摘要
设G是n次置换群,k是k≤n的正整数。如果存在一个k子集a(域Ω的),其在G下的轨道包含Ω的所有k分划P的横截,则G具有k存在性或k-et。这个性质实质上削弱了第一和第三作者研究的k-泛横截性质,即k-ut,该性质要求域Ω的所有k-子集a都满足这个条件。本文的第一个任务是研究k-et性质a≤nd以确定哪些群满足它。例如,已知对于k<6有几个k-传递群族,但对于k≥6,只有交替群或对称群;这里我们证明了在k-et上下文中阈值为8,即对于8≤k≤n/2,具有k-et的唯一传递群是对称群和交替群;这是最好的可能,因为Mathieu群M24(阶24)具有7-et。我们确定了4≤k≤n/2的所有具有k-et的群,直到k=4,5的一些未解决的情况,并用置换群语言描述了k=2,3的性质。这些考虑基本上回答了上述关于k-ut的论文中提出的问题5;我们还略微改进了具有k-ut性质的群的分类。在那篇早期的论文中,这些结果被应用于半群,特别是半群<G,t>何时是正则的问题,其中t是秩k的映射(k<n/2);这与k-ut属性等价。这里研究的问题是,当域中存在k子集a时,<G,t>对于图像a的所有映射t都是正则的;k-et性质(以A作为见证集)是一个必要条件,k-et和(k-1)-ut的组合是充分的,但事实介于两者之间。已知所考虑的群具有k-et的必要条件,除一个零星群外,解决了k≤n/2的正则性问题。本文以组合学、置换群、变换半群及其线性类比的若干问题作为结束。
引用
Araüjo,J,Bentz,W&Cameron,P J 2021,“存在横截性质:同质性的推广及其对半群的影响”,《美国数学学会学报》,第374卷,第2期,第1155-1195页。https://doi.org/10.1090/tran/8285