Real-space texture and pole-figure analysis using the 3D pair distribution function on a platinum thin film

Harouna-Mayer, S.Y.; Tao, S.; Gong, Z.; Zimmermann, M. v .; Koziej, D.; Dippel, A.-C.; Billinge, S.J.L.

doi:10.1107/S2052252522006674

研究论文

IUCrJ大学

第9卷| 第5部分| 2022年9月| 第594-603页

国际标准编号：2052-2525

https://doi.org/10.107/S2052252522006674

材料|计算

打开

访问

铂薄膜三维对分布函数的真实空间纹理和极点图分析

Sani Y.Harouna-Mayer公司,^a、，^b 陶松生,^c（c）子洲功,^c（c）马丁诉齐默尔曼,^d日多罗塔·科齐耶,^a、，^b 安·克里斯汀·迪佩尔 ^d日 ^*和西蒙·比林（Simon J.L.Billinge）^c、，^{e（电子）}^*

^一德国汉堡汉堡大学纳米结构与固态物理研究所混合纳米结构中心，^b汉堡超快成像中心，德国汉堡，^c（c）美国纽约哥伦比亚大学应用物理和应用数学系，^d日德国汉堡同步加速器DESY^{e（电子）}美国纽约州厄普顿市布鲁克海文国家实验室凝聚物质物理和材料科学部，邮编：11973
^*通信电子邮件：ann-christin.dippel@desy.de,sb2896@columbia.edu

编辑：A.Fitch，ESRF，法国(收到日期：2022年1月10日； 2022年6月28日接受； 2022年7月19日在线)

描述了一种研究纳米结构材料织构的方法。该方法实现了Gong&Billinge（2018）提出的真实空间纹理对分布函数（PDF）txPDF ). arXiv:1805.10342[秒]}。这是在纤维织构多晶铂薄膜上演示的。该方法使用3D PDF方法，直接从样品的3D PDF中，根据一组衍射图案重建粉末微晶的取向分布函数，这些衍射图案是在基板相对于入射光束的不同倾斜角度下拍摄的。根据PDF中的原子间矢量定义了倒数空间极图的实际空间等效物，并针对铂膜中的各种原子间矢量进行了计算。此外，还显示了如何从倾斜系列的加权平均值中获得有效的各向同性PDF，包括从一次曝光中获得各向同性PDF最佳近似值的测量条件，对于纤维织物薄膜而言，该最佳近似值处于～10°的近掠入射方向。最后，一个开源Python软件包，四个GUI描述了，可用于帮助研究三维交互空间数据的纹理，实际上也可用于傅里叶变换和可视化三维PDF数据。

关键词：材料建模;纳米结构;纹理;3D线对分布函数;真实空间极图;真实空间纤维图;四个GUI.

类似文章

1.简介

X射线、中子或电子衍射数据的原子对分布函数（PDF）分析是研究材料局部结构的有力方法，其范围从非晶态到晶态（Egami&Billinge，2012 ). 它对于研究小纳米颗粒的结构特别有用（Yang等。, 2013 ; Grote公司等。, 2021 )、电池材料（掸等。, 2019 ; 胡等。, 2021 )和薄膜（Dippel等。, 2020 ; 歌曲等。, 2021 ).

通常，PDF假设样品在结构上是各向同性的，例如，完美的粉末样品。一般来说，多晶样品可能并不总是符合这一理想首选定向它们的颗粒称为晶体结构。从历史上看，根据纹理的程度，无法对此类样品进行PDF分析，或者需要冗长的样品制备，这会导致所有纹理信息的丢失（Dippel等。, 2019 ; 罗尔斯加德等。, 2019 ; 郭等。, 2013 ).

最近，展示了如何通过傅里叶变换传播样品的纹理信息，以获得纹理多晶体样品的3D PDF，以下简称txPDF（Gong&Billinge，2018). 原则上，这将允许确定直接在实际空间中编码纹理的取向分布函数，如果粉末颗粒是纳米晶，这可能是有利的。在弱纹理样品的情况下，还导出了方程来校正纹理信息的德拜散射方程（Cervellino&Frison，2020 ).

在本文中，我们探索了如何从txPDF中提取纹理和结构信息。在审查了txPDF的数学框架后（Gong&Billinge，2018）)我们以纤维织构铂薄膜为例，描述了数据采集、数据处理、纹理和结构分析程序。我们展示了如何获得真实的空间极点图和纤维图，并展示了如何使用它们获得关于样品中纹理的定量信息。我们还探索了如何从结构建模数据中恢复传统的非纹理PDF。实验很快，尤其是在高功率同步加速器上，分析也很简单。对于具有纹理的纳米结构，对定义明确的布拉格峰的分析是有问题的，这可能是研究纹理的一个有价值的工具，也显示了当纳米结构样品的结构是目标时减轻纹理的方法。

2.txPDF方法概述

在这里，我们总结了Gong&Billinge（2018）提出的纹理多晶样品的三维PDF理论，即txPDF). 与txPDF相比，传统的1D PDF在本文中被称为pwPDF以进行区分。

传统的一维PDF，pwPDF，来自各向同性粉末，G公司(第页)，通过简化结构函数的正弦傅里叶变换获得，F类(问) =问[S公司(问)−1]，其中结构起作用，S公司(问)，与测量的相干散射强度有关，我(问)，由

$[S（Q）={{I（Q）}\over{langle\，f（Q）\rangle^{2}}}，\eqno（1）]$

哪里问是散射矢量的大小（Egami&Billinge，2012). 在这里，（f）(问)是原子形状因子，尖括号表示存在的所有化学物质的平均值。然后通过以下方式获得PDF

$[G（r）={{1}\over{2\pi}}\int\limits_{Q_{rm-min}}^{Q_}\rm-max}}Q[S（Q）-1]\sin Qr\，{rm-d}Q\eqno（2）]$

下面我们总结了散射非各向同性情况下对该方程的扩展。

由于高能X射线的丰富性，pwPDF测量通常在同步加速器源进行。数据通过2D区域探测器获取。为了屈服S公司(问)，在对图像中有问题的像素应用任何遮罩后，2D检测器图像将进行方位积分，从而得到X射线强度与问.从探测器单元到问在使用已知材料的校准测量的帮助下进行。消除了寄生散射，如测量的背景信号，以及其他影响，如多次散射和非相干散射强度除以材料原子形状因子的平均值，得出S公司(问)，然后通过傅里叶变换传播以获得pwPDF。更多细节可参见Egami&Billinge（2012）的工作).

对于纹理样品，布拉格峰强度在空间上不均匀。强度相对于平均值的增加或减少取决于样品的方向和强度测量的空间方向。在使用2D检测器测量布拉格强度的情况下，这可能会导致衍射图像显示出德拜-谢尔环周围的强度变化，或者有时是均匀环，但峰值的相对强度不正确，因为问.图1比较不同倾斜角度下纹理铂薄膜衍射图案的探测器图像，ϕ和一部非织物电影。在这里ϕ是入射光束和胶片平面之间的角度，以及无纹理的完美粉末探测器图像。

图1
不同倾斜角度下纹理化Pt样品的探测器图像截面ϕ和模拟的完美粉末铂探测器图像。色标以任意单位表示。

因此，方位积分的峰值强度，我(问)，不同于我(问)一个完美的粉末样品，尽管峰值位置没有改变。如果将这种1D图案处理为来自完美粉末，则会导致pwPDF信号失真（图2). 这使得，根据纹理的程度，无法对这种pwPDF进行建模（图2).

图2
不同样品方向衍射图像的测量和最佳拟合计算PDF的比较。蓝色圆圈是样本倾斜角度的实验PDFϕ=1、11、45和89°，衍射图像的平均值为1至89°。红色曲线是从非纹理的以面为中心的立方体模型计算出的最适合的PDF。绿色曲线是计算的PDF和测量的PDF之间的差异。PDF文件精炼从角度平均的模式产生了良好的结果R（右）_w个= 13.5%. 在单角PDF中，ϕ=11°表示最佳精炼结果(R（右）_w个=18.1%）和ϕ=89°表示最差结果(R（右）_w个= 63.6%) (图S5).

3D PDF（Egami&Billinge，2012）)是由向量分隔的原子对关联的3D直方图第页，而不是距离第页之前，3D PDF已用于研究单晶中的漫反射散射（Weber&Simonov，2012）; 罗格斯塔德等。, 2020 ). 与pwPDF的情况类似，可通过传播三维总散射结构函数获得织构多晶材料的三维PDF（txPDF）S公司(问)通过傅里叶变换，即现在的3D变换，

$[G（{\bfr}）={{1}\over{（2\pi）^{3}}\int[S（{\ffQ}）-1]\exp（{i{\bfQr}}）\，{\rmd}{\bf Q}，\eqno（3）]$

哪里

$[S（{\bf Q}）={{I$

是3D散射函数。S公司(问)可以从三维散射体中确定，我(问)可以从一组衍射图像中重建。

由于在2D面积检测器上测量的衍射图像是埃瓦尔德球体通过倒易空间，可以重建三维倒数散射体，我(问)，从样品在不同方向的一组足够完整的衍射图像中，然后根据方程式（3）获得3D PDF).

txPDF形式通过将取向分布函数（ODF）引入多晶3D PDF来描述纹理（Gong&Billinge，2018). ODF给出了微晶朝向的概率密度Ω，这是包含样品参考框架中微晶的欧拉角的三个角。

为了生成纹理多晶样品的3D PDF，txPDFG公司_第页(第页)，纹理多晶3D结构功能S公司_第页(问)首次定义（Gong&Billinge，2018)通过整合所有单晶体结构函数S公司′(问, Ω)在不同的方位角Ω，由ODF加权D类(Ω),

$[S_{\rmp}（{\bf Q}）=\int\！D（{\Omega}）\，S^{\prime}$

哪里

$[S^{素数}（{\bf Q}，{\Omega}）=1+{{1}\在{{N}^{素}\langle\上，f\rangle^{2}}\sum\limits_{i\，\neq\，j}f_{i}^{*}（Q）\，f_{j}{ij}]}\}。\等式（6）]$

在这里N个′是微晶中的原子数，第页_ij公司是来自原子的向量我到原子j,R（右）(Ω)旋转矩阵旋转第页_ij公司从样品参考框架到各自的微晶取向，以及（f）_我和（f）_j原子的原子形状因子是吗我和原子j分别在微晶中。Gong&Billinge（2018）更全面地推导了这些方程).

然后通过传播获得txPDFS公司_第页(问)通过傅里叶变换，

$[G_｛\rm p｝（｛\bf r｝）=｛｛1｝\over｛（2\pi）^｛3｝｝｝｝\int[S｛\rm p｝（｛\bf Q｝）-1]\exp（｛i｛\bf Qr｝）\，｛\rm d｝｛\bf Q｝。\等式（7）]$

3.示例：具有纤维纹理的纳米结构薄膜

在这里，我们对纳米结构多晶Pt薄膜的实验数据测试了txPDF方法，该薄膜具有很强的纤维织构，晶体方向倾向于垂直于薄膜方向对齐。样品通过溅射沉积（CS 500 ES，Von Ardenne GmbH）在尺寸为1×1cm的玻璃基板上沉积50nm的Pt层（目标来自FHR Anlagenbau GmbH），并具有中间蒸发的15nm氧化铝粘合层（颗粒来自Evochem GmbH）。A类扫描电子显微镜薄膜的（SEM）图像如图3所示.

图3
铂薄膜表面的SEM图像显示了多分散的尺寸分布和铂晶粒在横向的不同形状。

图4总结了实验过程和数据处理。测量在德国汉堡德意志电子同步加速器DESY（古斯塔夫森）PETRA III的束线P07处进行等。, 2014 ). 束流能量为79.5 keV。光束尺寸为0.5×0.5 mm。数据收集在PerkinElmer XRD1621探测器上。通过六硼酸镧涂层玻璃基板的衍射图像，使用pyFAI公司软件（Ashiotis等。, 2015 ).

图4
实验和数据处理程序。(一)二维散射图像倾斜序列到三维散射体的重建我(问). (b)总散射结构函数的处理S公司(问)，应用对称平均、插值和超越截止问_最小值和问_最大值. (c（c）)txPDF的傅里叶变换G公司(第页).

衍射图像的测量角度为ϕ=1至89°，步长为1°。使用Python库将衍射图像集从探测器坐标转换为倒数空间坐标猫鼬（西莫诺夫，2019年 ).猫鼬加载衍射图像并将每个像素装箱到中的点互易空间重建三维散射体。

接下来，有必要对数据进行校正，以将原始强度转换为正确校正和归一化的强度S公司(问)可以将傅里叶变换为txPDF的函数。由于各种实验原因，来自样品的测量散射强度将在测量期间改变，例如样品在不同倾斜角度下的照明体积和入射光束强度的变化，这需要归一化。如果样品的几何形状是已知的，并且对入射光束进行了监测，则可以明确地纠正这种对强度的影响（Egami&Billinge，2012). 在这个实验中，主要的强度变化源于倾斜角度的变化。通常，为了解释这些变化，我们可以应用事后（post-hoc）通过对整个衍射图案应用系统缩放来校正这些影响。要确定事后（post-hoc）比例因子我们做了以下工作。首先，我们假设问如果存在Pt-Bragg反射，散射强度主要来自玻璃基板和其他非相干源（如康普顿散射和任何荧光），所有这些都是各向同性的，并且应与照明样品体积成比例。在这种情况下，可以从方位平均强度的总和中获得标度我′(问),即 $[\textstyle\sum_{i=1}^{N} 我（Q_{i}）]$ ，其中素数表示我′(问)不包括包含Pt-Bragg反射强度的区域，并且总和超过N个强度箱。这个事后（post-hoc）只要布拉格反射与背景散射不易区分，就很难进行校正，例如在低对称性或多相系统中，布拉格反射过多，或者在非常小的纳米结构中，布拉克反射过宽。在这种情况下，最好基于简单的几何考虑应用缩放（Egami&Billinge，2012）). 应用的比例因子值与ϕ如所示支持信息的图S2。它与 $[1/\sin\phi]$ 我们的示例几何体预期的缩放（Egami&Billinge，2012). 协议非常好，除了在掠射角区域，其中 $[1/\sin\phi]$ 发散，但样品的测量强度翻转回来。这可能是由于样品边缘的散射、样品和检测器的不完美对齐，或者由于光束足迹超过样品的尺寸。如果样品在掠入射下甚至有一点点过高或过低，光束可能会部分错过样品，或主要被基底吸收，这将导致观察到的效果。这些因素使得放牧发生率实验总体上相当专业化（Feidenhans l，1989 ; Dosch，1992年 ; 古斯塔夫森等。, 2014). 在这里，我们不关心进行高质量的掠入射PDF测量，而是在大角度范围内测量薄膜事后（post-hoc）修正允许我们利用散射深入到掠入射区域，即使在那里有非理想的掠入射排列和设置。

代表性切片互易空间归一化变换后的强度数据如图5所示(一)–5(c（c）).

图5
横切(一)–(c（c）)原始重建散射体积(d日)–(（f）)处理后的总散射结构函数和(克)–(我)txPDF，具有对数刻度上的任意单位。第一列中的切片垂直于x个_秒，在第二列中垂直于年_秒第三列垂直于z（z）_秒，其中x个_秒,年_秒和z（z）_秒是示例坐标，有关详细信息，请参阅正文。所有切片都通过衍射空间的原点。边缘长度为−23.9到23.9º⁻¹英寸(一)–(（f）)以及从−26.3到26.3欧英寸(克)–(我)分别是。空隙特征在(一)–(c（c）)测量的倾斜步长相对较高。中的直线虚线(一)这是由于基底的高吸收特性被掩盖。中的空心线(b)和(e（电子）)都是由于光束光阑的遮蔽。

有大面积的互易空间缺少。这是因为在我们的实验中，倾斜范围相当小，倾斜步长相对较高。一般来说，可以通过在更精细的倾斜网格上拍摄更多图像（例如，步长为0.1°而不是此处使用的1°），在更宽的角度范围内进行测量，并最终围绕两个垂直旋转轴进行测量来解决这一问题。然而，在当前情况下，结构和纹理的高度对称性允许我们重建互易空间通过对称化，即使是从这一有限的数据集来看，也是相当完整的。下面讨论对称化。最后，对数据进行插值，以恢复对称化后仍存在的散射体中的小缺失区域。我们编写的用于对称化的代码可以在以下位置找到https://github.com/diffpy/fourigui/tree/main/axture_processing_code.

我们定义垂直于样品的薄膜平面-z（z）方向，z（z）_秒，并选择薄膜平面上的两个垂直方向作为样品-x个方向，x个_秒和样品-年方向，年_秒。我们预计，根据这些样品方向，纤维纹理指示散射沿x个_秒和年_秒方向，看起来不同，但沿方向看是圆对称的z（z）_秒如果我们取实际衍射图像并将其重建到这个三维衍射空间中，并通过重建的衍射空间垂直于x个_秒,年_秒和z（z）_秒，穿过倒易空间，我们得到了图5中的图像(一)–5(（f）). 很难验证非对称数据中的预测[图5(一)–5(c（c）)]，但在填充缺失区域后非常明显[图5(d日)–5(（f）)]. 由于强烈的纤维纹理，我们的数据集显示出关于纤维轴或z（z）_秒因此，我们可以很容易地应用关于111光纤轴的所有对称操作，这些对称操作可以从以体为中心的三次倒数中导出晶体结构第页，共页(支持信息表S3). 对称化包括分别对重建的散射体应用对称操作，并最终平均对称操作数据集。

然后将对称衍射信号转换为S公司(问)−1除以平均形式系数的平方和缩放，如图4所示在实践中，除了相干散射强度外，测量的强度还包括几个特征，例如X射线束的非相干康普顿散射、多次散射、自吸收和偏振效应，在傅里叶变换为PDF之前，我们应该对这些特征进行校正（Egami&Billinge，2012). 在pwPDF的情况下，可以通过建模多项式校正项来校正散射强度β(问)（胡亚斯等。, 2013 ). 通过假设散射贡献是各向同性的，我们可以计算β(问)通过传播球面积分S公司(问) − 1,S公司(问)−1，应与粉末平均值相似，通过PDF获取X3算法（Juhás等。, 2013). 然后我们各向同性地减去多项式校正β(问)来自S公司(问)-1以检索相干散射分数。校正程序如图所示图S7.如图5所示的相同切片(一)–5(c（c）)对称，形式为S公司(问)−1，如图5所示(d日)–5(（f）). 一个完美粉末的三维衍射强度在这个重建的散射体中会显示为同心球体，因此会穿过穿过原点的体积进行切片倒易空间，正如我们在图中绘制的那样，将显示均匀的圆。这确实是我们在俯视切片中看到的z（z）_秒，光纤轴[图5(（f）)]. 圆形在垂直的切片中也是明显的，x个_秒和年_秒[图5(d日)和5(e（电子）)]. 但是，由于纹理的缘故，当您绕方位角旋转时，圆圈看起来是破碎的，并且强度不均匀。当然，由于光纤对称性和由此产生的对称化步骤，这两个切片彼此相同。

散射体积进一步插值，强度值超过问_最小值和问_最大值在执行3D傅里叶变换以获得txPDF之前，设置为零G公司(第页)[方程式（3）]，如图4所示，切片如图5所示(克)–5(我). 完美粉末散射的球对称性也会导致球对称G公司(第页). 在图5的假彩色图像中(克)–5(我)我们预计会再次看到增加和减少的圆形模式G公司值。从下面看，这些圆圈很明显z（z）_秒轴[图5(我)]，但与之前一样，当沿x个_秒和年_秒轴[图5(克)和5(小时)].

4.纹理分析

重建的互易空间上面给出的实际空间txPDF包含强度为倒数晶格矢量幅值的同心球体|H（H）^{香港特别行政区}|（倒数空间）和原子间矢量大小|第页^我,j|（真实空间txPDF），由于纹理的存在而变得破碎和不均匀。总的来说，两者之间的强度模式相似G公司(第页)和那些在倒易空间，因为它们包含相同的纤维纹理信息，但在G公司(第页)出现在对应于原子间矢量而不是倒数晶格矢量的位置。我们现在考虑如何从G公司(第页).

理解晶体结构的一种方法是使用极图结构（Bunge，1982 ). 在这个结构中，我们考虑了来自单晶颗粒的倒数晶格矢量， $[{\bf H}_{1}^{hkl}}]$ ，并将其尾部放置在衍射空间的原点。然后我们考虑每个晶粒的相同倒数晶格矢量，米，并执行相同操作。这导致了一种构造，其中所有倒数晶格矢量的尖端， $[{\bf H}_{m}^{hkl}}]$ ，位于半径为的球体表面|H（H）^{香港特别行政区}|这里我们称之为倒置空间极球。在一个完美的粉末中，在倒数极点球体的整个表面上会有一个均匀的矢量尖端密度。当存在纹理时，倒向空间极点球体表面的某些区域被覆盖得比其他区域更密。对于像我们这样的纤维织构，通常将倒向空间极点球体的北极与样品纤维轴对齐。在这种情况下，我们发现形成球面段（或球面帽）的极向量密度很高 $[｛\bf H｝_｛m｝^｛\rm｛111｝｝]$ 向量）。极点图形是通过赤平投影倒数空间极点球体上的矢量尖端。实际上，对于给定的一组倒数格向量， $[{\bf H}_{m}^{hkl}}]$ ，以为中心的球面环上的散射强度问= |H（H）^{香港特别行政区}|在重构的衍射空间中，与这个数量成正比（假设没有其他重叠的倒数晶格矢量）。这个赤平投影这些强度中的任何一个都会导致该特定倒数晶格矢量或一组对称等效倒数晶格向量的极图。在极点图中，纤维纹理显示为明亮强度的圆环，如图6所示.

图6
由散射体积导出的倒数空间极图S公司(问). 峰值：(一) {111}, (b) {002}, (c（c）) {022}, (d日){133}和(e（电子）) {222}.

对于非长程有序的材料，标准的极图结构是不准确的，因为散射不集中在倒置晶格点的尖锐布拉格峰中。然而，如上所示，可以通过3D txPDF构造用实际空间结构向量来描述纹理。因此，我们可以将极图的真实空间模拟作为赤平投影真实空间极球表面的强度，其定义类似于倒数空间极球，但只适用于原子间矢量第页^我,j我们可以将生成的立体图称为“真实空间极图”。垂直于纤维轴的赤道平面上的投影z（z）_秒如倒数空间极图所示，产生亮度均匀的同心圆环。然而，尽管倒数空间极图形和真实空间极图形的外观相似，但它们不是等效的纹理表示，因为它们来自非常不同的起源，在不同的空间中构建。它们编码相同的信息，但方式不同，因此它们之间的直接视觉比较可能会有问题。图7显示了我们样本中具有代表性的真实空间极点图.

图7
从txPDF导出的真实空间极点图G公司(第页). 峰值：(一)

, (b) 0, 0, 1, (c（c）)

, (d日)0、1、1和(e（电子）) 1, 1, 1.

由于纤维纹理和投影平面的选择，极图强度与方位角无关，我们可以将它们进行方位积分，以获得称为纤维图的1D图（Bunge，1982; 何，2018 ). 在光纤图表示中，强度是根据天顶绘制的(即极轴）角度，θ，即真实/衍射空间球体上像素的位置矢量与极轴之间的角度，z（z）_秒.在杆状图形的中心θ为0°，极图边缘的外圈为θ= 90°. 图8显示了与这些极点图相对应的倒空间和实际空间光纤图.

图8
(一)前五个X射线衍射反射的互易空间光纤图。(b)前五个PDF峰值的实时光纤图。光纤图中峰值的高斯拟合显示为实迹。111倒数反射的拟合θ=0°被忽略，因为该区域的数据质量低，低分辨率差问转换为极坐标后。实际111峰值的拟合θ=70.53°被省略，因为由于强度低，拟合结果较差。倒数和实际空间纤维图的强度通过求和所有强度值来检索H（H）^{香港特别行政区}相应峰值±0.1º⁻¹从散射体积S公司(问)并在第页^ij公司txPDF的原子间距离值±0.1°G公司(第页)分别是。增加光纤图构造的积分宽度并不能降低互易空间光纤图中的高噪声。垂直线以外的所有强度θ=20°英寸(一)乘以5，因为强度值较高θ如果放在与低强度高强度相同的刻度上，几乎看不到θ值。

假设光纤纹理给出了极点的高斯分布，作为天顶角的函数θ，我们可以将一系列高斯函数拟合到光纤图中的峰值。除了数据中的一些噪声外，我们还得到了稳定的拟合。倒数和实际空间光纤图中拟合峰值的位置， $[\theta^{H^{hkl}}_{0}]$ 和 $[\theta^｛r^｛ij｝｝_｛0｝]$ 分别与各自倒数/实向量与111轴之间的预期角度（即光纤轴）吻合良好（见表1和2). 纤维图中峰值的宽度来自纤维纹理的程度/范围与3D散射体或txPDF中峰值的固有宽度卷积得出的角度分布。在倒数纤维图和实际纤维图中，我们对半最大全宽（FWHM）得出了类似的结果，这证实了我们处理数据以获得txPDF是有效的。实际FWHM在～13.6±2.1°处略大于倒数FWHM（11.6±1.2°），其中不确定性表示从所有不同倒数/实向量获得的值的扩散。虽然实际测量值和倒数测量值之间的差异在数值变化范围内，但txPDF给出的纤维纹理宽度始终大于从倒数数据中获得的宽度。我们将其归因于纤维纹理的角度分布卷积，该纤维纹理具有不同的PDF固有宽度和布拉格峰。要获得内在的度量峰值宽度，我们比较了散射体球面积分和txPDF中前三个峰值的高斯拟合FWHM(图S4). PDF峰FWHM（0.42±0.02 Au）略大于Bragg峰FWHMs（0.32±0.04 Au⁻¹)，这与上述说法一致。不确定度表示从不同拟合峰值获得的值的扩散。此外，晶体中可能存在的镶嵌现象可能会导致更大的真实空间光纤图峰值。镶嵌的存在可以看作是单个微晶中原子间矢量角的分布，在txPDF中可以看到，但在倒数空间极点图和纤维图中看不到。我们还从图8中注意到倒向空间光纤图中数据点的分散性比实际空间光纤图大得多。我们不确定这种影响的来源，但对于实际空间图，这意味着FWHM值的变化大于数据中噪声引起的任何变化。

表1
倒空间光纤图峰值拟合结果

$[\theta^{{\bf H}^{hkl}}_{0}]$ 是安装的峰值位置。

晶格平面	参考角至[111]（°）	高斯拟合结果
		$[\theta^｛\bf H｝^｛hkl｝｝_｛0｝\，（^\circ）]$	半高宽（°）
{111}	0	–	–
	70.5	70.0 (6)	13 (2)
{002}	54.7	54.3 (5)	12.2 (14)
{022}	35.3	34.9 (3)	11.4 (13)
	90	89.8 (7)	12 (2)
{113}	29.5	29.3 (3)	10.9 (12)
	58.5	58.3 (3)	10.4 (14)
	80	79.8 (6)	10 (3)
{222}	0	0.9 (3)	11.4 (6)
	70.5	69.8 (2)	12.5 (7)

表2
实时光纤图峰值拟合结果

来自原子的原子间矢量我到原子j以晶体晶格矢量为基础，假设原点位于原子上，用组分表示我此外，第页^ij公司是原子之间的距离我和原子j、和 $[\theta^{r^{ij}}_{0}]$ 是安装的峰值位置。

原子位置j	第页^ij公司 (Å)	参考角至[111]（°）	高斯拟合结果
			$[\theta^{r^{ij}}_{0}\，（^\circ）]$	半高宽（°）
	2.77	35.3	34.72 (7)	15.2 (2)
		90	90.5 (6)	15.7 (10)
0, 0, 1	3.92	54.7	54.47 (10)	13.5 (3)
	4.81	19.5	18.16 (9)	13.4 (3)
		61.9	61.92 (8)	13.0 (3)
		90	90.2 (6)	11.8 (13)
0, 1, 1	5.55	35.3	35.04 (10)	12.8 (3)
		90	90.1 (7)	12 (2)
1, 1, 1	6.80	0	−1.5 (4)	13.3 (6)
		70.5	–	–

尽管在纤维纹理的情况下，极点图形和纤维图可以直观而精确地描述纹理，但一般来说，样品的纹理不能用极点图形的两个角度来全面描述。更完整的纹理表示是ODF，D类(Ω)，它通过密度概率函数中的三个欧拉角来描述微晶取向（Bunge，1982). ODF可以从一系列极点图中进行评估，其中所需数量取决于纹理和晶体的对称性（Bunge，1982). 然而，一般来说，ODF可以通过建模3D结构功能直接重建S公司(问)或txPDFG公司(第页)（Gong&Billinge，2018）). 如果参考微晶的结构函数S公司′(问)[方程式（6）]众所周知，通常情况下，我们可以旋转S公司′(问)在不同的方向问并将ODF的初始假设加权的贡献相加，以构建多晶结构函数S公司_第页(问)[方程式（5）]. 然后我们可以适应S公司_第页(问)测量值S公司(问)通过在回归循环中建模ODF。等价地，ODF可以通过txPDF的类似建模来检索G公司(第页)[方程式（7）]（Gong&Billinge，2018）).

5.结构分析

在这里，我们讨论从从纹理样本测量的PDF中提取有意义的结构信息。这与实验者不试图描述样品纹理的情况有关就其本身而言但对纹理样本的局部结构感兴趣。在有利的情况下，布拉格峰的纹理相关强度变化可以用结构精修（吉尔摩等。, 2019 ). 尽管对于弱纹理，已经提出了一个模型（Cervellino&Frison，2020). 在这里，我们探讨了是否有足够的无纹理PDF，然后可以在现有的PDF建模程序中进行细化，例如PDF图形用户界面（法罗等。, 2007 )，可以通过对不同采样角度收集的数据求平均值来获得。作为一项测试，我们将使用来自纤维纹理铂薄膜的数据集作为示例。

理论上，通过对样品的每个方向进行等量统计采样来测量衍射图案，将产生球形均匀衍射图案，该图案可以作为理想的粉末图案进行处理。如果确保正确的计数统计，使用2D探测器并围绕垂直于光束的两个相互垂直的轴旋转180°可以实现任何晶体和纹理对称。正确的计数统计取决于通量以及曝光时间加权，但也会影响任何几何和吸收效应，从而导致照明样品体积的变化。对于简单的样品形状（球形、圆柱形、平面/薄膜、，等.），如下所述。在许多情况下，例如纤维纹理样品的情况下，如果纤维轴不沿着旋转轴，则可以通过绕垂直于光束的单轴旋转来实现平均。对于可能实现这一点且数据速率足够高的实验设置，它可能代表了最佳方法。在我们的例子中，纤维织构是由衬底上多晶薄膜的定向生长引起的。在这种情况下，照明体积由样品上的光束足迹面积很好地描述，该面积由光束宽度给出，w个，次 $[h/\cos\theta]$ ，其中小时是梁的高度和θ是基板平面法线与入射光束的夹角。自w个和小时不要随入射角变化，我们可以确定测量的强度应乘以 $[1/\cos\theta=1/\sin\phi]$ （Egami&Billinge，2012年)，其中ϕ=π/2 −θ是入射光束与衬底形成的掠入射角。为了获得更高的精度，我们可以使用与衍射图像相同的归一化/缩放方法，然后再重建到3D散射体，如实验部分所述。

图2(e（电子）)显示了无纹理模型与PDF的拟合，该拟合是通过对我们数据集中收集的所有样本角度的PDF进行适当加权平均而获得的。事实上，从差异曲线可以看出，在任何固定的样本角度下，拟合都优于拟合。表3显示了精细的结构参数和拟合优度参数，R（右）_w个一些单角度PDF细化和平均数据集。

表3
1D PDF格式精炼在不同入射角下测量的Pt薄膜的结果，，以及作为所有倾斜角的平均值获得的实验PDF的拟合

精炼参数：一是晶格参数，U型_{国际标准化组织}是各向同性原子位移参数，δ₂是相干热运动参数R（右）_w个就是配合的好。

ϕ(°)	一(Å)	U型_{国际标准化组织}(Å²)	δ₂(Å²)	R（右）_w个(%)
1	3.924	0.00879	4.99	42.2
11	3.932	0.00538	3.66	18.1
23	3.929	0.00503	4.25	20
45	3.929	0.00548	5.45	27.8
67	3.932	0.00518	6.24	35.7
89	3.933	0.00398	7.80	63.6
平均	3.931	0.00558	3.90	13.5

事实上，对于平均数据，可以获得非纹理模型与数据的最佳拟合(R（右）_w个=13.5%）。粉末平均模型和单角度数据集之间的最佳一致性为ϕ=11°R（右）_w个= 18.1%. 对于这种粉末纹理，当入射角变浅时，尽管入射角较小（如下ϕ=11°）测量的PDF似乎变得不那么可靠。拟合的优化参数ϕ=11°也比其他角度更接近平均数据的结果。最适合的情节R（右）_w个与ϕ如所示图S5，以更量化的方式显示了这种行为。基于此分析，当查看纹理薄膜样品的数据时，获得代表无纹理结构且适用于实际空间中常规定量结构建模的PDF的最佳策略是围绕垂直于光束的轴（从薄膜垂直于光束时的起始位置）旋转样品±89°并对本文中描述的数据求平均值。如果这不可能或证明不方便，对于纹理相似的胶片(即垂直于薄膜平面的纤维纹理），以～10°掠射角入射到薄膜上的单个数据集将给出合理的非纹理信号。

除了从不同角度对原始图像进行求和之外，还可以通过在重建的txPDF中集成球壳来获得类似于未纹理样品的一维粉末图案和PDF。理论上，与纹理的类型、范围和方向无关，这种积分应该类似于精确的各向同性粉末平均值，并且可以这样处理。相应地，重构散射体的类似积分可以分析为各向同性粉末图案。在目前的情况下，我们无法对此进行测试，因为我们的测试数据没有收集在足够精细的角度网格上，以避免引入显著像差的插值误差。我们没有研究获得这种各向同性或非纹理PDF的实验条件，而是研究了一个步长为0.1°、沿两个垂直轴总倾斜范围为90°的数据集，即180°，足以进行高质量的重建互易空间在单晶扩散散射测量中，无疑也会在这种情况下工作。这将加起来1800个衍射图像，假设每个衍射图像的采集时间为几秒，这些图像可以在同步加速器上在1~2小时内采集。

最后，通过在小角度范围内沿不同方向分析txPDF，txPDF也可用于研究其他各向异性结构特性，如应变和应力。非织构但应变或应力样品的txPDF将显示峰值，这些峰值显示为不均匀的同心球壳，即它们在不同的角度方向上表现出不同的峰值形状和半径。研究应力或应变的数据集需要在较大的倾斜范围内进行测量，因为对称化过程可能会恢复重建散射体中的空洞区域，从而导致应变和应力信息的丢失。

6.软件

用于执行本文中的工作的软件已被转换为Python包，并根据开放源代码许可证发布。该包称为四个GUI并可通过DiffPy网站获得(https://diffpy.org). 它可以在Python包索引上获得，也可以通过conda-forge频道在Anaconda上获得。代码托管在GitHub上https://github.com/diffpy/fourigui.

四个GUI加载3D总散射体积，例如，使用软件包（例如Xcavate公司（Estermann&Steurer，1998年 ),XDS公司（Kabsch，2010年 )或猫鼬（西莫诺夫，2019年)，并使用可选的截止频率对txPDF执行快速傅里叶变换。它还集成了可视化功能，用于查看真实数据和倒易空间。它始终显示一个垂直于散射体或txPDF三个轴之一的切片，无论有无截止频率，都可以轻松滚动整个体积以可视化强度分布。图S6进一步了解Fouri图形用户界面.

7.结论

在这里，我们介绍了纹理多晶体样品的3D PDF方法txPDF的实际实现。我们演示了使用纤维纹理铂薄膜样品测量和分析数据以获得txPDF的过程。首先，将在不同倾角下测量的Pt薄膜的2D衍射图像重建为3D散射体积倒易空间。然后将散射体积处理为三维总散射结构函数，并通过三维傅里叶变换进行传播，以在实际空间中生成txPDF。此外，我们给出了真实空间极图的定义和演示。我们还介绍了四个GUI，用于执行过程中的步骤的Python包。

txPDF方法可用于研究高度纳米晶样品中的织构，其中布拉格反射较宽且重叠，无法直接在倒易空间。我们的研究结果表明，以铂薄膜样品的平面法线为中心的平面矢量具有近似高斯分布的强纤维织构。我们提出的方法也可以用于从纹理样品中获得近似各向同性的1D PDF，这在寻求样品结构而不是测量其纹理时非常有用，但实验数据是纹理的。从衍射图像的加权平均值中获得了良好的各向同性PDF近似值，从而得出合理的PDF精细化， $[R_{w}=13.5\%]$ ，与具有R（右）_w个数值范围为18.1%至63.6%。我们还表明，对于具有纤维结构的薄膜，通过不完全掠入射（10°入射角）的单次测量可以获得近似理想的1D PDF。

txPDF非常有希望研究纳米晶薄膜，因为它们可能具有纹理，并能够直接测量倾斜系列。然而，txPDF通常可以应用于任何几何形状的材料。此外，txPDF的方法可以扩展到研究具有不同结构各向异性（例如各向异性应变）的纳米材料。

支持信息

补充图表。内政部：https://doi.org/10.107/S2052252522006674/fc5061sup1.pdf

致谢

作者要感谢扎克·撒切尔、康诺·布拉西、西尔维奥·阿基利斯和路德维希·亨德尔在软件发布方面的帮助。我们感谢荷兰亥姆霍兹协会HGF成员DESY（德国汉堡）提供实验设施。这项研究的一部分是在PETRA III进行的。我们要感谢Uta Ruett、Olof Gutowski和RenéKirchhof在使用P07方面提供的帮助。此外，我们感谢亚琛工业大学（德国亚琛）电气工程材料研究所（IWE-2）的Daliborka Erdoglija、Fenja Berg、Dagmar Leisten和Ulrich Boettger制作了带纹理的铂薄膜。

资金筹措信息

Billinge小组的理论和纹理对分布函数开发和分析工作得到了美国能源部、科学办公室和基础能源科学办公室（DOE-BES）的支持，合同编号为DE-SC0012704。SYHM和DK感谢卓越集群“CUI：物质的高级成像”（DFG）–EXC 2056–项目ID 390715994）以及联邦教育与Forschung（BMBF）通过第05K19WMA号拨款下的LUCENT项目提供的支持。

工具书类

Ashiotis，G.、Deschildre，A.、Nawaz，Z.、Wright，J.P.、Karkoulis，D.、Picca，F.E.和Kieffer，J.（2015）。J.应用。克里斯特。 48, 510–519. 科学网交叉参考中国科学院 IUCr日志谷歌学者
 Bunge，H.（1982）。材料科学中的纹理分析第1卷。牛津：巴特沃斯·海尼曼谷歌学者
 Cervellino，A.和Frison，R.（2020年）。《水晶学报》。A类76, 302–317. 科学网交叉参考 IUCr日志谷歌学者
 Dippel，A.-C.、Gutowski，O.、Klemeyer，L.、Boettger，U.、Berg，F.、Schneller，T.、Hardtdegen，A.、Aussen，S.、Hoffmann Eifert，S.和Zimmermann，M.诉（2020）。纳米级,12, 13103–13112. 科学网交叉参考中国科学院公共医学谷歌学者
 Dippel，A.-C.，Roelsgaard，M.，Boettger，U.，Schneller，T.，Gutowski，O.&Ruett，U.（2019年）。IUCrJ大学,6, 290–298. 科学网交叉参考中国科学院公共医学 IUCr日志谷歌学者
 Dosch，H.（1992）。表面和界面的临界现象：X射线和中子散射纽约：Springer-Verlag。谷歌学者
 Egami，T.&Billinge，S.（2012年）。布拉格峰下：复杂材料的结构分析第16卷。伯灵顿：爱思唯尔科学。谷歌学者
 Estermann，M.A.和Steurer，W.（1998年）。相位转换。 67, 165–195. 科学网交叉参考中国科学院谷歌学者
 Farrow，C.L.、Juhas，P.、Liu，J.W.、Bryndin，D.、Boíin，E.S.、Bloch，J.、Proffen，T.和Billinge，S.J.L.（2007年）。《物理学杂志》。康登斯。物质,19, 335219. 科学网交叉参考公共医学谷歌学者
 Feidenhans l，R.（1989）。冲浪。科学。代表。 10, 105–188. 交叉参考中国科学院科学网谷歌学者
 Gilmore，C.J.、Kaduk，J.A.和Schenk，H.（2019年）。国际结晶学表卷H.切斯特：国际结晶学联合会。谷歌学者
 龚，Z.&比林，S.J.L.（2018）。arXiv:1805.10342[第二节]。谷歌学者
 Grote，L.、Zito，C.A.、Frank，K.、Dippel，A.-C.、Reisbeck，P.、Pitala，K.，Kvashnina，K.O.、Bauters，S.、Detlefs，B.、Ivashko，O.、Pandit，P.，Rebber，M.、Harouna-Mayer，S.Y.、Nickel，B.和Koziej，D.（2021年）。国家公社。 12, 4429. 科学网交叉参考公共医学谷歌学者
 Guo，W.、Dmowski，W.，Noh，J.-Y.、Rack，P.、Liaw，P.K.和Egami，T.（2013）。金属。马特。事务处理。A类,44, 1994–1997. 科学网交叉参考中国科学院谷歌学者
 Gustafson，J.、Shipilin，M.、Zhang，C.、Stierle，A.、Hejral，U.、Ruett，U.，Gutowski，O.、Carlsson，P.-A.、Skoglundh，M.和Lundgren，E.（2014）。科学类,343, 758–761. 科学网交叉参考中国科学院公共医学谷歌学者
 He，B.B.（2018）。二维X射线衍射第二版霍博肯：约翰·威利父子公司。谷歌学者
 Hu，E.，Li，Q.，Wang，X.，Meng，F.，Liu，J.，Zhang，J.-N.，Page，K.，Xu，W.，Gu，L.，Xiao。焦耳,5, 720–736. 科学网交叉参考中国科学院谷歌学者
 Juhás，P.、Davis，T.、Farrow，C.L.和Billinge，s.J.L.（2013年）。J.应用。克里斯特。 46, 560–566. 科学网交叉参考 IUCr日志谷歌学者
 Kabsch，W.（2010年）。《水晶学报》。D类66, 125–132. 科学网交叉参考中国科学院 IUCr日志谷歌学者
 Krogstad，M.J.、Rosenkranz，S.、Wozniak，J.M.、Jennings，G.、Ruff，J.P.C.、Vaughey，J.T.和Osborn，R.（2020年）。自然材料。 19, 63–68. 科学网交叉参考中国科学院公共医学谷歌学者
 Roelsgaard，M.，Dippel，A.-C.，Borup，K.A.，Nielsen，I.G.，Broge，N.L.N.，Röh，J.T.，Gutowski，O.&Iversen，B.B.（2019年）。IUCrJ大学,6, 299–304. 科学网交叉参考中国科学院公共医学 IUCr日志谷歌学者
 Shan，X.，Guo，F.，Page，K.，Neuefeind，J.C.，Ravel，B.，Abeykoon，A.M.M.，Kwon，G.，Olds，D.，Su，D.&Teng，X.（2019）。化学。马特。 31, 8774–8786. 科学网交叉参考国际可持续发展委员会中国科学院谷歌学者
 Simonov，A.（2019）。猫鼬.https://github.com/aglie/meerkat. 谷歌学者
 Song，L.，Roelsgaard，M.，Blichfeld，A.B.，Dippel，A.-C.，Jensen，K.M。，Zhang，J.和Iversen，B.B.（2021）。IUCrJ大学,8, 444–454. 科学网交叉参考中国科学院公共医学 IUCr日志谷歌学者
 Weber，T.&Simonov，A.（2012年）。Z.克里斯塔洛格。 227, 238–247. 科学网交叉参考中国科学院谷歌学者
 Yang，X.、Masadeh，A.S.、McBride，J.R.、Boíin，E.S.、Rosenthal，S.J.和Billing，S.J L.（2013）。物理学。化学。化学。物理。 15, 8480. 科学网交叉参考公共医学谷歌学者