摘要
本论文分为两部分。在第一部分中,我们研究了一些具有非局部覆盖规则的图覆盖问题,该覆盖规则允许通过重复应用覆盖规则覆盖“远程”节点。在第二部分中,我们提供了一些关于Steiner树包装的结果。在传播问题中,我们得到了一个图$G$,其目标是找到一个覆盖所有节点的最小大小的节点集$S$,其中节点$v$被覆盖,如果(1)$v$位于$S$中,或者(2)$v$S有一个邻居$u$,从而覆盖了$u$及其除$v$之外的所有邻居。规则(2)称为传播规则,它是迭代应用的。在整个过程中,我们使用$n$表示输入图中的节点数。我们证明了路径宽度参数是最优值的下界。我们证明了平面加权图中的传播问题是NP-hard。我们证明了在加权(一般)图中,将最优值近似到$2^{\log^{1-\epsilon}{n}}$的因子内是NP-hard。我们研究的第二个问题是权力支配集问题。这个问题有两个覆盖规则。第一条规则与支配集问题中的支配规则相同,第二条规则与传播问题中的传播规则相同。我们证明,在一般图中,很难将最优值近似到$2^{\log^{1-\epsilon}{n}}$的因子范围内。我们设计并分析了一个性能保证为$O(sqrt{n})$的平面图近似算法。我们提出了上述两个问题的一个通用推广,称为广义传播问题。我们将这个一般问题重新表述为一个方向问题,并在此基础上设计了一个动态规划算法。当图的树宽为$O(1)$时,该算法以线性时间运行。受应用程序的启发,我们引入了该问题的一个限制版本,称为$\ell$-round General Propagation问题。对于$\ell$的小值,我们给出了平面图上$\ell$轮一般传播问题的PTAS。我们的动态规划算法和PTAS可以扩展到具有类似传播规则的网络中的其他问题。作为一个例子,我们讨论了我们的结果对扩散过程阈值模型中目标集选择问题的扩展。在论文的第二部分中,我们重点讨论了Steiner树装箱问题。在这个问题中,我们给出了一个图$G$和终端节点$R\subseteqV(G)$的子集。这个问题的目标是找到一个最大的不相交树集,每个树跨越$R$,也就是说,每个树应该包含所有终端节点。在这个问题的边不相交版本中,树必须是边不相交的。在element-disjoint版本中,树在非终端节点上必须是节点不相交的,在终端相邻的边上必须是边不相交的。我们表明,当只有$3$终端时,这两个问题都是NP-hard。我们主要关注这些问题的平面实例。我们证明,即使在嵌入面上有$3$终端的平面图中,问题的边不相交版本也是NP-hard。接下来,我们设计了一个实现$\frac{1}近似保证的算法{2}-\frac{1}{k}$,给定终端上$k$元素连接的平面图;事实上,给定这样一个图,该算法返回$k/2-1$element-disjoint-Steiner树。利用该算法,我们得到了一个保证(几乎)$4$的平面图中边不相交问题的近似算法。我们还证明了边不相交Steiner树装箱问题的自然LP松弛具有完整性比平面图中的$2-\epsilon$。