Small-angle X-ray scattering tensor tomography: model of the three-dimensional reciprocal-space map, reconstruction algorithm and angular sampling requirements

Liebi, M.; Georgiadis, M.; Kohlbrecher, J.; Holler, M.; Raabe, J.; Usov, I.; Menzel, A.; Schneider, P.; Bunk, O.; Guizar-Sicairos, M.

doi:10.1107/S205327331701614X

研究论文

基础
进展

国际标准编号：2053-2733

第74卷| 第1部分| 2018年1月| 第12-24页

https://doi.org/10.107/S205327331701614X

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小角度X射线散射张量层析成像：三维交互空间图模型、重建算法和角度采样要求

^一Paul Scherrer研究所，5232 Villigen PSI，瑞士，^b条瑞典隆德221-00隆德大学MAX IV实验室，^c（c）查尔默斯理工大学物理系，41296哥德堡，瑞典，^d日ETH生物医学工程研究所和苏黎世大学，8093苏黎世，瑞士^{e（电子）}英国南安普顿大学工程与环境学院生物工程科学研究小组，南安普敦SO17 1BJ
^*通信电子邮件：marianne.liebi@chalmers.se,manuel.guizar-sicairos@psi.ch

英国STFC卢瑟福阿普尔顿实验室D.A.Keen编辑(2017年4月14日收到； 2017年11月8日接受)

小角度X射线散射张量层析成像，允许在列比介绍的三维样本内重建局部三维交互空间图等。[自然(2015 )，527，349–352]，关于数学框架和优化算法进行了更详细的描述。对于来自椎骨的骨小梁样本的情况，表明使用球面谐波的三维倒数空间图的模型可以充分描述测量数据。该方法能够确定纳米结构的取向和取向度，如之前在单个动量转移中所示q个范围。本文提出了一种完整的倒向空间图的重建方法，用于骨在扩展范围q个此外，研究表明，统一的角度采样和先进的正则化策略有助于减少所需的数据量。

关键词：小角度X射线散射；张量层析成像；球面谐波；骨.

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1.简介

当通过聚焦X射线束扫描样品并在每个位置记录小角度X射线散射（SAXS）模式（Fratzl等。, 1997 )，一种被称为扫描SAXS的技术。实际空间分辨率由光束大小和扫描步长定义，扫描步长通常按几微米到几十微米的顺序选择，但也可以小到几十纳米或大到毫米。对于每个扫描点，都会探测纳米级特征互易空间通过SAXS模式，通常测量几纳米到几百纳米范围内的特征尺寸光谱。研究纳米结构在扩展样品区域上的分布的能力对于层次结构材料来说尤其重要，因为感兴趣的长度尺度跨越许多数量级（Fratzl&Weinkamer，2007 ; 迈耶斯等。, 2008 ; 贝尼亚什，2011年 ; 他等。, 2015 ; 范·奥普登博什等。, 2016 ).

二维SAXS图案包含照明样品体积内纳米结构的统计信息。如果存在纳米结构的主要取向方向，则可以以独立于模型的方式确定。由于单个SAXS模式仅探测通过三维倒易空间，如果纳米结构在三维上是各向异性的，则提供了不完整的信息。如图1所示，通过测量不同旋转角度下的SAXS图案，可以从样品的薄片中恢复三维方向(一)（刘）等。, 2010 ; 塞德尔等。, 2012 ; 乔治亚迪斯等。, 2015 ). 为了在不进行切片的情况下测量三维样品，扫描SAXS必须与计算机断层扫描（CT）技术相结合。如果散射相对于样本旋转是不变的（Feldkamp等。, 2009 )，在一个旋转轴的不同角度上进行测量就足够了，并且可以使用标准重建算法，例如滤波反向投影或同时代数重建技术（SART）。旋转不变性适用于各向同性散射样本，即没有首选定向纳米结构的定向或纳米结构平行于旋转轴的单向定向（Schroer等。, 2006 ; 费尔德坎普等。, 2009; 延森等。, 2011 ).

图1
(一)用于测量薄片样品的三维扫描SAXS装置。样品通过聚焦光束扫描x个和年以不同的旋转角度β围绕年. (b条)SAXS张量层析成像装置，用于测量三维样本。样品通过聚焦光束扫描x个和年在n个旋转矩阵描述的方向 $[{\bf R}^{\exp}_n（\alpha，\beta）]$ .

斯基昂斯弗杰尔等。(2016 )已经表明，在对样品进行严格假设的情况下，通过将X射线散射的模型拟合到实验SAXS模式，可以从使用单个旋转轴的测量中检索取向分布。对于更一般的各向异性定向散射体，需要使用两个旋转轴进行SAXS采集（见图1b条)为了检索完整的三维往复空间地图（列比等。, 2015; 沙夫等。, 2015 ). 沙夫等。(2015)扩展了旋转不变性的概念（费尔德坎普等。, 2009)通过引入虚拟断层摄影轴。将绕两个轴以不同旋转角度获得的二维SAXS模式分类为1000多个虚拟层析轴后，使用标准重建算法（这里称为SART）独立重建平行于每个虚拟层析轴的散射。

利比等。(2015)介绍了一种基于每个体素三维倒数空间映射建模的方法，即体积元，使用球谐函数，并通过优化算法最小化测量强度和模型强度之间的误差。重建的每个体素中不仅包含标量值，例如X射线衰减系数在标准CT中，但张量表示倒数空间图；因此，该方法被称为SAXS张量层析成像。我们在这里更详细地介绍了由Liebi介绍的SAXS张量层析成像的数学框架等。(2015)，以及在骨小梁样本上演示的模型的实验验证。我们进一步研究了重建所需的角度采样和投影数。此外，还介绍和讨论了一些先进的正则化策略，这些策略减少了所需的数据量和测量时间。

2.使用三维倒数空间图的散射信号模型

这个从头计算表征三维体中纳米结构的各向异性需要从多个可能的方向测量样品，不仅围绕一个旋转轴，还使用两个旋转轴在二维方向角网格中进行测量。有必要从实验室坐标定义坐标转换 $[｛\bf r｝=（x，y，z）^｛\rm T｝]$ ，使用z（z）指向X射线束的方向，以采样笛卡尔坐标 $[{\bf r}^\prime]$ ，如图2所示。此转换是针对n个通过旋转矩阵确定样本方向 $[{\bfr}^\prime={\bf r}^{\exp}}_n{\bf-r}]$ .

图2
(一)实验室坐标系 $[｛\bf r｝]$ 和(b条)对象坐标系 $[{\bf r}^\prime]$ ，由旋转矩阵关联 $[{\bf R}^{\exp}_n]$ .英寸(一)在探测器平面上，通过倒数空间映射的平面二维切割图以灰色表示。对象坐标系 $[{\bf r}^\prime]$ 定义对象的每个体素的位置。(c（c）)在每个体素中，使用一系列球谐函数来描述三维倒数空间映射，从中可以获得散射信号。每个体素和每个体素中纳米结构的优先取向q个以单位向量为特征 $[{\hat{\bfu}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\primer）]$ 由极轴定义 $[\theta_{{rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 和方位角 $[\varphi_{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 角。

重建旨在确定每个对象的坐标体素， $[{\bfr}^\prime=（x^\prime，y^\ prime，z^\price）^{\rm T}]$ ，一张三维交互空间地图， $[\hat{R}（{\bf R}^\prime，{\bf-q}^\prime）]$ ，作为倒数空间向量的函数 $[{\bf q}^\prime=（q_x^\prime，q_y^\primes，q_z^\primer）^{\rm T}]$ 对象坐标系也可以用球面坐标来描述 $[（r'，\theta^\prime，\varphi^\price）]$ ，使用 $[\theta^\trime]$ 是极角和 $[\varphi^\prime]$ 方位角。为了达到这个目的，使用球面调和函数对倒数空间映射进行建模Y（Y）_我^米学位我和秩序米（杰克逊，1999年 )作为

$[\hat{R}（{\bfr}^\prime，{\bfq}^\prime）=\left|\textstyle\sum\limits_{l，m}一个_{l} ^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）Y_{l}^{m{left[\Theta（{\Bfr}^\ prime，q ^\ price），\Phi（{\ffr}^ \prime、q^\prime）\right]\right|^{2}，\eqno（1）]$

哪里 $[q^\prime=|{\bf q}^\prime|]$ 是倒数空间矢量的大小， $[a{l}^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 是球谐系数，以及 $[\Theta（{\bf r}^\prime，q^\price）]$ 和 $[\Phi（{\bf r}^\prime，q^\price）]$ 分别是极角和方位角，这是球面调和函数的自变量。总和的平方用于避免非物理负强度。由于球谐函数构成了一个完整的基础，因此可以使用更高阶数来模拟任意复杂纳米结构的散射。例如，几十年前，球谐函数被用于X射线衍射测量极图的纹理分析（Roe&Krigbaum，1964 ; Bunge&Roberts，1969年 )使用订单最多可达我= 36（范·霍特，1983年 ). 然而，当重建扩展样本的大量体素的散射模型时，减少系数的数量，从而最小化优化参数的总数是非常有益的。对于纳米结构存在优先排序方向的情况，对于每个体素，将球面谐波的天顶分别定向到此方向是有用的q个范围。这导致了更稀疏的表示，并减少了为倒数空间映射建模所需的系数数量。这是一种特别好的策略，适用于三维往复空间地图离球面或椭球对称不太远的情况；因此，在分解 $[\hat{R}（{\bf R}^\prime，{\bf-q}^\prime）]$ 在方程式（1）中相对于对象坐标的局部优先取向由单位向量表征， $[\hat{\bfu}^{{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}]$ ( $[{\bf r}^\prime，q^\prime]$ )，如图2所示(c（c）)，由角度参数化 $[\theta_{{rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 和 $[\varphi_{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ .球谐函数的参数， $[\Theta（{\bf r}^\prime，q^\price）]$ 和 $[\Phi（{\bf r}^\prime，q^\price）]$ ，可以由隐式定义

$[\eqaligno{\left（\matrix{\sin\Theta\cos\Phi\cr\sin\Theta\sin\Phi\ch\cos\Theta}\right）&=left&\cos\varphi_{{rm-op}}&0\cr\sin\Theta_{{rma-op}{cos\varfi_{{orm-op}}&\sin\theta{{rmop}}\sin\varphi{{rmop}}&\cos\theta{{ormop}}\right）&\cr&\quad\times\left$

哪里 $[\theta^\prime，\varphi^\prime]$ 是对象坐标系的球坐标。忽略多重散射效应，每个体素对探测器测得的强度的贡献对应于穿过三维的截面互易空间沿着埃瓦尔德球体半径的 $[2\pi/\lambda]$ 对于SAXS埃瓦尔德球体导致一个平面二维切割倒数空间图，即 (q个_x个,q个_年,0)^T型，在实验室笛卡尔坐标系中，如图2所示(一). 平面中的数据(q个_x个,q个_年,0)^T型对应于 $[\theta=\pi/2]$ 平面或 $[（q，\pi/2，\varphi）]$ 在球面坐标中。为了计算探测器的总强度n个采样方向，沿光束路径的所有体素的贡献z（z）总结起来，

$[\eqaligno{\hat{我}_{n} （x，y，q，\varphi）&=\textstyle\sum\limits_{z}\bigg|\sum\limits_{l，m}a{l}^{m}\右]\大|^{2}，&（3）}]$

其中，测量的强度n个样品方向， $[\hat（帽子）{一} _n（n）]$ ，是扫描位置的函数(x个,年).

3.优化算法

用于重建一个特定的三维往复空间图q个范围，使用迭代优化算法最小化误差度量 $[\varepsilon_q]$ 在模型强度之间， $[\hat（帽子）{我}_{n} ]$ 如方程式（3）所计算，相对于测量数据我_n个，适用于所有扫描位置(x个,年)和样品方向，

$[\eqaligno{\varepsilon_q&=2\sum_{n，x，y，\varphi}\omega{n}（x，y{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]^｛1/2｝-\left[{{{我}_{n} （x，y，q，\varphi）}\over{T_{n}（x，y）}\right]^{1/2}\rift\}^{2}.&(4)}]$

将此误差指标最小化是对最大似然光子计数泊松噪声的估计（Thibault和Guizar-Sicairos，2012 ). 每个点和每个方向的测量强度除以透射强度T型_n个(x个,年)补偿样品的吸收（Schroer等。, 2006). 要优化的参数是球谐系数， $[a{l}^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ ，以及他们的方向 $[\theta_{{rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 和 $[\varphi_{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ .二进制掩码， $[\omega{n}（x，y，q，\varphi）]$ ，用于表示有效的数据区域。对于所有有效数据点，它等于1，对于不良探测器角扇区，它可以设置为零，φ或样品散射受到阻碍的地方，例如样品架。

要计算 $[\hat（帽子）{我}_{n} ]$ 我们首先计算不同球谐项的和，然后计算模的平方。然后，将得到的量沿着X射线束的方向投影。使用双线性插值计算投影操作。结果图像与3×3金字塔核，模拟上采样和后续下采样的效果，以减少与离散体积网格相关的伪影。为了最小化误差指标，如方程（4）所示，使用共轭梯度算法（Press等。, 2007 ). 由于优化参数的数量非常大，因此分析计算了误差度量相对于优化参数的梯度（参见附录A类). 在每个迭代步骤中，根据方程式（10）计算梯度, (11)和（14），然后在由要优化的函数的局部曲率引起的共轭方向上进行线搜索[方程（4）].

为了加速收敛，优化分为四个步骤，如图3所示首先，倒数空间映射的各向同性分量 $[\hat{R}（{\bf R}^\prime，{\bf-q}^\prime）]$ 仅使用各向同性球谐项进行优化我= [0]和米= [0]并对数据求平均值φ其次，只优化角度和系数我= [0 2 4],米= [0 0 0]保持不变秒乘以 $[a{0}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 在第一步中获得。对于本文中显示的骨骼测量，系数设置为秒= 1对于 $[a{0}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ ,秒= -1/3对于 $[a{2}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 和秒= 1/6对于 $[a_｛4｝^｛0｝（｛\bf r｝^\prime，q^\prime）]$ 选择这些系数来近似于在类似样品中观察到的各向异性。或者，三维倒数空间图中的对称性有助于确定所需的球谐函数的数量，可以根据所研究散射对象的形状进行估计。在不预先了解样本的情况下，通过在第二步中使用不同的系数常数重复优化过程并比较结果，可以避免获得仅为误差度量的局部最小值的解。通过研究§4中概述的不同样品旋转下的平面样品，也可以获得关于三维往复空间图的知识在第三步中 $[a{2}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ , $[a_｛4｝^｛0｝（｛\bf r｝^\prime，q^\prime）]$ 和 $[a{6}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 在角度和 $[a{0}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 从第一步开始就保持不变。最后，在最后一步中，同时优化了所有系数和角度。

图3
优化程序流程图。优化的输出针对每个对象坐标体素 $[{\bf r}^\prime]$ 三维交互空间地图 $[{\hat R}（{\bf R}^\prime，{\bf-q}^\prime）]$ 通过优先方向参数化 $[{\hat{\bfu}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\primer）]$ 和球谐函数的系数 $[a{l}^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 。优化分四步进行，以加快收敛速度。红色虚线表示建模强度的起始值 $[{\hat I}_{n}]$ 在每个步骤中，而实线表示结果 $[{\hat I}_{n}]$ 经过相应的优化步骤。测量的强度我_n个显示为黑点；在第一步中，使用平均的数据进行优化φ.

使用对象上的支持约束，以便仅优化对象三维网格体积中包含样本的部分。对于这个三维二进制支持掩码， $[M（{\bf r}^\prime）]$ 引入，用零表示无样本区域。例如，可以在第一个优化步骤之后使用阈值来实现这一点，其中 $[a{0}^{0}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 获得。掩模， $[M（{\bf r}^\prime）]$ ，然后在计算梯度时使用，以将对象外部的梯度设置为零，如等式（10）所示, (11)和（14）可以使用约束优化算法或者通过向误差度量引入平滑惩罚项来引入关于系数值的边界条件。例如，如果已知样本中存在对称性，则可以使用此方法强制对称性。例如，对于 $【a】^{米}_{l} （{\bfr}^\prime，q^\price）\，\gt\，c]$

$[varepsilon_q^\prime=varepsilen_q+\lambda\varepsiln_q^{（{\rm p}）}+\mu\varepsion_q^}（{\ rm reg}）{\eqno（5）]$

哪里

$[\varepsilon_q^{（{\rm-p}）}=\sum_{{\bfr}^\prime}\left\{\matrix{[a{l}^{m}（{\ffr}^\ prime，q）-c]^2，&{\rm-if}\，\，a{l{m}'（{\bfr}^\ prime，q。\hfill}\正确。\等式（6）]$

在这里λ控制惩罚期限的强度。在本文所示的重建中，没有使用此类惩罚条款。正则化项， $[\mu\varepsilon_q^{（{\rm reg}）}]$ ，在方程（5）中将在§5.2中解释.

4.小梁骨往复空间模型的实验验证

为了验证一系列球谐函数作为描述三维往复空间图模型的适用性，我们使用了小梁骨（样本a）20µm薄片的数据。以20×20µm的光束大小在不同的旋转角度下采集数据β围绕年波束线坐标系的轴，如图1所示(一). 更多实验细节见附录B。作为横向分辨率与厚度相匹配，测量结果给出了对体素平面排列成像的充分表示，并且已经表明，对于薄样品，单个旋转轴提供了有关纳米结构三维排列的充分信息（乔治亚迪斯等。, 2015). 图像注册（Guizar-Sicairos等。, 2008 )同时记录到SAXS数据中的传输图像用于将来自多个方向的散射指定给单个体素。Georgiadis对该程序进行了更详细的描述等。(2015).

图4显示了来自测量的一个扫描点的单个散射图案。由于引起散射的纳米结构具有优先取向，因此记录的SAXS图案是各向异性的。此外，由于纳米结构各向异性是三维的，散射图案取决于样品的取向，β（乔治亚迪斯等。, 2015). 骨的散射主要来源于羟基磷灰石矿物晶体血小板与周围电子密度较低的物质，如胶原蛋白和水之间的电子密度对比（Fratzl等。, 1997). 来自骨骼的二维SAXS信号的主要特征是胶原原纤维中周期性间隙的明显布拉格反射，胶原原纤维由羟基磷灰石晶体（Fratzl等。, 1991 ). 这些间隙的重复距离约为65 nm，并在散射模式中产生特征弧（Wilkinson&Hukins，1999 ). 图4中用白色三角形表示该信号的一次谐波和三次谐波在垂直于这些弧线的方向上，可以看到扇形散射轮廓，这是由胶原纤维内和周围的矿物血小板的形状、大小和横向排列引起的（Norio等。, 1982 ). 处于高位q个值，q个>0.125纳米⁻¹主要可以探测到大小约为3×25×50nm的矿物血小板。处于低位q个值，q个<0.1纳米⁻¹，散射主要包含胶原蛋白原纤维的横向排列和原纤维直径的信息，通常在50–200 nm范围内（Fratzl&Weinkamer，2007; 古里耶等。, 2010 ; 巴比施等。, 2013 ; 吉安尼尼等。2014年 ). 骨的组织是分层次的：矿物晶体、胶原纤维、纤维束、纤维和宏观骨组织的取向彼此密切相关（林纳塔勒等。, 1999 ; Fratzl和Weinkamer，2007年; 塞德尔等。, 2012; 格兰克等。, 2013 ; 乔治亚迪斯等。, 2015, 2016 ).

图4
从小梁骨薄片上获得的对数尺度二维散射图案，并放大到低-q个范围。执行径向积分的16个段用白线和两个圆圈表示，表示范围为q个值。白色三角形指向矿化胶原蛋白纤维的显著第一衍射级和微弱第三衍射级。

每个散射图案的强度集成在16个方位段中，如图4中的白线所示，对于每次动量传递q个发现增加方位角段的数量对结果没有显著影响，同时增加了数据量和计算时间。图5中的黑点显示探测器上测得的强度对方位角φ在一个q个范围，0.0379–0.0758 nm⁻¹，由图4中的同心圆表示在16个方位段中。对称性，例如点对称，在SAXS中非常常见，通过选择适当的球谐度和阶数，可以很容易地在我们的模型中实施。对于小梁骨，我们假设点对称性围绕q个= 0以及围绕一个轴的旋转对称。因此，仅使用偶数度我和零阶米足以对从三维互易空间图中检索到的散射信号进行建模。如果矿物血小板没有以相同的概率指向垂直于纤维轴的所有方向，则得到的往复空间图将不是具有圆柱形旋转对称性的环。对于旋转对称性未给定的情况，较高的方位角阶数，米需要的球谐函数才能捕捉到这一特征。图5示出了对于一个样本定向，β=20°，探测器处的强度对方位角φ，用于测量和建模数据。散射图案的方位角仅用度数就可以很好地描述我= [0 2]然而，这些小阶数所允许的唯一函数相关性是正弦或余弦函数（图5中的蓝线)，这不足以对散射轮廓进行定量建模，如图5所示.使用我= [0 2 4]和米= [0 0 0]（红线）峰值的锐度尚未完全描述，低强度区域出现人为增加。使用度的球面谐波我= [0 2 4 6]和秩序米= [0 0 0 0]（绿线）可以可靠地再现测量数据。添加更高的度数（黄线）并不会显著改善模型。

图5
单个体素的SAXS测量q个=（0.0379–0.0758纳米⁻¹)对于一个样本旋转角度β=20°用黑点显示。不同程度的相应建模数据（线）我和零阶米球谐函数表示为方位角的函数φ在探测器平面上。

因此，该模型应用于我= [0 2 4 6]和米= [0 0 0 0]重建q个-从样本A的数据集中解析出三维倒数空间图。优化在32q个数值介于0.0303和0.984纳米之间⁻¹，每个径向宽度为0.0061 nm⁻¹.图6显示了拟合（点和虚线）与完整数据（实线）的良好一致性q个二维探测器覆盖的范围。对于选定的q个数值显示了建模的三维往复空间图。矿物血小板的特征性往复空间足迹，如图4所示，呈二维扇形剖面在三维往复空间图中显示为一个垂直于纤维轴方向的环，其角度扩展与纤维的取向度有关。在整个研究中可以观察到这个环q个范围如图6所示布拉格反射与胶原周期性间隙有关，在三维往复空间图中显示为一个帽状物。反射的一次谐波和三次谐波可见（见图6中的三角形). 使用我= [0 2 4 6]和米= [0 0 0 0]足以捕获两个典型的从骨骼散射的特征。重建完整q个-解析的三维往复空间图为从拟合中检索散射物体的大小和形状提供了可能性，正如标准小角度散射分析中所做的那样（布雷斯勒等。, 2015 ).

图6
绘制探测器平面上16个方位角段中两个段中单个体素的测量（实线）和建模（圆和虚线）强度图。优化在32q个值。对于一些人q个三维倒数空间映射显示为映射到球体上。一个黑色三角形指向65纳米胶原蛋白重复距离的强度帽特征。

5.SAXS张量断层成像

为了将此方法扩展到体积样品，我们将SAXS与CT相结合。在标准CT中，在二维投影内测量每个点的标量，例如样品吸收，并且重建是三维的。在这种情况下，可以测量垂直于X射线束传播方向的单个旋转轴周围不同样品方向的投影。对于SAXS，需要重建每个体素的三维交互空间映射，如等式（3）中的六维函数所述.使用沿样品旋转方向的不变散射原理（Feldkamp等。, 2009)，沙夫等。(2015)为一个从头计算重建——从样本的所有点测量SAXS模式就足够了，同时对整个对象方向进行采样 $[2\pi]$ 甾体激素。为了在实验中实现这一点，引入了第二个旋转轴，如图1所示(b条). 整个样品的光栅扫描，这里也称为投影，在不同的角度进行测量α以及旋转轴的不同倾角，β.对象旋转矩阵 $[{\bf R}^{\exp}_n]$ 在每个样本方向n个可以通过旋转来计算年以一个角度 $[\beta（n）]$ 然后围绕x个以一个角度 $[\alpha（n）]$ ，导致

$[{\bf R}^{\exp}_n（\alpha，\beta）=\left[\matrix{\cos（\beta。\等式（7）]$

由于样品在两个旋转轴的旋转中心没有完全对齐，因此必须改进测量投影的平移对齐。为此，X射线吸收层析图是根据在β=0°，使用标准过滤反向投影算法。使用安装在光束光阑上的光电二极管同时测量样品传输到SAXS图案，该光电二极管阻挡直接的非散射光束并避免损坏检测器。对于每个对象方向(α,β)计算该吸收层析图的投影，并将其用作在相应方向对齐测量透射图像的参考。为此，一种基于互相关的选择性上采样的有效图像配准方法（Guizar Sicairos等。, 2008)已使用。如果样品在吸收测量中的对比度很小，或者散射强度平均值为φ在一个选定的q个范围，可用于此步骤。

人类骨小梁柱（样本B，附录B)约1 mm^三用扫描步长测量x个和年25µm。总计n个= 240投影，即不同的样本方向 $[{\bf R}^{\exp}_n]$ ，以角步长测量 $[\Delta\alpha]$ =4.5°，介于0°和180°之间 $[\Delta\beta]$ =15°，介于−30°和45°之间。按照§3所述程序进行分析使用q个范围在0.0379至0.0758 nm之间⁻¹.

在图7中由此产生的骨骼超微结构的主要方向由圆柱体的方向、各向同性成分的强度指示一₀⁰通过圆柱体的长度和定向度ρ根据颜色。后者由各向异性分量的比值计算 $[\hat{R}（{\bf R}^\prime，{\bf-q}^\prime）]$ 到 $[\hat{R}（{\bf R}^\prime，{\bf-q}^\prime）]$ ，即

$[\eqaligno{&\rho（{\bfr}^\prime，q^\prim）=&\cr&\quad{{\int_{0}^{\pi}\int_}0}^}{2\pi}\Big|\sum{l=1}^{\ infty}\sum{m=-l}^{l} 一个_{l} ^{m}（{\bfr}^\prime，q^\ prime）Y_{l}^{m{（\Theta，\Phi）\Big|^{2}\sin（\Theda）\，{\rm d}\Phi \，{rm d{\Theta}\ over{\int_{0}^{\pi}\int_}0}^{2\pi}\Big| \sum{l=0}^\infty}\sum=-l}^{l} 一个_{l} ^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）Y_{l}^{m{（\Theta，\Phi）\Big|^{2}\sin（\Theta\）\，{\rm d}\Phi \，{\ rm d{\Theta}}&\cr\quad&={\sum_{l=1}^{\infty}\sum=-l}^l}\left|a_{l{m}\m}q^\prime）\right|^2}\over{\sum_{l=0}^{\infty}\sum_{m=-l}^{l}\left|a{l}^{m}（{\bfr}^\price，q^\prime）\right|^2}.&(8)}]$

对于图7所示的重建共使用83万个SAXS图形，这些图形是在总暴露时间为8小时、总测量时间为20.3小时（包括运动产生的头顶）内获得的。有关测量的更多详细信息，请参见附录B.通过改变硬件，可以最大限度地减少测量时间，例如减少电机扫描开销和更快的检测器（Tinti等。, 2015 ). 另一个重要方面是优化空间和角度采样，如下一节所述。

图7
人小梁骨（样本B）。(一)基于样品X射线吸收的标准层析重建。(b条)从SAXS张量断层扫描获得的骨超微结构的方向。颜色、长度和方向表示方向度、各向同性分量一₀⁰胶原纤维的主要取向。

5.1. 重建质量对角度采样的依赖性

为了研究物体方向的角度采样对重建的影响，使用测量的角度投影的不同子集重复样本B的优化过程n个虽然在这些重建过程中使用了较少数量的投影，但为了比较重建的最终质量，图8显示了所有240个投影的误差。因此，即使在这些测试重建中只有数据的子集可用时，完整数据集也被用作“黄金标准”。整个数据集如图8所示（红色），其中球体上的每个点代表一个样本方向和在以下六个值处的测量β显示为六个经向行。为了进行比较，从完整数据集中删除了投影，保留了原始数据集 $[\Delta\alpha]$ =4.5°（蓝色），或 $[\Delta\beta]$ =15°（黑色）。

图8
根据方程式（4）得出的误差

作为在优化中使用的投影数量的函数，在建模的强度和所有测量的投影之间（＝240）。这两条曲线显示了数据集的误差度量，其中投影通过保持恒定而减少 $[\Delta\alpha]$ （蓝色）或 $[\Delta\beta]$ （黑色）。球形插图显示了在球体上绘制的角度采样，其中每个对象的方向(α,β)可以用半球上的一个点来表示。

对于蓝色曲线，我们通过获取对应于 $[\Delta\alpha]$ =4.5°和 $[\Delta\beta]$ = 30°. 此外，通过完全消除旋转角度的倾斜并保持 $[\Delta\alpha]$ = 4.5°. 相比之下，对于黑色曲线，我们用120个投影标记结果，我们增加了120个投影 $[\Delta\alpha]$ 至9°并保持原样 $[\Delta\beta]$ =15°，并通过增加 $[\Delta\alpha]$ 至22.5°，同时保持原样 $[\Delta\beta]$ = 15°. 这意味着40个投影（蓝色）仅对应于沿一个旋转轴的采样，类似于基于吸收的标准CT，而44个投影（黑色）对应于几乎各向同性的角度采样( $[\Delta\alpha\simeq\Delta\ beta]$ ).

与蓝色曲线上的相应点相比，具有更各向同性角度采样的黑色曲线的误差更低。使用三个倾斜角周围的120个投影时的误差 $[\Delta\beta]$ 用蓝色表示的旋转轴的投影比用各向同性角采样（黑色）进行44投影重建时的投影还要高，尽管后者的投影减少了近60%。这种差异可归因于这些投影的角度分布，其中44投影层析图在α和β，并强调对样本方向的整个半球进行适当角度采样的重要性。

沿着黑线，很明显，在样本旋转的扩展范围内，与整个数据集相关的误差度量保持不变n个这意味着，通过减少投影数量，即使是减少到接近三分之一的分数，对完整数据集的拟合也不会发生太大变化。这表明数据集的预测远远超出了需要。一个原因是 $[\Delta\beta]$ =4.5°是基于样本的全直径，没有考虑样本的任何稀疏性，这可能会降低角度采样要求。样本的空间稀疏性被积极地用于通过掩模进行张量层析重建 $[M（{\bf r}^\prime）]$ 另一种形式的稀疏性可能是由于骨超微结构呈现几百微米左右的区域。在这些重建中，我们没有使用相应的约束。然而，即使从图9中的SAXS投影中也可以看出这种域结构在§5.2中我们展示了一种通过正则化来利用这些知识的方法。

图9
测量的二维扫描SAXS投影与使用对应数据子集重建得到的等效投影之间的比较n个= 240和44个样本方向。色轮表示主散射方向、色调、散射强度以及方向度和颜色饱和度。

作为重建的验证，计算了SAXS张量重建的二维投影，并与数据进行了比较；换言之，我们将测量的扫描SAXS数据与给定样本方向上的投影进行了比较， $[{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]$ ，以及相应的重建投影强度， $[\hat（帽子）{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]$ .图9中的第一列显示了扫描SAXS投影的表示，其中散射强度、方向度和主散射方向分别映射到图像强度、颜色饱和度和色调（Bunk等。, 2009 ). 色轮镶嵌将主散射方向与特定色调相关联。如前所述，很明显，小梁骨样品显示出纳米结构方向在空间上相关的区域。重建的投影强度使用公式（3）计算如图9所示对于完整数据集的情况(n个= 240)以及44个投影。通过检查图9可以看出，实验投影可以用最少的n个= 44该样品的投影，有效地减少了五分之一的扫描时间和沉积剂量。

5.2. 正规化战略

在某些情况下，重建过程中会加剧系数中的高空间频率噪声 $[a{l}^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 以及方向 $[\hat{{\bfu}}^{{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\primer）]$ 为了缓解这个问题，实施了一种正则化方法。正则化通常用于优化，以更好地约束不适定或病态问题。系数的选定方法遵循与格伦纳德筛分法类似的方法（格伦纳德，1981 )通过相对于球面谐波系数对梯度进行空间卷积[方程（10）]带有三维Hamming窗口。我们使用任一窗口3 ×3 ×3或5 ×5 ×5体素。该方法首先对中低空间频率进行优化求解，然后引入高空间频率。

为了规范地方优惠取向， $[\hat{{\bfu}}^{{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\primer）]$ ，梯度卷积方法不适用，因为方向由两个参数共同表示， $[\theta_{{rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 和 $[\varphi_{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 此外，使用矢量表示方向具有固有的模糊性 $[\hat{{\bfu}}^{{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\primer）]$ 和 $[-\hat{{\bfu}}^{{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 将表示具有点对称。这些特征与卷积不匹配。为了用正则化项惩罚相邻体素方向的虚假变化， $[\mu\varepsilon_q^{（{\rm reg}）}]$ ，在方程式（5）中引入了误差度量.正则化项基于相邻点积的绝对值 $[\hat{{\bfu}}^{{\rm-str}}_{\theta_{\rm-op}}，\varphi_{{\rma-op}{}（{\bfr}^\prime，q^\ prime）]$ ，即

$[\eqaligno{\varepsilon_q^{（{\rm reg}）}&=\textstyle\sum\limits_{\bf r}^\prime}\Bigl[1-\mid\hat{\bf-u}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}一个{\rm op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime+\hat{i}，q）\mid&\cr&\quad+1-\mid\hat{{\bfu}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm op}}（{\bf r}^\prime，q）\cdot\hat{\bf-u}}^{\rm-str}}{{\theta{\rm-op}，\varfi{\rma-op}}rmop}}（{\bfr}^\prime，q）\cdot\hat{{\bfu}}^{\rmstr}}_{\theta{\rmop}，\varphi{\rmop}}$

哪里 $[\hat{i}，\hat}，\ hat{k}]$ 是笛卡尔坐标单位向量，指向 $[x^\prime，y^\price，z^\prime]$ 分别是。μ是控制正则化的相对强度的自由参数。

这种正则化对方向的影响如图10所示用5×1.4µm的光束和5µm扫描步长测量直径约250µm小梁骨样品（样品C），共有333个角投影，投影角分布均匀 $[\Delta\beta]$ =7.5°和 $[\Delta\alpha]$ = 7.5° $[\cos（β）]$ 根据§5.1中的讨论.图10(一)显示了通过重建 $[\hat{{\bfu}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]$ 没有对观察到相邻体素之间方向的高空间频率波动的方向进行正则化。增加的价值μ，图10(b条)–10(（f）)显示重建的平滑度越来越高 $[\hat{{\bfu}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]$ .

图10
通过三维重建局部方向的横截面， $[｛\hat｛\bf u｝｝^｛\rm str｝_｛\theta｛\rm op｝，\varphi｛\rm op｝]$ ，显示的是(一)没有正规化的重建(b条)–(（f）)具有不同的正则化参数值μ.的三维定向 $[｛\hat｛\bf u｝｝^｛\rm str｝_｛\theta｛\rm op｝，\varphi｛\rm op｝]$ 通过色调和饱和度进行编码，如插图颜色球体所示。

为了选择合适的正则化参数μ应用了L曲线技术（Hansen，1992 ; 李等。, 2003 ; 贝尔盖等。, 2002 ; Santos&Bassrei，2007年 ). L曲线是数据误差的曲线图， $[\varepsilon_q]$ ,对正规化罚款期限， $[\varepsilon_q^{（{\rm reg}）}]$ ，其中每个点对应于正则化强度的不同值，μ（见图11一). L曲线的角点对应于平滑解决方案与高误差度量之间的权衡 $[\varepsilon_q]$ 以及一种误差较小但高频噪声较大的解决方案（Hansen，1992). 图11(b条)显示了误差度量的两个项 $[\varepsilon_q^\prime]$ 对正则化参数μ.应在拐点周围选择正则化参数，并对溶液进行目视质量检查（图10). 我们选择了这里 $[\mu=1\乘以10^{-3}]$ 该点位于L形曲线的左侧角（图11中的红色箭头一)因为我们将小错误置于平滑解决方案之上。

图11
(一)用于找到适当正则化参数的L曲线μ. (b条)显示了惩罚期限的相关性 $[\varepsilon_q^{（{\rm reg}）}]$ （左黑轴）和误差度量的 $[\varepsilon_q]$ 正则化参数上的（右蓝轴）μ这两个值组合在L曲线中。红色箭头和红色虚线表示为该小梁骨样本选择的正则化参数，如文中所述。

生成的SAXS张量层析成像重建的三维可视化，对应于图10(一)，如图12所示(b条). 使用系数的正则化和5 ×5 ×5Hamming窗口，以及与 $[\mu=1\乘以10^{-3}]$ 如图12所示(c（c）). 未经正则化的重建显示出大量噪声，特别是在方向上，并且没有清晰的区域可见。测量数据不支持这种变化，如不同样品方向的投影所示( $[\alpha，\beta]$ )如图12所示(一). 正规化 $[\mu=1\乘以10^{-3}]$ 如图12所示(c（c）)在不抑制样本中发现的不同取向的情况下减少了高频噪声，并导致具有更高取向度（浅绿色）的更好定义的区域。样品包含不同的取向域，每个域跨越几十微米，类似于图7所示的样品和9。这里获得的较高分辨率和较小的5×1.4µm光束尺寸使我们能够解析畴之间的过渡区。

图12
人类小梁骨的骨超微结构定位（样本C）。不同样品方向的四个二维SAXS投影如所示(一)，其中色轮表示主散射方向，色调表示散射强度，方向度表示颜色饱和度。从SAXS张量断层扫描获得的骨超微结构的方向如所示(b条)和(c（c）)，其中颜色表示方向度和各向同性分量的长度一₀⁰. (b条)未实施正规化的重建，以及(c（c）)球谐系数的正则化 $[a{l}^{m}（{\bfr}^\prime，q^\price）]$ 在方向上 $[｛\hat｛\bf u｝｝^｛\rm str｝_｛\theta｛\rm op｝，\varphi｛\rm op｝]$ 如文中所述。

6.结论

SAXS张量层析成像旨在重建三维样本中每个体积元素的局部三维往复空间图。这可以通过基于梯度的优化实现。对于每个体素只需恢复少量数量或系数的三维倒数空间图，充分的数值表示对于开发一种计算和测量时间都有效的方法至关重要。利比等。(2015)介绍了一种以球谐函数为基础来表示往复空间图的重建方法，并用一个毫米大小的小梁骨样本进行了验证。三维往复空间图包含不同纳米结构的主方向信息q个范围及其定向度。往复空间图可以进一步用作拟合底层纳米结构的输入，类似于对二维SAXS数据所做的工作，例如检索骨中矿化血小板的尺寸参数（Fratzl等。, 2005 ; 图鲁宁等。, 2016 ).

在本文中，我们对算法进行了详细描述，并进行了验证研究，以确认球面调和系数适用于表示小梁骨的三维交互空间图，在该图中，矿化胶原纤维的特征可以恢复。为了减少需要优化的系数数量，我们为每个体素提供了球谐天顶方向的参数化，该参数化直接提供了三维纳米结构主对称轴的方向，随后允许我们施加倒数空间对称约束。详细介绍了系数和方向的正则化策略。一个重要的考虑因素是用于测量的投影角度的分布。通过选择性地去除角度，显示了对重建的影响，这证实了样本方向的均匀分布对重建质量有显著的好处。

SAXS张量层析成像提供了一种可以探测相对大体积三维纳米结构信息的技术，为关联数毫米以上的空间纳米尺度特征提供了独特的机会，即相隔五六个数量级以上。该技术适用于生物学和材料科学中的广泛样本，并且具有可扩展性。虽然最初的演示是使用20µm体素大小，但通过使用微聚焦光学和改进的扫描硬件，本文将该技术演示为5µm的空间分辨率。通过适当改变光学和硬件，可以根据感兴趣的应用调整分辨率。

附录A

梯度的分析表达式

误差度量的梯度 $[\varepsilon_q]$ ，如方程式（4）所定义，关于球谐系数，由下式给出

$[eqalinno{{\partial\varepsilon_{q}}\在{\particala^m_l（{\bfr^\prime}，q）}}&=4M（{\Bfr}^\prime）\sum_{n，\varphi}\omega_{n}（x，y，q，\varpi）&\cr&\quad\times\left\{{{[\hat{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]^{1/2}-\左[{{{我}_{n} （x，y，q，\varphi）}\over{T_{n}（x，y）}\right]^{1/2}\over{[\hat{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]^{1/2}}}}\right\}&\cr&\quad\times y_{l}^{m}\left[\Theta（{\bfr}^\prime，q）\mid_{Theta=\pi/2}，\Phi（{\bofr}^\ prime，q）\mie_{Theta=\pi/2}\rift]&\cr&\quad_times\sum_{l^\ price，m^\prime}a^{m^\prime}{l^\prime}（{\bfr}^\price，q）y_{l^\ prime}^{m^\prime}\left[\Theta（{\Bfr}^\ prim，q）\mid_{\Theta=\pi/2}，\Phi（{\bfr}^\prime，q）\mid_{\theta=\pi/2}\right]&\cr&&（10）}]$

其中表示法 $[Theta（{\bfr}^\prime，q）\mid_{\Theta=\pi/2}]$ 表示在探测器平面上评估功能， $[\theta=\pi/2]$ ，在实验室坐标中 $[｛\bf r｝]$ 、和 $[q^\prime=q]$ 注意等式（10）中括号中的第一项只是的函数(x个,年)实验室坐标 $[｛\bf r｝]$ 并且它沿着z（z）方向，这实际上是一个反向投影。然后进行计算通过使用双线性插值沿波束传播方向进行反向投影。

相对于 $[\theta_{\rm-op}（{\bfr}^\prime，q）]$ 由提供

$[\eqaligno{&{{partial\varepsilon_{q}}\ over{partial \theta_{{rm-op}}（{\bf r}^\prime，q）}}=4M（{\bf r}^\prim）\sum_{n，\varphi}\omega_{n}（x，y，q，\varpi）&\cr&\quad\times\left\{{{[\hat{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]^{1/2}-\左[{{{我}_{n} （x，y，q，\varphi）}\over{T_{n}（x，y）}\right]^{1/2}\over{[\hat{我}_{n} （x，y，q，\varphi）]^{1/2}}}}\right\}&\cr&\quad\times\Biggl[{{\partial y_{l}^{m}（\Theta，\Phi）}\ over{\parial\Theta}}\，{{\partial\Theta，q）}}&\cr&\quad+{{\partial y_{l}^{m}（\Theta，\Phi）}\ over{\partical\Phi}}\，{{\partial\Phi（{\bf r}^\prime，q）\mid_｛θ=\pi/2｝｝\over｛\partialθ_｛\rm op｝｝（｛\bf r｝^\prime，q）｝\Biggr]和\cr&&quad\times\sum_｛l^\prime，m^\prime｝a_｛l^\prime｝^｛m^\prime｝（｛\bf r｝^\prime，q）Y_｛l^\prime｝^｛m^\prime｝[\theta（｛\bf r｝^\prime，q）\ mid_｛θ=\pi/2｝，\Phi（｛\bf r｝^\素数，q）\mid_｛\theta=\pi/2｝]&\cr&&（11）}]$

球面调和函数的导数由（Wolfram Research Inc.，2017）给出一 ,b条 )

$[\eqaligno{{\partial Y_{l}^{m}（\Theta，\Phi）}\over{\partical\Theta}}&=mY_{1}^{m}（\ Theta，\ Phi）\cot\Theta+[（l-m）（l+m+1）]^{1/2}&\cr&\quad\times\exp（-i\Phi$

$[{{\partial Y_{l}^{m}（\Theta，\Phi）}\over{\partical\Phi}}=imY_{1}^{m}（\ Theta，\ Phi）.\eqno（12b）]$

使用等式（2）

$[\eqalignno{{\partial\Theta（{\bf r}^\prime，q）\mid_{\Theta=&\cr\pi/2}}\ over{\partical\Theta_{{\rm op}}op}}（{\bfr}^\prime，q）&\cr&\quad-[x^\prime\cos\varphi_{\rm-op}}+y^\prime\sin\varphi_{{\rmop}}（{\bfr}^\prime，q）]&\cr&\quad\times\cos\theta_{\rmop}}$

$[\eqaligno{&{{\partial\Phi（{\bfr}^\prime，q）\mid_{\theta=\pi/2}}\ over{\partical\theta_{\rm op}}}^\prime，q）&\cr&\quad-2{y^\prime}^2\cos\theta{{\rmop}}\sin\varphi_{{rmop}}}&\cr&\quad/[x^\prime\cos\theta{{\rmop}}+y^\prime\cos\theta_{{\rmop}}（{\bfr}^\prime，q）\sin\varphi_{\rmop}}（13b）}]$

类似地，关于 $[\varphi_{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]$ 由提供

$[\eqaligno{{\partial\varepsilon_{q}}\ over{\partical\varphi_{{\rm-op}}（{\bf r}^\prime，q）}}&=4M（{\bf r}^\prim）\sum_{n，\varphi}\omega_{n}1/2}-\左[{{{我}_{n} （x，y，q，\varphi）}\ over{T_{n}（x，y）}}\ right]^{1/2}}\ over{[{hat{I}}_{n}（x，y-q，\varphi）]^{1/2}}\Biggr\}&\cr&\quad\times\Biggl[{\partialY_{l}^{m}（\Theta，\Phi）}\over{partial\Theta}}\，{\partical\ Theta（{\bfr}^\prime，q）\mid_{\Theta=\pi/2}}\over{\partial\varphi_{{\rmop}}（Theta，\Phi）}\ over{\partial\Phi}}\，{\paratil\Phi（{\bf r}^\prime，q）\mid_{\Theta=\pi/2}}\ over{\partical\varphi_{{\rm-op}}}^\prime，q）Y_{l^\prime}^{m^\primer}[\Theta（{\bfr}^\prime，q\mid_{\theta=\pi/2}]&\cr&&（14）}]$

具有

$[\eqaligno{{\partial\Theta（{\bf r}^\prime，q）\mid_{\Theta=\pi/2}}\over{\partical\varphi_{{\rm-op}}（{\fr}^\prime，q pi/2}）}&\cr&\quad\times[x^\prime\sin\varphi{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）-y^\prime\cos\varphi{\rm op}}（{\bfr}^\prime，q）]\mid_{\theta=\pi/2}，&\cr&&（15a）}]$

$[\eqalinno｛&｛｛\partial\Phi（｛\bf r｝^\prime，q）\ mid_｛\theta=\pi/2｝｝\over｛\partial\varphi_｛｛\rm op｝｝（｛\bf r｝^\prime，q）｝=\ cos ^2 \ theta（｛\bf r｝^\prime，q）\ mid_｛\theta=\pi/2｝&&cr&quad\times[x^\prime\sin\theta-{\rm op｝｝｝（｛\bf r｝^\prime，q）-y^\prime\cos theta_｛\rm op｝｝（｛\bf r｝^\prime，q）]&\cr&\quad\times[-x^\prime\cos\theta{\rm op}}（{\bf r}^\prime，q）\sin\varphi_{\rm-op}}cos\theta{{rmop}}（{\bfr}^\prime，q）\cos\varphi{{rmop}}}（{\bfr}^\prime，q）\sin\varphi_{\rmop}}（15b）}]$

使用该梯度和先前的搜索方向定义共轭梯度方向，并沿该方向进行直线搜索，以查找误差度量的最小值（按等。, 2007).

如果顺利的惩罚期限 $[\varepsilon_q^{（{\rm p}）}]$ 在误差度量中引入，如方程（5）中所述和（6），误差度量相对于球谐系数的梯度[方程（10）]]是

$[{{\partial\varepsilon_q^{\prime}}\ over{\partitial a^m_l（{\bfr}^\prime，q）}}={\partical\varepsilon_q}\ over{\partial a^m_1（{\Bfr}^\ prime，q）}}+\lambda{{\protial\varepsilon_q（{\rmp}）}\over{\ partial a^m_l（{\ bfr}，q）{}}\eqno（16）]$

具有

${{\partial\varepsilon_q^{（{\rmp}）}\over{\particala^m_l（{\bfr}^\prime，q）}}=\sum_{{\bfr}^\prime}\Biggl\{\矩阵{2[a{l}^{m}\，c\cr 0\h否则将&{\rm}。\hfill}\eqno（17）]$

如果地方优惠取向正规化 $[\hat{\bf{u}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]$ 使用，相对于 $[\theta_{{rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]$ 是

${{\partial\varepsilon_q^{\prime}}\ over{\partical\theta_{\rm op}\素数，q）}}\等号（18）]$

具有

$[\eqaligno{{\partial\varepsilon_q^{（{\rm reg}）}\ over{\partical\theta_{\rm-op}素数，q）\cdot{\hat{\bfu}}^{{\rmstr}}{\theta{\rmop}，\varphi{\rmop}}（{\bfr}^\prime+{\hati}，q）\中点}\over{\partial\theta{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）}}&\cr&\quad-{\parial\mid-{\hat{\bfu}}^{\rm-str}}{\theta{\rm op}，\varphi{\rm-op}}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime+{\hatj}，q）\mid}\over{\partial\theta{{\rm-op}}}}&&cr&&quad-｛\partial \maid｛\hat｛\bf u｝｝^｛\rm str｝_｛\theta｛\rm op｝，\varphi｛\rm op｝｝（｛\bf r｝^\prime，q）\cdot｛\hat｛\bf u｝^｛\rm str｝_｛\theta｛\rm op｝，\varphi｛\rm op｝｝（｛\bf r｝^\prime+｛\hat k｝，q）\mid \over｛\partial \teta｛\rm op｝｝｝（｛\bf r｝^\prime，q）｝｝\Biggr]，&（19）｝]$

具有

$[\eqaligno{&{{\partial\mid{\hat{\bf u}}^{\rm str}}{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bf-r}^\prime，q）\cdot{\hat{\bfu}}^{\rma-str}}{\theta{\rm-op}，\ varphi}{\partial\theta{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）}}=&\cr&\quad{{\hat{\bfu}}^{\rm-str}}{\theta{\rm-op}，\varphi{\rmop}}\cdot{\hat{\bfu}}^{\rm-str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bf-r}^\prime+{\hati}，q）}\在{\mid\hat{\fu}}上}^{{\rm str}}_{\theta{\rm-op}，\varphi{\rm-op}}（{\bfr}^\prime+{\hati}，q）\mid}}&\cr&\quad\times\bigl\{\cos[\varphi_{\rm/op}}^\素数，q）+\varphi{{\rm op}}（{\bfr}^\prime+{\hati}，q）]\cos\theta{\rm-op}}{{\rmop}}（{\bfr}^\prime-{\hati}，q）]&\cr&\quad\times\sin\theta{\rmop}}\cos\varphi_{{\rm op}}（{\bfr}^\prime，q）+[-\sin\theta_{\rm-op}}{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]\bigr\}&\cr&&（20）}]$

类似地年和z（z）可以获得完成方程（19）的方向。可以找到有关梯度的等效表达式 $[\varphi_{{\rm-op}}（{\bfr}^\prime，q）]$ .

附录B

实验细节

B1.样品制备

从一名50岁女性（样本a）和一名73岁男性（样本B和C）的第12胸椎（T12）人体椎体中提取小梁，并在植入聚甲基丙烯酸甲酯（PMMA）之前去除软组织。根据奥地利法律，经捐赠者书面同意，椎骨从奥地利因斯布鲁克医科大学解剖、组织学和胚胎学系获得。以下所有程序都是根据瑞士法律、瑞士医学科学院生物银行指南（2006年）和瑞士法令814.912（2012年）执行的，涉及生物的限制使用。为了获得样品A，使用切片机（HM 355S；Thermo Fisher Scientific Inc.，USA）切割20µm厚的切片，并将其安装在12µm厚的Kapton胶带（T200023；瑞士韦茨维尔Benetec）上。分别从样品B和C的PMMA块中铣削出直径约为1 mm和250µm的圆柱体。

B2.实验

在瑞士保罗·谢尔研究所瑞士光源的相干小角度X射线散射（cSAXS）光束线（X12SA）上进行测量。使用固定出口双晶硅（111）单色仪对X射线束进行单色处理，样品a和B的单色器单色率为12.4keV，样品C的单色率是11.2keV。使用了两种不同类型的聚焦。对于样品A和B，通过弯曲第二单色器晶体来水平聚焦光束，通过弯曲铑涂层镜来垂直聚焦光束，导致光束尺寸分别约为20×20µm和25×25µm。对于样品C，使用菲涅耳波带片将光束聚焦到5×1.4µm（勒布格尔等。, 2017 ). 为了最大限度地减少空气散射和X射线吸收，在样品和探测器之间放置了一根7米（样品a和B）或2米长（样品C）的飞行管。使用Pilatus 2M探测器（卡夫等。, 2009 )以及利用安装在放置在飞行管内的光束光阑上的光电二极管的透射光束强度。

样本A是小梁骨的薄片，在Georgiadis描述的三维扫描SAXS装置中测量等。(2015)示意图如图1所示(一). 样品安装在角度计上，角度计放置在双轴平移台顶部的旋转台上。样品在x个SAXS模式以50ms暴露时间测量。在30个不同的样品方向上围绕年轴的步长为10°，忽略截面与X射线束接近平行的角度，即80–100°和260–280°。扫描步骤x个被选为 $[20\cos（\beta）]$ µm，使试样上的扫描点数量一致。扫描步骤年为20µm。为了识别在所有样本旋转角度下源于特定体素的散射，图像配准（Guizar-Sicairos等。, 2008)正如乔治亚迪斯详细描述的那样，使用了传输图像等。(2015).

样品B和C采用列比描述的三维张量断层成像装置进行测量等。(2015)示意图如图1所示(b条). 将样品安装在两个垂直旋转台上的角度计上，这两个旋转台放置在双轴扫描台上。

样品B在n个= 240投影，每个都有55 ×65扫描步长为25µm的步骤。样品在x个SAXS模式的方向以30 ms的曝光时间进行测量，该时间受到检测器读数的限制。角间距在−30°和45°in之间为15°β0°和180°英寸之间的4.5°α.总暴露时间为8.3 h。每个体素暴露总时间为7.2 s。由于运动产生的开销，总测量时间为20.3 h。

样品C在n个= 333投影，每个都有85 ×65扫描步长为5µm、曝光时间为50 ms的扫描步长(年)小于步长，样品在年测量过程中的方向，以便探测整个样品体积。根据我们关于投影角均匀分布优势的研究结果 $[\Delta\beta]$ =7.5°和 $[\Delta\alpha]$ = 7.5° $[\cos（β）]$ 已被使用。总暴露时间为11.8小时，总测量时间为21.3小时h.与样本B的测量结果相比，电机运动的开销减少了，主要是通过引入蛇形扫描模式，在该模式下，后续行以相反的方向进行扫描，这减少了电机到达行扫描起始位置所需的时间。额外的预测在 $[\beta=0]$ ，实现 $[\Delta\alpha]$ =3°，以便有足够的投影用于§5中所述的图像配准的标准滤波反向投影重建.

B3.软件的可用性

应相应作者的要求，可提供数据分析软件的最新版本。

脚注

‡当前地址：美国纽约大学医学院生物医学成像中心，NY 10016。

致谢

我们感谢A.Diaz、F.Schaff和M.Bech的讨论以及A.E.Low-Gaume的校对。脊椎标本由奥地利因斯布鲁克医科大学创伤外科W.Schmölz提供。我们也感谢匿名审稿人，他们的意见大大改进了本文。MG得到了ETH-39 11-1号ETH研究拨款的支持。ML承认查尔默斯理工大学先进材料科学领域的财政支持。我们感谢来自数据分析服务（142-004）项目的支持瑞士大学SUC P-2程序。

工具书类

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