Experimentally obtained and computer-simulated X-ray asymmetric eight-beam pinhole topographs for a silicon crystal

Okitsu, K.; Imai, Y.; Yoda, Y.; Ueji, Y.

doi:10.1107/S2053273319001499

研究论文

基础
进展

国际标准编号：2053-2733

第75卷| 第3部分| 2019年5月| 第474-482页

https://doi.org/10.107/S2053273319001499

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硅晶体非对称八臂针孔X射线形貌的实验获得和计算机模拟

库海·奥基苏,^一 ^* 井井康彦,^b条吉隆义田 ^b条和吉诺里·尤吉（Yoshinori Ueji）^c（c）

^一日本东京大学工程研究生院工程创新研究所纳米工程研究中心，地址：2-11-16 Yayoi，Bunkyo-ku，Tokyo 113-8656，^b条日本同步辐射研究所，SPring-8，1-1-1 Kouto，Mikazuki-cho，Sayo-gun，Hyogo 679-5198，日本^c（c）Rigaku Corporation，3-9-12 Matsubara，Akishima-shi，Tokyo 196-8666，日本东京
^*通信电子邮件：okitsu@soyak.t.u-tokyo.ac.jp

P.R.Willmott编辑，瑞士光源，瑞士(2018年9月24日收到； 2019年1月26日接受； 2019年4月30日在线)

本文献给K.Kohra教授，他于2019年1月29日去世。

在这项研究中，用同步辐射X射线实验获得的硅晶体八束针孔形貌图与计算机模拟图像进行了比较，发现两者吻合良好。实验采用非对称全劳厄几何体。然而，X射线同时从晶体的底部和侧面发出。模拟使用两种不同的方法进行：一种是集成n个-束流Takagi–Taupin方程，第二个是通过求解特征值问题获得的X射线振幅的快速傅里叶变换n个-Kohn&Khikhlukha报道的光束Ewald–Laue理论[水晶女演员. (2016 )，A72，349–356]和科恩[阿克塔·克里斯特。(2017 )，A73, 30–38].

关键词： X射线衍射;动力学理论;多次反射;计算机模拟;n个-光束反射;相位问题;硅;蛋白质晶体学.

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1.简介

我们之前报告了n个-波束Takagi–Taupin（T-T）方程及其积分算法（Okitsu，2003）; 奥基苏等。, 2006 ). 我们通过比较计算机模拟的拓扑图和实验获得的拓扑图，使用六束情况（Okitsu等。, 2003 , 2006, 2011 )以及三、四、五、六、八和十二梁箱（Okitsu等。, 2012 ). 此后，Okitsu等。(2006)，奥基苏等。(2011)和Okitsu等。(2012)用O表示等。2006年，O等。2011年和2012年OIY。

在2012年OIY中n个-梁T-T方程由n个-光束Ewald–Laue（E-L）理论，反之亦然，通过傅里叶变换，这明确地揭示了它们之间的简单关系，通过傅立叶变换进行描述。日本人石渡等。(2010 )报道了在三束地形图中对X射线振幅进行快速傅里叶变换得到的X射线摇摆曲线，并将其与通过求解三束E-L理论的特征值问题计算出的曲线进行了比较。相反，海罗斯等。(2001 )报道了实验获得的X射线三束地形图，并通过相干叠加基于E-L理论计算的X射线振幅进行了计算机模拟。

最近，Kohn和Khikhlukha（2016年)和科恩（2017)报告的计算机模拟n个-光束地形图(n个＝6），通过使用n个-光束E-L理论。本文通过比较计算机模拟的八杆销孔地形图（E-L和FFT模拟）与基于实验获得的和基于n个-束流T-T方程（T-T模拟）发表于OIY 2012{图5[S公司_x个（T-T）]，5[电子_x个], 6 [S公司_x个（T-T）]和6[电子_x个] ( $[x\in\{h，v\}]$ )}.

2.实验

本工作中使用的光学元件如图1所示(一)，与图2中的基本相同，这是O的图7的复制品等。2006年，展示了拍摄六光束针孔地形图时使用的实验装置。然而，测角仪轴进行了调整，以使000向前偏移（FD）和004、026、066、084、080、， $[0 6\上划线{2}]$ 和 $[0 2\上划线{2}]$ 透射反射（TR）X射线同时很强，并且000FD和066TR光束方向的矢量乘积是水平的。采用旋转四象限相位延迟器系统控制了SPring-8 BL09XU处光子能量为18.245keV的同步辐射X射线的偏振态。其示意图和照片如图3所示(一)和3(b条)分别[这些是图3的复制品(一)和3(b条)OIY 2012年版]。O中描述了其用法等。2006.将尺寸限制为25×25µm的X射线束入射到厚度为9.6mm的浮动区（FZ）硅晶体入口表面上的一个位置。入射点距离晶体块角16.5mm，如图1所示(一). 晶体的方向也如图1所示将像素尺寸为50×50µm的成像板（IP）放置在晶体后面47.5 mm处，使其表面大致垂直于晶体的[100]方向。

图1
八梁销孔地形的几何形状。 $[{\bf x}_c]$ , $[{\bf y}_c]$ 和 $[{\bf z}_c]$ 在右上角绘制的是方向上的单位向量 $[[2 1\上划线{1}]]$ 、[011]和 $[1\上划线{1}1]]$ 分别是。

图2
图7在Okitsu中的复制等。(2006

)，显示了六光束针孔地形图。在本实验中也使用了厚度为9.6mm的相同的浮动区硅晶体。然而，测角仪的角度进行了调整，以使000向前偏移（FD）和004、026、066、084、080， $[0 6\上划线{2}]$ 和 $[0 2\上划线{2}]$ 透射-反射（TR）X射线同时很强，如图1所示

(一).

图3
(一)原理图和(b条)旋转四象限相位减速器系统的照片[复制Okitsu的图3等。(2006

)].

3.计算机模拟

3.1. 集成n个-光束Takagi–Taupin方程

T-T模拟的执行方式与O中描述的方法类似等。2006年，除了晶体被分成八边形的小金字塔外，如图4所示(b条). 的计算值我₁如图4所示为29.493µm。八边形博尔曼金字塔的高度假定为19.015 mm，计算公式如下 $[[{\bf z}_b（16.5{\bfx}_c+9.6{\bf-z}_c）]]$ mm，其中 $[{\bf z}_b]$ , $[{\bf x}_c]$ 和 $[{\bf z}_c]$ 是单位向量，其方向如图1所示和4.集成n个-通过求解方程（1）得到梁的T-T方程[见图4(一)]层层厚度和法向分别为（19.015/4000）mm和[100]：

$[\eqaligno{&{{D_i^{（l{（l，m）}{{D_j^{（m）}（R_i^{$

哪里n个= 8. 方程式（1）是方程（8）在O中的再现等。2006年，删除了晶格位移项。在这里，D类_我^(我)和D类_j个^(米)是我th-编号我-极化和j个th-编号米-极化X射线，其中 [i，j[in] $[\{0，1，2，\ldot，7\}]$ 和我, 米∈ {0, 1}. $[\chi_{hi-hj}]$ 是 $[（{\bfh}_i-{\bf h}_j）]$ 磁化率的四阶傅立叶系数。C类_我, j个^(我, 米)是方程（7）后面定义的极化因子使用东京大学固体物理研究所的超级计算机系统“Sekirei”的一个节点，进行了15小时的T-T模拟。每个节点（Intel Xeon E5-2680v3）都有24个内核。然后使用Fortran 90与磁粉探伤（消息传递接口）。

图4
当集成n个-光束T-T方程（对n个=8），晶体被分成小的八角金字塔。我₁计算为29.493µm。D类_我^(我)(R（右）⁽¹⁾)可以根据以下公式计算D类_j个^(米)(R（右）_k个⁽⁰⁾) ( $[i，j，k\in\{0，1，2，\ldots，7\}，]$ 我, 米∈{0,1}）通过求解方程（1）

如图1所示(一)博尔曼金字塔中包括两个真空部件。然后， $[\chi_{hi-hj}]$ $[（i，j\in\{0，1，2，\ldots，7\}）]$ 假设在真空区为零，如O中所述等。2011.使用计算的反射参数XOP公司2.3（Sanchez del Rio和Dejus，1998年 )用于模拟，如表1所示.

表1
$[\theta_{{rm B}_i}]$ 是布拉格角，Θ_我^(α)是跨越的角度 $[{\bf s}_i]$ 和 $[{\bf z}_c]$ , Θ_我^(β)跨越的是 $[{\bf s}_i]$ 和 $[{\bf x}_c]$ ，根据图1的几何结构进行计算(b条)和1(c（c）)分别为； $[\chi_{hi}^{（{\rm r}）}]$ 和 $[\chi_{hi}^{（{\rmi}）}]$ 分别是的实部和虚部 $[\chi_{hi}]$ ，这是 $[{\bf h}_i]$ 用以下公式计算的电阻率的四阶傅里叶系数XOP公司2.3（Sanchez del Rio和Dejus，1998年)

序数我	小时_我	k个_我	我_我	$[\theta_{{rm B}_i}]$ (°)	Θ_我^(α)(°)	Θ_我^(β)(°)	$[\chi_{h_i}^{（{\rm-r}）}\乘以10^6]$	$[\chi_{hi}^{（{\rmi}）}\乘以10^8]$
0	0	0	0	0	51.4657	54.9312	−2.914850	−1.333430
1	0	0	4	14.4925	24.2271	68.2692	+1.444290	+1.251020
2	0	2	6	23.3087	24.2271	68.2692	−1.006410	−1.136870
三	0	6	6	32.0640	51.4657	54.9312	+0.617250	+1.000700
4	0	8	4	34.0269	70.4859	38.8424	+0.545491	+0.969283
5	0	8	0	30.0335	87.4153	10.5211	−0.699980	−1.033130
6	0	6	$[\上划线{2}]$	23.3087	87.4153	10.5211	+1.006410	+1.136870
7	0	2	$[\上划线{2}]$	10.1925	70.4859	38.8424	−1.766730	−1.291570

3.2. 使用Ewald–Laue理论计算的摇摆振幅的快速傅里叶变换

这个n个-晶体在精确值附近二维旋转时的X射线束振幅n个-通过求解E-L理论的特征值问题，可以得到平面波X射线入射时的光束条件。

在Okitsu和合著者（O等。2006年，O等。2011和OIY 2012），假设入射X射线仅在晶体上的入射点具有非零振幅的边界条件，即假设δ函数的入射X射线振幅为边界条件。实验所得结果与T-T模拟结果的一致性表明，针孔形貌的物理性质可以通过δ函数的边界条件来近似。因为具有相同相位的统一函数互易空间通过实际空间中δ函数的傅里叶变换获得n个-通过求解E-L理论的特征值问题，对计算出的X射线振幅进行傅里叶变换，也可以得到束流针孔形貌图。

E-L和FFT模拟n个-梁截面地形n个Kohn&Khikhlukha（2016年）报告了=6)和Kohn（2017年)对称六束劳厄情况。在这种情况下， $[{\bf s}_i\cdot{\bf-n}_z]$ ( $[i\in\{0，1，\ldots，n-1\}，n=6]$ )具有相同的值，其中 $[{\bf s}_i]$ 是在我第th个波束传播和 $[{\bfn}_z]$ 是垂直于晶体的下表面方向上的单位矢量。然而，如图1所示，本工作中报告的八根销孔地形是针对非对称劳厄几何体进行的(一). 此外，晶体的出射面不是单一的平面。因此，本工作中的E-L&FFT模拟过程可以描述如下。

当平面波X射线入射到平行板晶体上时，会产生布洛赫波 $[\tilde{\bi{D}}]$ 激发如下：

$[\tilde{\bi{D}}=\textstyle\sum\limits_{i=0}^{n-1}{\bi D}_i\exp（-i2\pi{\bf k}_i\ cdot{\bf-r}）.\eqno（2）]$

在这里，n个是波浪的数量， $[i\in\{0，1，2，\ldot，n-1\}]$ , $[{\bf k}_i={\bv k}_0+{\bf-h}_i=超右箭头{P_1^{\prime}h_i}]$ , $[{\bf h}_i]$ 是我th-编号的反射矢量，对₁′是布洛赫波波矢的公共初始点 $[{\bf r}]$ 是位置向量。劳厄基本方程动力学理论（劳厄，1931年 ; 作者，2005 )如下限制布洛赫波的振幅和波矢：

${{k_i^2-k^2}\在{k_i ^2}}{\bi D}_i=\sum_{j=0}^{n-1}\chi_{h_i-h_j}\left[{\biD}_j\right]{\perp{\bf k}_i}上。\等式（3）]$

在这里，K（K）= 1/λ，其中λ是真空中X射线的波长 $[[{\bi D}_j]_{\perp{\bf k}_i}]$ 是的分量向量 $[｛\bi D｝_j]$ 垂直于 $[{\bf k}_i]$ .通过应用近似值k个_我+K（K）≃ 2K（K），方程式（3）成为

$[（k_i-k）{\bi D}_i={{k}\over{2}}\sum_{j=0}^{n-1}\chi_{h_i-hj}\left[{\biD}_j\right]{\perp{\bf k}_i}。\等式（4）]$

什么时候？ [（1）} 是我th-编号我-极化X射线束，

$[{\bi D}_i={\cal D}_i^{（0）}{\bf e}_i^}（0$

[（1）} 在当前工作中定义为 $[{\bf e}_i^{（0）}]$ = $[{\bfs}_i\times{\bf-s}_{{\rm-mod}（i+3，8）}/|{\bf s}_i\times{\bvs}_{\rm-mod}$ 和 $[{\bfe}_i^{（1）}={\bfs}_i\times{\bfe e}_i|{（0）}]$ .的一种形式n个-适用于非对称劳厄几何的束流E-L理论，见Chang的书（Chang，2004）第7.1.2节 ). Colella（1974）首次提出了一种解决特征值问题的算法 )并且考虑到二阶项时更为复杂。在Chang的书中发现了一个更简单的线性近似特征值问题，可以描述如下：

$[\eqaligno{\xi{\cal D}_i^{（l）}&=-{{K}\ over{\cos\Theta_i}}\ left（S_{i，0}^{，（0）}\beta^{}^{n-1}\chi_{h_i-h_j}\sum_{m=0}^{1}C_{i，j}^{（l，m）}{\cal D}_j_{（m）}.&（6）}]$

这里，极化因子C类和S公司定义为

$[{\bfe}_j^{（m）}=S_{i，j}^{$

方程式（6）是特征值问题的标准形式，其中 $[\cos\Theta_i={\bf s}_i\cdot{\bfn}_z]$ 。的值Θ_我用于图1(b条)α和1(c（c）)β总结见表1. $[{\bfn}_z]$ 是晶体出口表面的向下表面法线（但不是后面讨论的入口表面）。的方向 $[{\bfn}_z]$ 图1(b条)和1(c（c）)是 $[1\上划线{1}1]]$ 和 $[[2 1\上划线{1}]]$ ，分别如图1的右上角所示.

β⁽⁰⁾和β⁽¹⁾角度偏差为对₁从劳厄的观点来看，洛杉矶,即 $[\overrightarrow{P_1La}]$ $[=K（\beta^{（0）}{\bfe}_0^{$ .对₁是存在于球面上的一个点，其距离H（H）₀是K（K），其中H（H）₀是的起源倒易空间。假设该球面是一个近似平面，其距离H（H）₀是K（K）劳厄点周围的几何形状与图4相同在奥基苏等。(2019 )（以下简称OIY 2019）。方程式（6）可以用矩阵来描述 $[{\bi A}]$ 和矢量 $[{\bi D}]$ 如下所示：

$[\xi{\bi D}={\biA}{\biD}.\eqno（8）]$

在这里， $[{\bi D}]$ 是2n个-排序列向量，其q个第个(q个= 2j个+米+1）元件为 $[{\cal D}_q]$ 、和 $[{\bi A}]$ 是2n个 × 2n个矩阵的元素第页第个(第页= 2我+我+1）行和q个第个列， $[{\cal A}_{p，q}]$ ，如下所示：

$[\eqaligno{{\cal A}{p，q}&=K\chi_{h_i-hj}C_{i，j}^{（l，m）}/（2\cos\Theta_i）&\cr&\quad-\delta_{p，q}K（S_{i，0}^{（0）}\beta^{$

在这里，δ_第页,q个是Kronecker三角洲。当X射线振幅α₁和α₂和中的那些β₁和β₂，见图1(b条)和1(c（c）)分别计算，Θ_我^(α)和Θ_我^(β)（总结见表1)被替换为Θ_我在方程式（6）中和（9）一般来说，方程式（8）有2个n个特征值对ξ_k个和特征向量 $[{\bi D}（_k）]$ ( $[k\in\｛1，2，\cdots，2n\｝]$ ). 获得这些后，求解以下方程以满足取决于入射X射线偏振状态的边界条件：

$[\specialfonts{\frak D}{\bi C}={\bi-B}.\eqno（10）]$

在这里， $[\specialfonts{\frak D}]$ 是2n个 × 2n个矩阵的元素第页第行和k个第列是 $[{\cal D}_{p，k}（={\cal-D}_{i，k}^{（l）}）]$ , $[{\bi C}]$ 是一个列向量，其k个第个元素是 $[{\cal C}（_k）]$ 、和 $[{\bi B}]$ 是取决于入射X射线的偏振状态的边界条件的列矢量。对于0和1偏振入射X射线， $[{\bi B}]$ 是 $[（1，0，0，\ldots，0）^{\rm T}]$ 和 $[（0，1，0，\ldots，0）^{\rm T}]$ 分别是。

顺便提一下，什么时候对′_1,k个是的公共初始点k个第次布洛赫波， $[\overrightarrow{P_{1，k}^{\prime}P_1}=\xi_k{\bfn}_z]$ 这里，让我们指出对₁“”的定义如下： $[\overrightarrow{P_1P_1^{\prime\prime}}=\xi^{\prime}{\bfn}_z]$ 和 $[\overrightarrow{P_1^{\prime\prime}La}=\Delta k_x{\bf e}_x+\Delta k_y{\bf-e}_y]$ ，而 $[{\bf e}_x]$ 和 $[{\bf e}_y]$ 单位向量定义为 $[{\bfe}_x={\bfe}_0^{（0）}]$ 和 $[{\bf e}_x]$ , $[{\bf e}_y]$ 和 $[{\bfn}_z]$ 按此顺序形成右手正交系统（参见OIY 2019中的图4）。总波场 $[\tilde{\bi D}_{\rm总计}（{\bf r}）]$ 由入射平面波X射线激发，并由

$[\tilde{\bi D}_{\rm total}（{\bf r}）=\textstyle\sum\limits_{i=0}^{n-1}\sum\limits_{l=0}^{1}{\cal D}_i^{（l）}（}\bf r}）\exp\ left（-i 2\pi LaH_i\cdot{\bfr}\right）{\bf-e}_i^}（1）}，\eqno（11）]$

哪里 $[{\bf r}]$ 是晶体中的位置矢量。The amplitude of the我具有偏振态的编号为th的X射线我在出口表面上， $[{\bf r}_{\rm退出}]$ 晶体的， $[{\cal D}_i^{（l）}（{\bf r}_{\rm退出}）]$ ，由给出

$[\eqaligno{&{\cal D}_i^{（l）}（{\bf r}_{\rm exit}）\exp\left（-i 2\pi\overrightarrow{LaH_i}\cdot{\bfr}_{rm exit}\right）&\cr&=\textstyle\sum\limits_{k=1}^{2n}{\cal-C}_k{\calD}_{i，k}^{P_{1，k}^{\prime}H_i}\cdot{\bfr}_{\rm退出}\right）.&（12）}]$

在这里， $[{\bfr}_{\rm出口}=x{\bfe}_x+y{\bfe e}_y+T_z{\bfn}_z]$ 哪里T型_z（z）是晶体的厚度。让振幅 $[{\cal D}_i^{（l）}（x，y）]$ 取决于两个标量值，x个和年，然后

$[\eqalignno{{\cal D}_i^{（l）}（x，y）&\eqv{\cal-D}_i ^{素数}P_1}+\超右箭头{P_1P_1^{\prime\prime}}+\超右箭头{P1^{\prime\prime}La}\right）&\cr&\quad\cdot（x{\bf e}_x+y{\bfe}_y+T_z{\bfn}_z）\Bigr]&(14)}]$

自 $[\overrightarrow{P_{1，k}^{\prime}P_1}=\xi_k{\bfn}_z]$ , $[\overrightarrow{P_1P_1^{\prime\prime}}=\xi^{\prime}{\bfn}_z]$ 和 $[\overrightarrow{P_1^{\prime\prime}La}=\Delta k_x{\bf e}_x+\Delta k_y{\bf-e}_y]$ （参见OIY 2019中的图4），然后

$[{\cal D}_i^{（l）}（x，y）={\cal D}_{i}^{。\等式（15）]$

在这里， $[{\cal D}_{i}^{（l）\prime}（\Delta k_x，\Delta k_y）]$ 定义如下：

$[{\cal D}_{i}^{（l）\prime}（\Delta k_x，\Delta k_y）\equiv\textstyle\sum\limits_{k=1}^{2n}{\cal-C}_k{\cal-D}_{i，k}^{（l）}\exp\left[-i2\pi（\xi_k+\xi^{\prime{）T_z\right]。\等式（16）]$

波场D类_我^(我)(x个, 年)由波前为δ函数的入射X射线激发的是波场的相干叠加 $[{\cal D}_i^{（l）}（x，y）]$ 它由入射的平面波X射线激发，在晶体的入口表面具有统一振幅。因此，

$[\eqaligno{D_i^{（l）}（x，y）&=\textstyle\int\limits_{-\infty}^{\infty}\int\limits_{-\finfty{^{\infty}\left[{\cal D}_{i}^{增量k_x x+\增量k_y）\右]\，{\rm D}\增量kx\，{\rm D\增量k_y.&（17）}]$

术语 $[1/（{\bfs}_0\cdot{\bfn}_z）]$ 在上述等式中，需要单独计算X射线振幅α₁和β₁如图1所示(一)，如图8所示(α₁)和8(β₁){从图5中[S公司_v（v）（E-L）]和6[S公司_v（v）（E-L）]已获得}。进行了以下假设： $[｛\bf n｝_z＝｛\bf z｝_c]$ 和T型_z（z）=图1的9.6 mm(b条); 和 $[{\bfn}_z={\bf x}_c]$ 和T型_z（z）=图1的16.5 mm(c（c）). 术语 $[1/（{\bfs}_0\cdot{\bfn}_z）]$ 存在于方程式（17）中因为二维积分元素在垂直于 $[{\bf s}_0]$ 应该是相同的，即使对于不同的方向 $[{\bfn}_z]$ 。的计算值 $[1/（{\bfs}_0\cdot{\bfn}_z）]$ 图1为1.60518和1.74046(b条)和1(c（c）)分别是。自 $[{\bf r}_{\rm退出}]$ 对于 $[D_i^{（l）}（{\bf r}_{\rm退出}）]$ 只有当它位于Borrmann金字塔内时才具有非零值，不需要无穷小的空间分辨率，方程（17）可替换为离散傅里叶变换，如下所示：

$[\eqalignno{&D_i^{（l）}\左（{{n_x}\ over{n}}l，{n_y}\ over{n}l\右）&\cr&=\sum_{k_y=-n/2}^{n/2-1}\sum_{kx=-n/2{^^{n/2-1}\left[{\cal D}_i^}\（l）\prime}\ left（k_x{1}\over{l}}，k_y{1}\ over{l}}\right）/（{\bfs}_0\cdot{\bfn}_z）\right]&\cr&\quad\times\exp\left\{-i2\pi\left[\left（k_x{1}\ verer{l}{right）左（{n_x}\ over{n}}L\ right）+左（k_y{1}\ over{L}}\ right}\左（k_x{{1}\在{L}}上，k_y{1}\在{L{}}\右）/（{\bfs}_0\cdot{\bfn}_z）\右]&\cr&\quad\times\exp\left[-i2\pi\left（{{k_xn_x}\over{n}}+{k_yn_y}\over{n}{right）\right]&(19)}]$

在这里，n个_x个,n个_年,k个_x个和k个_年是整数，N个是一个偶数整数，用于确定总和的上限和下限，并且L（左） × L（左）是包含地形图像的正方形的场大小。因此，Δk个_x个=k个_x个/L（左）,Δk个_年=k个_年/L（左）,x个=n个_x个L（左）/N个和年=n个_年L（左）/N个.如果 $[{\cal D}_i^{（l）\prime}（\Delta k_x，\Delta k_y）]$ 是一个周期为1的二维周期函数/L（左），等式（19）右侧总和中的内容显然也是一个具有周期的二维周期函数N个因此，D类_我^(我)(n个_x个L（左）/N个, n个_年L（左）/N个)在方程式（18）的左侧也是一个二维周期函数，周期为L（左）然后，方程式（19）可以用以下方程代替：

$[\eqaligno{D_i^{（l）\prime}\left（{{n_x}\over{n}}l，{n_y}\over{n}l\right）&=\sum_{k_y=0}^{n-1}\sum_{kx=0}（{\bfs}_0\cdot{\bfn}_z）\right]&\cr&\quad\times\exp\left[-i2\pi\left（{{k_xn_x}\over{n}}+{k_yny}\over{n}}\右）\右]&(20)}]$

方程式（20）具有二维快速傅立叶变换（FFT）的一般形式（Cooley&Tukey，1965 ). 因此，D类_我^(我)(n个_x个L（左）/N个, n个_年L（左）/N个)可以使用公式（20）定义的FFT获得然而，在执行FFT之前， $[{\cal D}_i^{（l）\prime}（k_x/l，k_y/l）]$ [−N个/2 ≤ {k个_x个, k个_年} ≤N个/2−1]在方程（19）中应替换为 $[{\cal D}_i^{（l）\prime\prime}（k_x/l，k_y/l）]$ [0 ≤ {k个_x个, k个_年} ≤N个方程式（20）中的−1]同样，在执行FFT后，D类_我^(我)′(n个_x个L（左）/N个, n个_年L（左）/N个) [0 ≤ {n个_x个, n个_年} ≤N个方程式（20）中的−1]应替换为D类_我^(我)(n个_x个L（左）/N个, n个_年L（左）/N个) [−N个/2 ≤ {n个_x个, n个_年} ≤N个/方程式（19）中的2−1]. [S公司_小时（E-L）]和[S公司_v（v）（E-L）]如图5、6、7、8所示(α₁)和8(β₁)使用上述程序获得L（左）=60毫米和N个= 4096.

方程（8）描述的特征值/特征向量问题和（9）已使用求解ZGEEV公司属于LAPACK公司.由方程式（20）描述的傅里叶变换使用Intel中的FFT例程计算数学内核库(MKL公司). 用了470秒（280秒解决特征值问题，20秒快速傅里叶变换，170秒将地形图写入硬盘）获得了8幅地形图，如图5所示[S公司_小时（E-L）]或[S公司_v（v）（E-L）]使用东京大学固态物理研究所超级计算机系统“Sekirei”的一个节点（Intel Xeon E5-2680v3）。

图5
[S公司_x个（T-T）][电子_x个]和[S公司_x个（E-L）](x个∈ {小时, v（v）})水平方向的T-T模拟、实验获得和E-L&FFT模拟八杆销孔地形图(x个=小时)和垂直方向(x个=v（v）)极化入射X射线。

4.结果

图5[电子_x个] (x个∈ {小时, v（v）})显示了在IP上记录的水平偏振入射的实验获得的针孔拓扑图图像(x个=小时)和垂直极化(x个=v（v）)X射线。图5[S公司_x个（T-T）]和[S公司_x个（E-L）]显示对应于图5的T-T和E-L&FFT模拟图像[电子_x个]. 在图6中和7，分别显示了000幅FD和066幅TR图像的放大图。图6[电子_小时]和[电子_v（v）]是图11的复制品[S公司(一)]和[S公司(b条)]2012年OIY。图6[S公司_小时（T-T）]和[S公司_v（v）（T-T）]通过求解n个-梁T-T方程分层，厚度为（19.015/4000）mm，而图11的层数为3600[S公司(一)]和[S公司(b条)]2012年OIY。在图6中和7，实验获得的地形图与计算机模拟地形图（T-T和E-L&FFT模拟地形图）吻合良好。

图6
图5中000幅前向衍射图像的放大

图7
图5中066透射-反射图像的放大

“竖琴形”图案(血红蛋白SP)，形状类似字母字符“Y”的图案(YSP公司)和“钉形”图案(国家统计局)如图6所示[电子_小时]也如图6所示[S公司_小时（T-T）]和[S公司_小时（E-L）]，揭示了T-T和E-L&FFT模拟之间的等效性。国家科学计划图6中也发现了[S公司_v（v）（T-T）][电子_v（v）]和[S公司_v（v）（E-L）]。这个HpSP如图6所示[S公司_v（v）（T-T）][电子_v（v）]和[S公司_v（v）（E-L）]实际上是相同的，但比图6中的更模糊[电子_小时], [S公司_小时（T-T）]和[S公司_小时（E-L）]，其显示出由于入射X射线的偏振状态而引起的明显差异。安血红蛋白SP也发现在椭圆区域(埃利普)如图7所示[电子_小时].HpSP和埃利普斯也存在于图7的所有实验获得的图像和计算机模拟图像中然而，在图7中，的血红蛋白SP因为垂直极化X射线的入射明显比水平极化X射线弱。

在图7中[电子_x个]和[S公司_x个（E-L）](x个∈ {小时, v（v）})中部地区相对较强X射线强度似乎被一层X射线强度较小的“面纱”所包围(面纱). 然而，在T-T模拟地形图中，没有像“面纱”这样的模糊区域。

如第3节最后一段所述E-L&FFT仿真的计算速度比T-T仿真快100多倍。E-L&FFT模拟的计算速度是恒定的，与晶体厚度无关，而T-T模拟的速度与厚度立方的倒数成正比。Kohn&Khikhlukha（2016）报告的这种方法的优越性)和科恩（2017)被证实是完美的水晶。

5.讨论

在图6中[S公司_小时（T-T）]，类似于刀刃的尖锐线条(KEL公司)观察到。然而，aKEL公司如图6所示[电子_小时]或[S公司_小时（E-L）]。的宽度KEL公司非常狭窄。在T-T模拟的情况下，假设了入射X射线的边界条件，其振幅为δ函数。然后，入射X射线有一个平面波分量，其波矢的初始点远离劳厄点。然而，实验中使用的入射X射线具有有限的角宽度。此外，在E-L&FFT仿真中，积分范围是有限的。这可能是缺少KEL公司如图6所示[电子_小时]和[S公司_小时（E-L）]。

关于面纱，这种模式可以用以下假设来解释。当晶体较厚时（通常为双光束截面形貌），由于博尔曼效应。这个面纱可能对应于入射X射线平面波分量激发的这些暗区，其波矢的初始点距离劳厄点较远。这个面纱可以观察到小时_我k个_我我_我-衍射图像( $[i\in\{0，1，2，\ldot，7\}]$ )如图5所示[电子_x个]和[S公司_x个（E-L）](x个∈ {小时, v（v）}). 然而，在图5中找不到[S公司_x个（T-T）](x个∈ {小时, v（v）}). 的此功能面纱可以用X射线平面波分量的弱强度或零强度来解释，其入射角远离精确的八边形条件。

在E-L理论中讨论X射线的摇摆曲线时，通常假设下表面法线垂直于晶体的入口表面。图1的方向(b条)和1(c（c）)彼此垂直。然而，图8(α₁)和8(β₁)如图6所示平滑连接[S公司_v（v）（E-L）]。在进行E-L&FFT模拟时，不必考虑晶体入口表面的方向，而出口表面的方向很重要。因此X射线强度晶体的出射面不取决于晶体入口侧的形状。

图8
(α₁)和(β₁)在垂直极化入射X射线的假设下单独计算。这些数字是通过在出口平面上投射1000条前向衍射X射线的强度来计算的α₁和β₁如图1所示

(一)在IP上，其表面垂直于[100]方向。X射线强度α₂和β₂如图1所示

(b条)和1

(c（c）)已被删除。

X射线n个-平面完美晶体的光束摆动幅度也可以通过求解n个-光束T-T方程，将在不久的将来报告。由于E-L&FFT模拟的结果被证实与入口表面的形状无关，因此应通过T-T方程计算的摇摆幅度的快速傅里叶变换获得与本工作中报告的结果相同的结果。

6.总结

报告了实验获得的和计算机模拟的（T-T模拟和E-L&FFT模拟）非对称八杆针孔地形图，两者吻合良好。这适用于出口曲面不是单个平面的情况。经验证，X射线波场不仅可以基于n个-梁T-T方程n个-光束E-L理论。

目前的工作首次证明了E-L和FFT模拟克服了计算从这种复杂形状晶体衍射的X射线强度时的困难，如图9所示验证关于过大R（右）蛋白质中的因子晶体结构分析。

图9
具有12个面的四方溶菌酶晶体的轮廓图。

致谢

计算机模拟使用了东京大学固体物理研究所的SGI ICE XA超级计算机系统“Sekirei”，该系统由Intel Xeon E5-2680v3处理器组成。作者感谢X.-W.Zhang博士和T.Oguchi博士在本实验中的技术支持，也感谢名誉教授S.Kikuta对本研究的鼓励和富有成果的讨论。

资金筹措信息

本研究的理论组成和计算机模拟得到了日本教育、文化、体育、科学技术部纳米技术平台项目（No.12024046）的支持。在光子工厂项目咨询委员会的批准下，在光子工厂AR的AR-BL03A进行了初步实验（提案编号：2003G202和2003G203）。经日本同步辐射研究所（JASRI）批准，主要实验在SPring-8的BL09XU进行（提案编号：2005B0714）。

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