\cal E}_{+}\左（z，t\right）=F\左（z，t\rift）\exp\左[-i\左（{{pg}\上{2}}-\kappa\右）z\右]\eqno（6a）]$

和

$[{\cal E}_{-}\左（z，t\right）=B\左（z，t\rift）\exp\左[+i\左（{{pg}\在{2}}-\kappa\右）z\右]。\等号（6b）]$

在双波理论的框架下，其中只有零阶和第页傅里叶项强耦合(即位于第页布拉格共振），可以证明，在空间和时间的慢波近似下，列振幅向量

$[\bar{\cal E}\left（z，t\right）=\left[\matrix{{\cal E}_{+}\left（z，t_right）\cr{\calE}_{-}\left[（z，t\right）}\right]]$

及其复共轭

$[｛\bar｛\cal E｝^｛*｝\left（z，t\right）=\left[\matrix｛\cal E｝_｛+｝^｛\，*｝\left（z，t\right）\cr｛\cal E｝_｛-｝^｛\，*｝\left（z，t\right）｝\right]]$

遵循以下偏微分方程（PDE）系统，形成具有损耗或增益的所谓非线性耦合模式方程，

$[\eqalinno｛\partial｝_｛z｝\bar｛\cal E｝\left（z，t\right）=｛｝&\bar｛\cal E｝\left（z，t\right）+i \bar｛\cal｛M｝｝\，\bar｛\cal E｝\left（z，t\right）\cr&+\bar｛\cal｛N｝｝\，\bar｛\cal E｝\left（z，t\right）+\bar｛\cal｛N｝｝_｛\！c｝\，｛\bar｛\cal E｝｝^｛\，*｝\left（z，t\right），&（7）｝]$

哪里 $[\bar{\cal M}]$ 是空间中的传播矩阵，由

$[\bar｛\cal｛M｝｝=\left（\matrix｛-\alpha&｛K｝^｛+｝\cr｛K｝^｛-｝&\alpha｝\right），\eqno（8a）]$

具有

$[\alpha={{pg}\在{2}}+{{k}^{2}{\在{kappa}}\上，2\pi{bar{chi}}^{（1）}-\kappa，\eqno（8b）]$

$[{K}^{+}=-{{K}^{2}}\over{\kappa}}2\pi{\Delta\chi}^{\left（1\right）}{u}_{p} ，\eqno（8c）]$

$[{K}^{-}={{K}^{2}}\over{\kappa}}2\pi{\Delta\chi}^{left（1\right）}{u}_{-p}。\设备编号（8d）]$

$[\bar{\cal T}]$ 是时间传播矩阵，

$[\bar{\cal{T}}=\left（\matrix{-{1}\over{c\sin\theta}}&0\cr0&{1}\ over{c:sin\theta{}}\right）.\eqno（9a）]$

$[\bar{\cal{N}}]$ 是对应于平均NL项的NL矩阵，

$[\bar{\cal{N}}=\left[\matrix{-{\Gamma}_{a}{\Lambda}_{+}\ left（z，t，S，X\right）&{\Gamma}_{p\Delta}{\Lambda}_{-}\ lert（z，t，S，X-right）_{\vphantom{\big|}}\cr{-\Gammaneneneep _{p\ Delta}{\Lampda}_}_{++\Gamma}_{a}{\Lambda}_{-}\左（z，t，S，X\右）}\右]，\eqno（9b）]$

具有

$[{\Lambda}_{+}\左（z，t，S，X\右）={S\左|{\cal E}_{+/}\左$

$[{\Lambda}_{-}\左（z，t，S，X\right）=S{\left|{\cal E}_{-}\左$

数量S公司对应于自相位（SP）调制项，而X（X）用于交叉相位（CP）调制；此外，术语 $[{\Gamma}_{a}]$ 对应于平均NL项，而该项 $[{\Gamma}_{p\Delta}]$ 与关联第页介电常数NL项的第个傅里叶分量 $[{\Delta\chi}^{\左（3\右）}{u}_{p} ]$ .

矩阵 $[\bar{\cal{N}}_{c}]$ 影响 $[{\bar{\cal E}}^{*}\left（z，t\right）]$ 是

$[\bar{\cal{N}}{c}={\Gamma}{m}\left[\matrix{{\cal E}{-}\left（z，t\right）}^{2}&0\cr0&{-{\calE}}{+}\left（z，t\right）{^{2{}\right]。\等式（10）]$

系数 $[\伽马_m]$ 也与三阶介电常数有关。它有助于波的混合过程。如果根据我们的假设，极化是静止的，我们可以在几何中证明这一点

$[S=X=1，\qquad{\Gamma}_{a}={\Gamma}_{m}\，\propto\，1+4\pi{\bar{\chi}}^{（3）}.\eqno（11）]$

在上述理论中，通过在介电常数中引入虚部，已经将损耗（或增益）考虑在内。一般来说，在X射线领域，材料是吸收的；然而，在X-FEL激发下，固体（硅和氧化镁）中有受激发射的报道（Beye等。, 2013 ; 尤内达等。, 2015 ; 乔纳德等。, 2016 )，因此也需要考虑增益介质（激光介质）的情况。让我们提一下，最近研究了在1D-PC中利用X-FEL泵浦形成所谓分布反馈激光器的X-UV激光（安德烈等。, 2014 ).

3.低密度状态：瞬态响应

在本节中，我们假设X-FEL辐射的强度足够低，因此不会发生NL行为：这是低强度状态（LIR）。我们将看到，即使1D-PC对脉冲的响应是纯线性的，当脉冲的时间宽度很短时，也会产生显著的影响。首先，我们将从反射和传输的角度考虑1D-PC的所谓脉冲和指示响应；脉冲响应对应于Dirac事件-δ脉冲，而指示响应对应于阶跃式的入射Heaviside-Θ信号的时间依赖性。假设1D-PC在布拉格共振下工作。

在LIR下，PDE系统，方程式（7），是线性的，可以通过以下特征坐标进行简化v（v）,w个,

$[v={{1}\在{2}}\左（ct\sin\theta-z\右），\eqno（12a）]$

$[w={{1}\在{2}}\左（ct\sin\theta+z\右），\eqno（12b）]$

以及由

$[｛\cal E｝_｛+｝\left（z，t\right）=\exp\left（-i\alpha{c} 吨\sin\theta\ right）\，tilde{f}\ left（v，w\right），\eqno（13a）]$

$[{\cal E}_{-}\左（z，t\right）=\exp\左（-i\alpha{c} 吨\sin\theta\右）\，\波浪线{b}\左（v，w\右），\等号（13b）]$

到以下双曲二阶PDE，

$[{\cal{L}}_{\左（v，w\右）}\左[\，\波浪线{f}\左（v，w\左）\半波浪线{b}\右（v，w\右）\右]=0\等号（14）]$

哪里 $[{\cal L}_{\左（{v，w}\右）}]$ 微分算子定义为

$[{\cal{L}}_{\left（v，w\right）}=\ left（{{\partial}^{2}}\ over{\partical v\partial w}}+{{\pi}^{2}}\-over{\Lambda}^{2]}\ right），\eqno（15）]$

具有 $[{\Lambda}^{2}]$ 与耦合常数相关的量K（K）⁺,K（K）^-通过

$[{\Lambda}^{2}=-{{{\pi}^{2]}\超过{{K}^{+}{K}^{-}}}.\eqno（16）]$

数量 $[{{\Lambda}}]$ 是消光长度动力学理论衍射。对于给定的边界条件，方程（14）给出的PDE可以通过实施Riemann的方法来解决（Courant和Hilbert，1965 ). 该方法需要在图2所示的特征坐标平面上绘制积分轮廓.

图2
特征坐标系中的1D-PC几何(v（v）, w个); 前表面由下式给出w个=v（v）（PQ线），而后表面由w个=v（v）+L（左）（RT线）。

应用黎曼方法可以将后向传播（反射）场写成如下：，

$[\tilde{b}\left（v，v\right）=-i{K}^{-}\，{{Lambda}\ over{pi}}\int\limits_{P}^{Q}\{日本}_{1} \左[（{{2\pi}/{\Lambda}}）\左（v-{v}^{prime}\right）\右]}\在{\左上（v-{v}^{prime}\right）}\，\波浪线{f}\左（{v}^{prime}，{v}^\ prime}\ right）$

哪里 $[\波浪线{f}\左（{v'，v'}\右）]$ 对应于前表面的入射（正向传播）波(z（z）= 0).J型₁是第一类贝塞尔函数。根据方程式（17）可以根据反射系数来推导脉冲。脉冲入射降低了场振幅 $[{\波浪线{f}\左（v，v\右）}{\三角}]$ 可以写成

$[{\tilde{f}\left（v，v\right）}_{\delta}={{\exp\left$

哪里 $[\增量]$ 代表狄拉克峰。插入式（18）到（17）进行积分后，得到了减少衍射场的结果 $[\波浪线{b}{\左（{v，v}\右）{\rm{\delta}}}]$ 在狄拉克脉冲的入射下，

$[\eqaligno{{\tilde{b}\left（v，v\right）}{\delta}={}&-i\sin\theta\，K^{-}\，{{\Lambda}\over{\pi}}\，}{\exp\ left（+iax\cos\theta\sin\ttheta\ right）{日本}_{1} \left[（{{\pi}/{\Lambda}}）\sin\theta\left（ct-x\cos\theta\right）\right]}\ over{\sin\ttheta\ left（ct-x\cos\theta\ right）}}，&（19）}]$

也就是说，对于衍射场，

$[\eqaligno{{\cal E}_{-}\左（z=0，T\右）}_{\delta}&=i\sin\theta\，K^{-}{\Lambda}\上{\pi\sqrt{2\pi}}\，{{{日本}_{1} \left[\zeta\ left（T\ right）\ right]}\ over{\zeta\left（T_right）}}\，\Theta（T），\cr\zeta\fleft（T/right）&=（{{\pi}/{\Lambda}}）\sin\Theta\，cT，&（20）}]$

其中时间延迟T型已经引入，相对于衍射波面进行测量，

$[T={{ct-x\cos\theta}\在{c}}.\eqno（21）上]$

$[\hat（帽子）{右}_{\增量}\左（T\右）]$ = $[{{\cal E}_{-}\左（z=0，T\右）}_{\delta}]$ 是反射方面的脉冲响应，也是时间格林函数克_R（右）(T型)进行反思。具有时间相关因果分布的时间相干辐射 $[\Xi]（西）$ （归一化为统一），指示响应 $[{\hat R_\Theta}\left（t\right）]$ 反射系数由下式给出

$[\hat（帽子）{右}_{\Theta}\left（t\right）=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\left|{克}_{R} （T）\右|}^{2}\Xi\左（T-T\右）\，{\rm{d}}T=\int\limits_{0}^{T}{left|{克}_{R} （T）\右|}^{2}\Xi\左（T-T\右）\，{\rm{d}}T.\eqno（22）]$

公式（22）允许绘制一条“通用”曲线，用于指示响应的峰值反射率 $[左（t\right）]$ 与缩短的时间 $[\bar{t}]$ = $[t（\pi\sin\theta\，c/\Lambda）]$ （见图3). 反射的指示响应似乎取决于消光长度 $[\Lambda]（兰姆达）$ 它表示一个瞬变周期，其持续时间由特征瞬变时间给出t吨_c（c）大约等于缩短的时间的两个单位。

图3
峰值反射率的指数响应与减少了1D-PC在布拉格共振（布拉格角）下的时间。反应标准化为统一。

根据类似的计算，可以表明正向传播的传输场 $[{\波浪线{f}\左（v，w\右）]}_{T}]$ 由提供

$[\eqaligno{{\tilde{f}\left（v，w\right）]}_{T}\simeq{}&-{{2{\pi}^{2} L（左）}\在{{\Lambda}^{2}}}\int\limits_{P}^{Q}\tilde{f}\left（{v}^{prime}，{v}^{prime}\right）\cr&\times{{上{日本}_{1} \left\{（{2\pi}/{\Lambda}}）\left[\left（v+L-{v}^{\prime}\right）\left 2}}\，{\rm{d}}{v}^{prime}&(23)}]$

为了确定传输方面的脉冲响应，我们将其插入方程（22）中方程（18）给出的入射脉冲表达式对于反射情况，我们对反射几何进行积分，从而得到传输方面的脉冲响应 $[\hat（帽子）{T}（T）_{\增量}\左（t\右）]$ 存在 $[{{\cal E}_{+}\左（z=L，T\右）}_{\delta}]$ ,

$[\eqalign{{\cal E}_{+}\左（z=L，T\右）}_{\delta}&={{\pi}^{2} L（左）}\在{\sin\theta\Lambda^{2}}\上，{{{日本}_{1} \left[\xi\ left（T\ right）\ right]}\ over{\xi\ leaft（T\right）}\，\Theta\ left\等号（24）]$

具有时间相关因果分布的时间相干辐射 $[\Xi]（西）$ 指示反应 $[\hat（帽子）{T}（T）_\Theta\左（t\右）]$ 依据传输系数由传输的时间格林函数给出，克_T型= $[\hat（帽子）{T}（T）_\δ]$ ,

$[\hat（帽子）{T}（T）_{\Theta}\left（t\right）=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\left|{克}_{T} （T）\right|}^{2}\，\Xi\ left（T-T\ right）\，{\rm{d}}T=\int\limits_{0}^{T}{left|{克}_{T} （T）\right|}^{2}\，\Xi\ left（T-T\ right）\，{\rm{d}}T.\eqno（25）]$

传输方面的指示响应受消光长度的制约 $[\Lambda]（兰姆达）$ 和厚度L（左）1D-PC的。

从一维光子晶体的指示响应可以计算出短脉冲的时间相关反射和透射。让我(t吨)是任何入射脉冲的时间包络形状O（吨）相应反射或发射脉冲的包络。然后是拉普拉斯变换O（运行）(秒)属于O（吨）与拉普拉斯变换有关我(秒)属于我(t吨)通过卷积定理，

$[O\左（s\右）=\hat{Z}（Z）_{\delta}\左（s\右）\，I\左（s\右），\eqno（26）]$

$[\hat（帽子）{Z}（Z）_\增量\左（s\右）]$ 是脉冲响应的拉普拉斯变换的传递函数 $[\hat（帽子）{Z}（Z）_{\增量}\左（t\右）]$ [ $[\equiv]$ $[\hat（帽子）{右}_{\增量}\左（t\右）]$ 或 $[\hat（帽子）{T}（T）_{\增量}\左（t\右）]$ ]。 $[\hat（帽子）{Z}（Z）_{\增量}\左（t\右）]$ 可以根据 $[\hat（帽子）{Z}（Z）_｛Theta｝\left（t\right）｝$ 根据斯特雷杰克的方法（de Larminat，2007 ). 通过对方程（26）进行拉普拉斯逆变换，一个决定了时间响应（André&Jonnard，2015).

现在，我们在MIM由堆栈组成的情况下说明前面的理论N个=7 Ti/Si双层；期间天等于70 nmγ比率等于0.5。入射XFEL辐射的光子能量为20 eV(λ=62 nm）衍射θ= 60°. Ti/Si系统的选择不取决于MIM反射率优化的目标，而是取决于已经证明的事实（参见Bencivenga等。, 2014)钛在感兴趣的光子能量下具有NL行为。时间剖面XFEL脉冲由正弦平方函数建模；也就是说，入射脉冲的包络变化如下 $[\sin^2[\pi（t/\tau）]]$ 时间间隔[0τ]外部0。

荷兰介电常数假设钛的（折射率的平方）由德鲁德公式给出，该公式经过了修改，以解释强度依赖性（Bencivenga等。, 2014),

$[\varepsilon_{\rm{NL\，Ti}}=1-{{\omega_{p0}^{2}\左（1+A\bar{E}\右）}\上{\omega ^{2{+i\omega\bar{\gamma}}\近似\varepsilon_{\ rm{L\，Ti{}+\Delta{\varepssilon}_{\rma{Ti}}\bar{E}，\eqno（27a）]$

$[eqalign{\varepsilon_{\rm{L\，Ti}}&=1-{{{\omega}_{p0}^{2}}\在{{\ω}^{2]+i\omega\bar{\gamma}}\上近似1-{{\omega}_{0}^2}}2}}\在{{omega}上^{3}_｛\vphantom｛\big |｝｝｝｝｝，\cr\Δ｛\varepsilon｝_｛\rm｛Ti｝｝&=-A｛｛\omega｝_｛p0｝^｛2｝｝\ over｛\omega｝^｛2｝｝｝｝，｝\eqno（27b）]$

$[{\omega_{p0}}]$ 是零能量密度下的等离子体频率( $[{{\bar E}}]$ =0）等于17.7 eV，A类是一个经验常数，等于7.5×10¹² 米^三 J型⁻¹.跟随Bencivenga等。(2014)，阻尼项 $[\bar\gamma]$ 被认为是 [0.1{ω{p0}}] 至于铝（Ujihara，1972 )因为文献中没有Ti的参考值。从数值上看，在20 eV时

$[\eqalign{\varepsilon_{\rm{L\，Ti}}&=0.217+i\，0.069=（0.474+i，0.087）^{2}，\cr\Delta{\varesilon}_{\rm{Ti}}&=-5.87\乘以10^{12}.}]$

对于硅，来自Palik（1985）)，20 eV时，

$[\varepsilon_{\rm{L\，Si}}=（0.567+i\，0.083）^{2}]$

图4显示了考虑中的Ti/Si MIM反射率的指示响应，在接近布拉格角(θ=60°），通过求解方程（7）获得（安德烈和乔纳德，2015年). 似乎瞬态时间约为6.5 fs，以达到平稳指示响应的90%。峰值反射率的时间响应（即布拉格角 θ=60°）到多个时间宽度的单个脉冲 $[\tau]$ （10、50、100 fs）如图5所示可以看出，对于最短的入射脉冲，反射率没有足够的时间达到其稳态值。对于最长的脉冲，响应持续时间是相当对称的，大约持续脉冲的时间。对于最短的脉冲，响应是不对称的，持续时间至少是脉冲的两倍。

图4
Ti/Si MIM的指示响应与不同掠射角下峰值反射率的时间θ：红线，θ=60°（布拉格角）；黑线，θ= 65°; 蓝线，θ= 55°.

图5
布拉格共振下Ti/Si MIM反射脉冲与几个时间宽度的时间τ入射脉冲：蓝线，τ=10英尺/秒；黑线，τ=50英尺/秒；红线，τ=100英尺。

4.高强度状态：孤子和其他非线性效应

在本节中，我们重点介绍了克尔非线性发生的高强度区（HIR）中发生的一些非线性效应。如果从一般耦合波（CW）方程开始，方程（7）为了处理这种情况，人们必须面对许多很难处理的数学问题，只剩下一般计算密集型的数值技术，无法提供必要的物理洞察力。所以我们选择通过保持方程（7）来简化问题只有描述基本现象的术语。这样，我们的研究仅限于以下情况：

（i）介质中的损耗和/或增益被丢弃。

（ii）1D-PC在第页布拉格共振。

（iii）矩阵效应的波混频 $[\bar{\cal{N}}_{c}]$ 式（7）中被忽略。

4.1. NL固定箱

根据§3中研究的时间相关线性案例可以预期，对于相对于消光长度相关的特征时间具有非常大时间宽度的脉冲，脉冲在NL介质中的传播可以用NL偏微分方程的时间无关（平稳）形式满意地描述。可以看出，在这些条件下，从方程（7）推导出的双曲偏微分方程组根据上述假设，有两个守恒量取决于 $[｛\cal E｝_｛+｝\left（z \ right）]$ 和 $[{\cal E}_{-}\左（z\右）]$ ,

（i）强度流， $[｛|｛\cal E｝_｛+｝\left（z \ right）|｝^{2}-{|{\cal E}_{-}\左（z\右）|}^{2}]$ =我_在里面-我_裁判=我_外面的 $[\equiv]$ T型（见附录A类);

（ii）实值哈密顿量（未明确说明）。

此外，由于PDE系统的自由度（等于2）等于守恒量的数量，因此根据Liouville–Arnould定理，该PDE系统是完全可积的。根据“标准”边界条件，

$[\eqalign{&\left|{\cal E}_{+}\left（0\right）\right|^{2}\，={我}_{\rm{in}}，\qquad\left|{\cal E}_{-}\left（0\right）\right|^{2}\，={我}_{\rm{ref}}，\cr&\left|{\cal E}_{+}\left（L\right）\right|^{2}\，={我}_{\rm{out}}，\qquad\left|{\cal E}_{-}\left（L\right）\right|^{2}\，=0，}\eqno（28）]$

积分得出透射率（反射率）和输入强度之间的关系我_在里面根据雅可比椭圆函数（见附录A类). 根据方程式（45）推导的透射率表达式，1D-PC似乎可以呈现双稳态。如图6所示，由方程式（50）得出根据归一化透射率，它显示了布拉格共振下的典型S形响应与我_在里面对于的值 $[\bar{\kappa}L]$ 等于2；负斜率区（4.75～4.85）不稳定。布拉格反射率与介电常数被擦除，直到在图6所示的点T处达到透明状态（反射率接近零）。对于低值 $[\bar{\kappa}L]$ ，双稳态不能通过缺乏反馈来实现，但对于更大的值 $[\bar{\kappa}L]$ 出现多开关现象（Winful等。, 1979). NL 1D-PC可根据条件产生多重稳定性和光学限制（见§4.2.2)并且甚至可能经历混乱的行为。

图6
透射比与呈现NL 1D-PC的双稳定性的归一化输入强度；在T点出现准透明态。

4.2. NL与时间相关的情况

4.2.1. 孤子

在线性情况下，1D-PC的物理性质由频域中色散曲线的两个分支的出现决定，由于波耦合而经历反交叉。在与我们的问题相关的反传播案例中，反交叉导致了一个禁止的能量缺口。在上一节中考虑的LIR中，布拉格频率 $[{\omega_c}]$ 位于禁止行波的带隙内。在HIR介电常数与电场强度成比例变化，支路能量向下/向上移动（根据正/负NL，带隙的一种蓝/红偏移），因此频率 $[{\omega_c}]$ 不再落入禁区，而是转向允许行波的区域。该机构如图7所示隙孤子以及下文所述的光限幅和开关与此机制有关。

图7
频率色散曲线(ω)/布洛赫波数(K（K）)域。(一)LIR、(b条)HIR和正NL，频率降低(c（c）)HIR和负NL，频率升高。

然后，系统的动力学由NL-PDEs系统控制，方程式（7）该系统的一个显著特性是，可以解析地建立整个局域解族，形成“类孤子”解。许多专业著作都讨论了术语“孤子”的充分性（例如，见Wazwaz，2009 ); 这里我们只使用术语孤子来表示局部解，而不是严格的数学意义上的可积性。我们首先考虑SP被忽略的情况(S公司= 0). 尽管人们可以想象X（X）=0，似乎没有真实的几何图形S公司=0和X（X）=0，因此这些条件下的模型与我们的问题不直接相关。然而，后一种情况为我们将在下文中看到的一般解决方案铺平了道路。已经认识到，由方程式（6）给出的系统具有S公司=0和X（X） $[\ne]$ 0降为质量Thirring模型（MTM），该模型是可积的，并表现出类孤子解（Martun de Sterke&Sipe，1994). 当SP项未被忽略（通常X（X）=S公司)可以从MTM的类孤子解中建立（Orfanidis&Wang，1975 ).

我们简要介绍了更一般的数学方法S公司 $[\ne]$ 0中，X（X） $[\ne]$ 0和Im(∊) $[\ne]$ 方程（6）的孤子解.首先是列向量 $[\bar{\cal E}\left（z，t\right）]$ 没有SP可以被视为狄拉克旋量 $[\psi]（磅/平方英寸）$ 和方程式（6）形式上与MTM方程相同，

$[i{\gamma}^{\mu}{\partial}{\muneneneep \psi=m\psi-g\，{日本}_{\！\mu}\psi，\qquad{J}^{\mu}=\bar{\psi}{\gamma}^{\ mu}\psi，\eqno（29）]$

$[{\gamma}^{\mu}]$ 是由泡利矩阵形成的伽马矩阵 $[{\sigma_\mu}]$ MTM方程可以简化为Sine–Gordon方程，它是可积的；最后，MTM的类孤子解是（Aceves&Wabnitz，1989)

$[\psi=\left（矩阵{{psi}{1}\cr{psi{{2}}\right），\eqno（30a）]$

具有

$[\eqalinno｛\psi_｛1｝=｛｝&\pm\left（\pm｛\bar｛\kappa｝｝\over｛2\Gamma｝_｛a｝｝｝\right）^｛1/2｝\，｛｛1｝\over｛\Delta｝｝｝\，\ sin Q\exp\left[\pm i\bar｛\kappa｝\zeta\cos Q\right]\cr&\times｛rm｛sech｝\left[\bar｛\kappa｝\xi\sin Q\mp iQ/2\right]，&（30b）｝]$

$[\eqaligno{\psi{2}={}&-{\左（\pm{{\bar{\kappa}}\上{2\Gamma}_{a}}\right）}^{1/2}\Delta\sin Q\exp\left[\pmi\bar{\ kappa{\zeta\cos Q\right]\cr&\ times{\rm{sech}}\left[\bar{\kappa}\xi\sin Q\pmi Q/2\right]，&（30c）}]$

$[\zeta=｛｛vz-t｝\over｛\left（1-｛v｝^｛2｝\right）^｛1/2｝｝｝｝，\eqno（30d）]$

$[\xi={{z-vt}\over{left（1-{v}^{2}\right）^{1/2}}.\eqno（30e）]$

符号由线性和NL耦合系数的相对符号确定。方程（30）表示方程（7）的两参数解族具有的系统 $[\增量]$ 和问作为两个自由参数，分别从与MTM有关的散射问题的特征值的振幅和相位中获得；v（v）是无量纲量(|v（v）| $[\lt]$ 1）由提供

$[v={{1-{\Delta}^{4}}\在{1+{\Delta}^{4]}\eqno（31）上]$

这决定了孤子的速度。参数问( $[0\，\lt\，Q\，\t\，\pi）]$ 给出了孤子在带隙中的位置，并确定了其宽度：问= $[{\pi/2}]$ 对应于一个中心频率位于间隙中间的孤子，减小为梁的慢布拉格孤子（1985); 限制问 $[\至]$ 0对应于间隙顶部的类孤子解，减少为NL PDE的NL Schrödinger单孤子解（Sipe&Winful，1988 )，而限制问 $[\至]$ $[\pi]$ 对应于平面波解。广义的(即SP不可忽略）类孤子解 $[\bar{\cal E}\left（z，t\right）]$ 是根据孤子解构建的 $[\psi]（磅/平方英寸）$ 公式（18）给出的MTM,

$[\bar｛\cal E｝=｛\cal A｝\psi\exp[i\vartheta\left（\xi\right）]，\eqno（32a）]$

具有

$[{\cal A}={{1}\ over{\ left（1+R_+R_-\ right）^{1/2}}，\eqno（32b）]$

$[{右}_｛\pm｝＝｛｛S｝\超过｛4X｝｝\，｛｛\left（1\pm v\right）^｛2｝｝\超过｛1-｛v｝^｛2｝｝｝｝｝，\ekno（32c）]$

$[\exp\left[i\vartheta\left（\xi\right）\right]=\ left[-{{exp\left$

$[秒={{{右}_｛+｝-{右}_{-}}\在{{\cal{A}}^{2}}}上。\设备编号（32e）]$

方程（32）给出的孤子称为自透明孤子。我们注意到NL相互作用效应出现在方程（32）中主要通过数量 $[{R_\pm}]$ 通过比率S公司/4X（X）.图8显示了1D-PC中形成的慢布拉格孤子形状的时间演化。

图8
在NL区1D-PC中形成的任意单位的慢布拉格孤子形状的时间演化。

这些类孤子解可以用有效粒子来描述（Martijn de Sterke&Sipe，1989）)收费q个和动量第页,

$[{\bf q}=\textstyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\左（{\cal E}^{，*}{+}{\cale E}{+}+{\calE}^{\，*}_{-}{\ cal E{{-}\右）\，{\rm{d}}z，\eqno（33）]$

$[{\bf p}=-i\textstyle\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\ left（{\cal E}^{，*}_{+}{\partial}_{z}{\calE}{+}+{\cale E}^}，*{_{-}{\protial}_{z}}{\cal E}_{-{\right）\，{\rm{d}z.\eqno（34）]$

使用方程式（7），如下所示

$[{\partial}_{z}{\bfq}=2\，{\rm{Im}}（K）\，{\ffq}\eqno（35）]$

和

$[{\partial}_{t}{\bf-p}=2\，{\rm{Im}}（K）\，{\ff-p}.\eqno（36）]$

看来，在没有损耗或增益的情况下，动量和电荷都是守恒量，否则它们会随时间呈指数变化。从这些方程可以看出，重要的参数问满足

$[{\部分}_{t} 问=2\，{\rm{Im}}（K）\，Q.\eqno（37）]$

自（37）因此，孤子的宽度由以下因素决定问，与时间成指数关系，而其速度v（v）尚不确定。Martijn de Sterke&Sipe（1991）详细分析了由NL介质组成的1D-PC中隙孤子的损耗和增益行为 ).

如前所述，速度v（v）可以被视为一个自由参数；换句话说，通过适当地选择条件，应该可以获得非常慢的孤子，甚至是静止孤子，直到以光速运动的孤子。低速( $[v\approx0）]$ 意味着能量将以原子共振脉冲传播中观察到的自导透明（SIT）的方式非常缓慢地传输（McCall&Hahn，1967 ); 然后，人们可以谈论布拉格SIT。让我们提一下时间相关NL问题的多政治类解的可能存在性。

我们现在开始研究X-FEL脉冲辐照下可能的孤子及其条件。首先让我们概述一下，找到入射脉冲的正确特征以及产生给定孤子的适当条件的问题绝非无关紧要。对于具有N个单位细胞（双层），Martijn de Sterke和Sipe（1989)给出了满足间隙孤子发生的以下标准，

$[{{N}}^{\，2}{\Delta N}_{\rm{L}}{\Delta N}{\rm{NL}}\ge1，\eqno（38）]$

哪里 $[{{\Delta}}{n_{\rm{L}}]$ 是折射率和 $[{{\Delta}}{n_{\rm{NL}}]$ 是最大NL变化折射率。我们还要强调，孤子稳定性问题是一项艰巨的任务（黄等。, 2011 )，超出了本文的范围。

4.2.2。光交换

NL 1D-PC的动力学提供了多种机制的可能性，这些机制对实际应用非常有吸引力：光限幅和开关、脉冲产生或整形、，等。在下文中，我们将进一步详细讨论光限幅和开关（OLS），因为它对X射线技术具有潜在的兴趣。OLS是NL 1D-PC响应对入射场强的动态变化的结果。为了理解OLS机制的原理，考虑频域是很方便的。这里，禁隙（布拉格域）的宽度GW与介电常数的差成比例 $[\Delta\varepsilon_{a}{b}}]$ 材料之间一和材料b条假设其中一种材料一，表示具有正系数的NL-Kerr-like行为，即它的介电常数随入射场强增加 $[{{\bar E}}]$ 而其他材料则表现出线性行为。然后，作为 $[{{\bar E}}]$ 增加，GW也会增加，因此差距会动态扩大。如果入射辐射的载频调谐在频带边缘，则入射脉冲的更大频率域将落在禁带内，直到阻止脉冲的完全传播。Scalora描述的这种机制等。(1994 )形成了强度驱动OLS的基础。

对于具有负系数的NL特性，可以从图9所示的泵/探头方案中的线性材料进行切换：载波频率的强泵浦脉冲 $[\omega_{\rm{pp}}]$ 远远低于差距和强度 $[{\bar E}_{\rm{pp}}]$ 引入载波频率的非线性和探测脉冲 $[\omega_{\rm{pr}}]$ 在间隙内但靠近带边且强度 $[{\bar E}_{\rm pr}\ll{\bar E}_{rm pp}]$ 1D-PC上发生事故(即没有泵送）探头脉冲不传输。对于负系数，在泵浦光照射下，带宽GW减小，超过一定值 $[{\bar E}_{\rm pp}]$ 探针频率 $[\omega_{\rm pr}]$ 可以离开间隙，从而导致探测光束的传输。在我们的示例中，Ti的负NL系数可能会遇到这个过程，它可能会构成X射线开关的基础。

图9
具有负系数的NL 1D-PC的光开关方案。NL克尔效应是由泵浦光束引起的，可以允许探测光束的传输。在没有泵的情况下，没有透射探头；这种情况用箭头上的十字表示。

5.结论

由X-FEL在一维光子晶体中传输的超短或超强X射线脉冲为观察X射线领域中从未遇到的许多现象开辟了道路。事实上，到目前为止，本文中所考虑的现象都没有显示出来，而且它们的观测在技术上具有挑战性。考虑到激光雷达，测量反射单脉冲的强度仍然很困难。然而，FERMI X-FEL设施中TIMEX终端站所采用的测量反射率的技术（Bencivenga等。, 2014)可以设想测试我们的模型。

当NL被纳入HIR的1D-PC中时，已经表明可以动态控制超强X射线脉冲的传播。NL效应通常是对无损介质的实验和理论研究；在X射线领域，特别是软X射线范围，如果没有密集的数值计算，很难在连续波理论框架中预测吸收对NL效应的影响。为此，采用传输矩阵法的计算以类似于Li所示的方式扩展到Kerr NL等。(2015 )可以设想。从实验的角度来看，为了测试NL效应，应该使用从光学领域借用的技术，包括脉冲压缩和交叉相位调制（Martijn de Sterke，1992 ).

附录A

根据正文中提到的假设，PDE系统的稳态版本由等式（7）给出变为，在第页第Bragg共振，

$[\eqaligno{{i\partial}{z}{\cal E}{\pm}\left（z\right）={}&\mp\bar{\alpha}\left[\ left（{\left|{\cale E}{\ pm}\leaft（z\ right）\right|}^{2}+2{\left |{\cal E}{\mp}\left右）\cr&+\bar{\kappa}{\cal E}_{\mp}\left（z\right），&（39）}]$

具有

$[\bar{\alpha}={{k}^{2}}\ over{\kappa}}\，2\pi{\bar{chi}}^{（3）}，\qquad\bar{\kappa}={k}^{2{}\ over{\kapba}}，2\π{\Delta\chi}^{left（1\right）}{u}_{p} ●●●●。\等式（40）]$

数量T型= $[|{\cal E}_{+}\左（z\右）\右|^{2}]$ − $[{\left|{\cal E}_{-}\left（z\right）\right|}^{2}]$ 对应于传输的通量是一个守恒量(即 z（z）-独立）。的确，设置 $[｛\cal E｝_｛\pm｝\left（z\right）]$ = $[|{\cal E}_{\pm}\左（z\右）|\exp[\pm\varphi_{\pm}（z）]]$ 并代入方程（39）在分离实部和虚部之后，

$[{\partial}_{z}\left|{\cal E}_{\pm}\ left（z\right）\right|=\bar{\kappa}\left |{\cal E}_{\mp}\ lert（z\ right）\ right|\sin\psi\eqno（41）]$

和

$[\eqalinno{\left|{\cal E}{\pm}\ left（z\right）\right|\partial_{z}\varphi_{\pm{={}&\bar{\kappa}\ left|}\cal E}{\mp}\ left（z\reight）\right |\cos\psi\cr&+\bar{\ alpha}\left\{left[{\left |{\cal E}{\pmneneneep \ left cal E}_{\mp}\左（z\右）\右|}^{2}\右]\right\}\左|{\cal E{{\pm}\左[z\右]\右|，&（42）}]$

哪里 $[\psi\左（z\右）]$ = $[{\varphi}_{+}\left（z\right）-{\varfi}_{-}\left（z\right）]$ 布拉格共振。消除 $[\psi\左（z\右）]$ 从方程式（41）和（42）给出传播常数T型.简介T型英寸（39）导致

$[\eqaligno{{\left[{\partial}_{z}{\left |{\cal E}_{+}\left（z\right）\right|}^{2}\right]}^{2}={}&{4\left|{\cal E}_{+}\ left（z \right^{2} -T型\右]\cr&\times\left\{{\bar{\kappa}}^{2}-9{\bar{\alpha}}^{2}{\left|{\cal E}_{+}\left（z\right）\right|}^{2}\left[{\left |{\cal E}_{+}\ left（z \ right）\ right|{^{2} -T型\右]\right\}&(43)}]$

使用以下新数量，

$[\rho={{{\left|{\cal E}_{+}\ left（z\right）\right|}^{2}\ over{\left |{\cal E}_{-}\ left[z\right|}^{2]}，\quad z={2z}\ over{L}}，\ quad N={2}\over{3\bar{\alpha}}}{我}_{\rm-out}={{T}\超过{N}}，]$

方程式（39）可以重写

$[{{\rm{d}}\rho}\在{{\rm{d}Z}}=\pm\Big\{\rho\left（\rho-{我}_{\rm{out}}\right）\big[\left（\bar{\kappa}L\right-{我}_{\rm{out}}\right）\big]\big\}^{1/2}，\eqno（44）]$

它考虑了“标准”边界条件，方程（27）.方程式（44）给予

$[\int\limits_{0}^{\infty}{{{\rm{d}\rho}\over{\left\{\rho\left（\rho-I_{\rm}out}\right）\left[\left[（\bar{\kappa}L\right$

哪里 $[\rho_0^\pm]$ 是二项式方程的两个根 $[（\bar｛\kappa｝L）^｛2｝]$ − $[4\rho（\rho-I_{\rm{out}}）]$ =0。

方程（45）左侧积分的计算取决于平方根下二次多项式根的相对值。在大多数情况下，这些根是真实的，并且令人满意

$[\rho\left（Z=2\ right）\，\ to \，\ infty \，\gt\，\rho_{0}^{+}\，\gt \，I_{\rm{out}}\，\ gt\，\ gt \，\ rho_0^{-}.\eqno（46）]$

在这种情况下，方程（45）左侧的积分可以使用Byrd&Friedman（1971）给出的方法找到 ). 经过一些代数运算，

$[\rho\left（Z\right）={{I_{\rm{out}}}\over{2}}\left\{1+nd\left[u（Z）/m\right]\right\}，\eqno（47）]$

n个天[u个(Z轴)/米]是雅可比椭圆（椭圆余弦）函数δ振幅的倒数天n个[u个(Z轴)/米]（伯德和弗里德曼，1971年)，其中模量米由提供

$[m=\left[{{\left（\bar{\kappa}L\right）^{2}}\ over{\left[（\bar}\kappa}L\ right）|{2}\，+\，I_{\rm{out}}^{\，2}}}\right]^{1/2}\eqno（48）]$

和

$[u\左（Z\右）=2\左[\左（\bar{\kappa}L\右）^{2}\，+\，I_{\rm{out}}^{\，2}\右]^{1/2}\左（1-{{Z}\ over{2}}\右）。\等号（49）]$

数量 $[\rho\left（{Z=0}\right）]$ 对应于标准化输入强度我_在里面和方程式（47）我们可以推导出我_外面的和我_在里面,

$[I{\rm{out}}={{2I{\rm{in}}}\在{1+nd\left\{2\left[\left（\bar{\kappa}L\right）^{2}\，+\，I{\orm{out}^{\，2}\right]^{1/2}/m\right\}}}上。\等式（50）]$

在NL状态下，恢复了布拉格共振时传输的众所周知的表达式，

$[I{\rm{out}}=I{\rm{in}}\，{\rm}sech}}^{2}\左（\bar{\kappa}L\右）.\eqno（51）]$

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国际标准编号：1600-5775

第24卷| 第2部分| 2017年3月| 第376-385页

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