1.欧几里德时空晶体

众所周知，有空间晶体，但自Wilczek（2012）提出以来，近年来在探索（量子）时间晶体方面开展了重大活动时间晶体是指一个系统，其中最低能量状态以与驱动脉冲不同的频率在时间上周期性地演化。如果空间周期性也同时出现，这些将被称为时空晶体（注意断字以指示时间与空间断开连接）。已知时空晶体存在于囚禁离子、超冷原子和自旋系统中（Hannaford&Sacha，2020). 最近，在室温下制造出了微米大小的、基于磁的时空晶体（Träger等。, 2021).

戈帕兰的工作是对相对论的自然概括时空晶体（注意，现在空间和时间之间没有连字号，表示它们可以混合），其中空间和时间周期同时存在。除了时空晶体之外，RBS构造的一个重要结果是可以将RBS对称性映射到欧几里德点和空间群的对称性，包括磁性（或Shubnikov）或颜色群（Shubnikov&Belov，1954)，这既有见地又非常有用。这个颜色在这种情况下，一个事件从起源来看是沿时间方向还是空间方向。引入了一种新的反对称性，它可以交换时间方向和空间方向，从而改变这种特性的颜色。

就颜色群而言，1929年海因里希·海斯奇引入了反同一性操作或反对称概念，以列举与22个三维磁性布拉维斯晶格相关的122个磁点群（海斯奇，1929). 共有31个这样的磁点群，对应于二维的5个磁性Bravais晶格。很久以后，阿列克谢·舒布尼科夫（Aleksei Shubnikov）充分发展了磁对称的概念（Shubnikov&Belov，1954). 丹尼尔·利特文（Daniel Litvin）列举了颜色或磁性基团，并将获得此类基团结晶特性的过程计算机化（利特文，2008）). 毕尔巴鄂结晶服务器已经对磁性基团的许多方面进行了调整(https://www.cryst.ehu.es网址). 因此，这些空间群列表可以找到与RBS时空晶体的直接同构。

除了引入RBS坐标外，Gopalan的工作还为许多进一步的推广提供了一个基础框架。（i） 使用RBS对称性，导出准一维（Q1D）、Q2D和Q3D颜色组将是一个自然的扩展，非常有用。一些重要的例子包括彩色饰带组、杆组、双周期或层组等（ii）通常的4D扩展以及色点和空间组将是一个巡回强制执行结晶学中。（iii）更具挑战性的扩展可能是推导常见的和彩色准晶体基团。A类准晶可以被视为具有适当更高维度的晶体。因此，用新发现的方法可以从高维彩色晶体中导出低维彩色准晶。（iv）更雄心勃勃的扩展是在弯曲时空中推导对称性(例如广义相对论与黎曼几何）。这些成就将进一步丰富晶体数据库，如西班牙毕尔巴鄂的数据库(https://www.cryst.ehu.es网址).

就像它们的空间对应物一样，时空晶体在时间上也可以是准周期的（Hannaford&Sacha，2020). 此外，与更高的空间维度类似，人们可以构建具有多个时间维度的时空晶体，这取决于系统如何由多个周期性驱动力驱动。除了了解一些动力学系统的基本属性外，这些可能性还可能带来一类全新的超材料，这些超材料具有自然界中无法获得的奇异性质。

颜色对称性的一个重要应用是在磁性相变中，其中对称性与顺序参数构造朗道理论中的相关自由能，特别是用于研究各种磁性和多铁性材料中的这些跃迁。后者具有磁性与极化或弹性应变的耦合。有趣的是，弹性应变和重力通过弹性相容条件和Bianchi恒等式进行了类比（Fortune&Vallee，2001）). 显然，戈帕兰的开创性工作开启了丰富的可能性。

2.量子时空：翻转减号

重要的新成果的一个标志是它们在各种背景下的潜在适用性，这是适用于戈帕兰建筑的一个显著特征。Hermann Minkowski（1908）提出的适用于时空的双曲线几何)，可以被视为欧几里德几何的修正，其中时间方向由毕达哥拉斯定理中的负平方项贡献，与直角三角形的边长有关。虽然一个负号似乎无害，但狭义相对论中存在的几个悖论很好地证明了这种非欧几里德几何的反直觉性质。虽然它们可以通过在闵可夫斯基几何中进行适当的计算来正式解决，但它们会留下一些不太正确的东西。

当然，数学形式主义总是给出一个独特的答案，因为狭义相对论和广义相对论不仅与理论完全一致，而且还通过大量独立观测成功地进行了检验，最近通过直接探测引力波（LIGO科学合作组织和处女座合作组织，2016年). 然而，所有这些结果和测试都将相对论视为经典理论。我们知道的其他基本理论是量子理论，它们描述了电弱力和强核力以及受这些力作用的基本粒子。根据广义相对论，通过爱因斯坦方程，时空的几何形状取决于它所包含的所有物质的能量密度和压力。如果物质是量子的，波动、跳跃、纠缠等等，那么这些效应应该通过爱因斯坦方程的完整量子版本转移到时空几何中。

很难想象波动和纠缠的几何体，或不同几何体的叠加会是什么样子，迄今为止，在所谓“量子引力”的努力中所做的所有尝试都导致了几乎难以控制的复杂性数学。（例如，参见Oriti，2009此外，弦理论给出了解决这个问题的各种方法中更成功的方法（Polchinski，2005)和因果动态三角测量（Ambjörn等。, 2012)，因为他们的数学假设，出于某种原因，可以将闵可夫斯基版本的毕达哥拉斯定理中的符号翻转回欧几里得几何中的正值。更简单地说，这些理论描述的是四维空间的量子特性，而不是时空的量子特性。

实施这种标志翻转有多种原因。首先，最初的负号意味着不稳定性，因为动量的时间分量意味着对动能，然后可以一直最小化到负无穷大。重力确实是天生不稳定的，因为它总是有吸引力的，并且可能意味着永久的坍塌。因此，从物理角度来看，负号是正确的，但问题是，我们通常的量子场论方法很难处理它。如果有人改变负号，这些方法至少可以用于探索量子化引力动力学的可能含义，即使它们没有为正确的几何建模。

默认的假设是，四维空间的量子理论实际上与时空的量子理论非常接近。不幸的是，到目前为止，还无法证明这一假设的合理性，也无法具体说明前一句中“足够接近”的含义。给，戈帕兰的相对论时空晶体非常有趣，因为它引入了一个优雅的重整化过程RBS，从而完成了之前将空间和时空几何联系起来的尝试。量子时空的应用还有待完成，但通过提供一个新的起点，论文的结果有望在这一方向上取得进一步进展。