关于“ 集合理论多元宇宙 ”
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非常发人深省！ 我很高兴看到你强调了“集合论模型”的“代数”性质。 不管它值多少钱，我认为这是正确的。 然而，仅仅因为存在V的奇异“子代数”（将V视为非常广义的“代数”）并不意味着“奇异子代数”构成 V的“适当子代数”（我将V的适当子模型定义为任何模型——但不是——从你的多元宇宙观点来看，如果你认为多元宇宙的累积知识是“集合”的“真正知识”所必需的，那么人们怎么能得出这样一个适当的概念呢？）。 这就是问题所在。 如果一个概念是完全有弹性的，它有什么好处？ 在我看来，通过许多方法中的任何一种构建（可以这么说）的集合论的众多模型，其意义如此延伸，以至于 它根本没有连贯的含义，或者至少对数学本身没有真正的用处（例如，如何定义“通用的”Dedekind Cut？）。 也许有人可以说，ZFC、NF、Morse Kelly、Godel Bernays等的模型（无论哪种类型）只是Cantor对集合的原始定义的精确公式（“通过‘聚合’，我们要理解任何集合[任何类型的集合，无论怎样——我的评论] 成为我们的直觉或思想的一个由明确和独立的对象构成的整体M。”） 如果是这样的话，那么你支持的多元宇宙观当然是没有问题的。 但是，哪种类型的集合才适合数学公式化（比如说，L可以公式化多少经典数学）？ 在你看来，现在什么样的模型集合将被视为“标准”（也许是“适当”的同义词）？ 标准是什么？ -
我想更正一个可能会使我之前的评论有点混乱的术语。 将“适当子代数”、“适当模型”中的术语“适当”和短语“可能是适当的同义词”中的“适当”替换为术语“首选”。 那么，问题就变成了，从本质上来说，区分集合理论宇宙的首选子模型和外来子模型的标准是什么？ 首选子模型和奇异子模型当然都存在，但只有首选子模型直接有助于理解术语“集合”并帮助确定其含义。 就我而言，L必须是构建V的首选子模型的基础，因为它是V的最小子模型（可以说，它将构成V的“骨架结构”），L的“首选”强制扩展必须将集合X的“所有可能”子集A添加到P（X） 只是缺少不一致性，所以L的基数结构在所有首选的强制扩展中都成立（这样，（对于某些B）（A）中的全称量词（A）（如果A是X的子集，则A是B的成员）将使P（X）绝对）。 也许可以通过一些归纳定义来重新定义P（X），其中归纳算子（称为P）可以应用于X，以获得越来越多的X的“新”子集，从而使闭包序数成为Aleph。 当然，这只是猜测，但可能是一个开始（事实上，人们可能会将V描述为L加强迫扩展，因为ZFC可证明的强迫原理正是模态理论S4.2中的原理）…。 -
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你好，乔尔， 你有没有考虑过，在多元宇宙中，从一个宇宙移动到一个更大更好的宇宙会如何影响拓扑空间（或均匀空间，或接近空间）？ 我听说集合理论家通常会说通过强制来增加实数， 但我不记得听到过任何关于强制扩展如何为帧添加点的消息 （回想一下，框架是一个完整的Heyting代数，框架在拓扑空间中对开集进行建模，所以应该将框架视为无点拓扑空间。例如，将Aronszajn树中高度为omega_1的所有分支的集合视为一个无点拓扑空间，其中基本开集都是那些假想的cof 包含特定点的最终分支。）。 我个人认为，多元宇宙或通用多元宇宙哲学将有助于澄清许多人在一般拓扑和无点拓扑（甚至对那些不坚持这种多元宇宙哲学的人）方面可能存在的一些问题，包括以下内容： 1.许多人对无点拓扑的概念感到困惑。 空间中怎么可能没有点？ 相反，对无点拓扑感到满意的人可能不熟悉强制或对强制持怀疑态度。 2.“好”拓扑空间的正确公理是什么可能还不清楚（我非正式地说，“好”是指满足足够的分离公理且行为相当良好的拓扑空间）。 很容易说服自己，每个度量空间都是“好”拓扑空间，但也很明显，非T1空间不是“好”的拓扑空间。 我们在哪里划线？ 3.集合论拓扑与其他拓扑分支（如代数拓扑和流形理论）几乎没有共同之处。 为了澄清这些数学问题，让我提出以下特征或我们希望在多元宇宙或泛型多元宇宙中看到的完全规则的框架/空间。 i.完全规则的框架是一个“完全规则的空间”，其点不一定存在于宇宙V中，而是存在于更大的宇宙中。 二、。 从V向更大的宇宙传递有时会向拓扑空间和帧添加点，但它不会从拓扑空间或帧中删除点（例如，随机强制将点添加到所有实数的空间）。 换句话说，拓扑空间是在更好的宇宙中可能有更多点的对象。 iii.从较小的宇宙传递到较大的宇宙不会向框架或拓扑空间添加任何新的开集，除非这些新开集只是旧开集的并集（尽管开集在进入较大的宇宙时变得更大，因为开集得到更多的点）。 iv.在更大的宇宙中，每个正则框架都成为一个可分离的可度量空间。 v。v中的框架同态在更大的宇宙中的拓扑空间之间产生连续函数。 均匀框架成为更大宇宙中的度量空间。 如果L是一个框架，那么框架L中的点就是从L到平凡布尔代数2的框架同态。 传递到更大的宇宙有时会添加此类同态，从而为帧添加点。 将|L|折叠为omega将使框架成为度量空间。 因此，强制需要非常糟糕的空间和框架（只要它们是规则的），并将它们转换为数学家可以轻松想象的良好空间（形式化在无点拓扑的环境中效果更好）。 通过将框架实现为度量空间，强制扩展使基数崩溃，我们得到了我最初列出的三个可能的反对意见的答案。 1.框架是简单的拓扑空间，其点位于强制扩展中。 因此，如果人们习惯于强制扩展，那么就没有理由怀疑无点拓扑。 类似地，如果拓扑学家仅仅考虑强制扩展为无点拓扑中所有点所在的宇宙，那么他们将更容易强制。 2.由于正则空间在折叠基数后变得可度量，因此应该将正则性（或完全正则性）视为“坏”拓扑空间和“好”拓扑空间之间的界线 拓扑空间 （我认为完全正则性而不是正则性是坏拓扑空间和好拓扑空间之间的界线，因为完全正则空间正是可均匀化空间，正是具有相容邻近性的空间。正则性的问题是正则空间只有在强制扩展时才变得好，但它们只是好的 在地面模型中）。 3.折叠基数会占用不好的空间，并使其变好，因此可以使用这些不同的技术来研究这些空间。 -
现在您已经提到了，我正在考虑是否可以从帧中获得类似于虚拟大基数的内容。 寻找如此大的基数最明显的地方是紧性、完全可度量性或Baire范畴定理的概念，但这些概念似乎并没有产生新的或现有的大基数公理。 我猜想，在折叠了足够多的基数之后，每个正则框架都会成为一个波兰空间，而不仅仅是可度量的（我有几个证明想法，我认为如果框架变得完全可度量，而不仅仅只是可度量，我们会更满意）。 我知道强迫并不会增加或减少紧凑性； 每个紧致空间在强制之后都保持紧致（强制扩展为紧致空间添加了足够的点以保持其紧致），而强制不能获取非紧致空间并使其紧致。 由于足够的强制保持了紧致性，并且应该使所有东西都完全可度量，因此没有太多空间来拥有非平凡的纯拓扑虚拟大基数（除非我们考虑不会折叠这么多基数或其他推广的强制）。 也许，人们应该在多元宇宙公理中加入“每一个规则框架都成为某个更大更好的宇宙中的波兰空间”。