摘要
在本文中,我们考虑有界开连通子集Rn上的抛物型方程。我们建模并研究了具有指定测度的观测域的最佳形状和位置问题。这个问题的动机是知道如何在某些领域塑造和放置传感器,以最大限度地提高观测质量:例如,温度计的最佳位置和形状是什么?我们证明了考虑与随机初始数据上经典可观测性不等式的平均值相对应的谱优化设计问题是相关的,其中未知范围在固定测度的$${\Omega}$$$的所有可能可测子集集合上。我们证明,在适当的充分谱假设下,该优化设计问题具有唯一的解,仅依赖于有限数量的模态,并且最优域是半解析的,因此具有有限数量的连接分量。这一结果与Privat等人研究的双曲守恒方程(wave和Schr¶dinger)形成了强烈对比。(《欧洲数学与社会杂志》,2015年),确实会发生松弛。我们还提供了反常扩散或斯托克斯方程的应用示例。在底层算子是Dirichlet-Laplacian的负的任何正(可能的分数)幂的情况下,我们证明了,令人惊讶的是,最优域的复杂性可能强烈依赖于域的几何结构和正幂。通过几个数值模拟对结果进行了说明。