边标记图，其中类型变量e（电子）代表边缘标签。例如，相邻地图 布尔 一同构于未标记图在顶级模块中定义代数。图表。相邻地图，其中False（错误）和真的表示无标记边的缺失和存在，分别是。

这个邻接图边标记图的：每个顶点是与从其直接继承者到相应的边缘标签。

构造空图形.

栈空空==真hasVertex公司x空==假顶点计数空==0边缘计数空==0

构建包含以下内容的图形单个孤立顶点.

栈空（顶点x）==假hasVertex公司x（顶点y）==（x==y）顶点计数（顶点x）==1边缘计数（顶点x）==0

构建包含以下内容的图形单边.

边缘e x y==连接e（电子）(顶点x）(顶点年）边缘零x年==顶点[x，y]hasEdge公司x y（边缘e x y）==（e/=零)边缘标签x y（边缘e x y）==e边缘计数（边缘e x y）==如果e==零然后0其他1顶点计数（边缘e 1 1）==1顶点计数（边缘e 12）==2

方便的ternary-ish运算符的左侧部分x-<e>-y对于创建带标签的边。

x-<e>-y==边缘e x y（e x y）

方便的ternary-ish运算符的右侧部分x-<e>-y对于创建带标签的边。

x-<e>-y==边缘e x y（e x y）

覆盖两张图。这是一个交换的、结合的和幂等的具有标识的操作空的.复杂性：O（（n+m）*log（n））时间和O（n+m）内存。

栈空（覆盖x y）==栈空x个&&栈空年hasVertex公司z（覆盖x y）==hasVertex公司z x轴||hasVertex公司z y（z y）顶点计数（覆盖x y）>=顶点计数x个顶点计数（覆盖x y）<=顶点计数x个+顶点计数年边缘计数（覆盖x y）>=边缘计数x个边缘计数（覆盖x y）<=边缘计数x个+边缘计数年顶点计数（叠加12）==2边缘计数（覆盖12）==0

注：覆盖使用操作符平行合成边<+>具有零充当身份：

边缘标签x y$覆盖(边缘e x y）(边缘 零x y）==e边缘标签x y$覆盖(边缘e x y）(边缘f x y）==e<+>（f）

此外当应用于传递图时，覆盖在中合成边使用运算符排序<.>具有一充当身份：

边缘标签x z轴$传递闭包（覆盖(边缘e x y）(边缘 一y z）==e边缘标签x z轴$传递闭包（覆盖(边缘e x y）(边缘f y z））==e<.>（f）

连接两个由给定标签标记边的图。应用于时相同的标签，这是一个与标识关联的操作空的,分布在覆盖并遵循分解公理。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间和O（n+m）内存。请注意结果图中的边数与参数的顶点数：m=O（m1+m2+n1*n2）.

栈空（连接e x y）==栈空x个&&栈空年hasVertex公司z（连接e x y）==hasVertex公司z x轴||hasVertex公司z y（z y）顶点计数（连接e x y）>=顶点计数x个顶点计数（连接e x y）<=顶点计数x个+顶点计数年边缘计数（连接e x y）<=顶点计数x个*顶点计数年+边缘计数x个+边缘计数年顶点计数（连接e 1 2）==2边缘计数（连接e 1 2）==如果e==零然后0其他1

构造包含给定孤立顶点列表的图。复杂性：O（L*log（L））时间和O（L）内存，其中L（左）是长度给定列表的。

顶点[]==空的顶点[x]==顶点x个顶点==覆盖层.map（地图）顶点
hasVertex公司x。顶点==元素x个顶点计数.vertices（顶点）==长度.节点
顶点集.vertices==设置。来自列表

从边列表构造图形。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间和O（n+m）内存。

边[]==空的边[（e，x，y）]==边缘e x y（e x y）边缘==覆盖层.地图（\（e，x，y）->边缘e x y）

覆盖给定的图形列表。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间和O（n+m）内存。

覆盖[]==空的覆盖[x]==x覆盖[x，y]==覆盖x年覆盖层==文件夹 覆盖 空的
栈空.覆盖层==全部的 栈空

从邻接集列表构造一个图。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间和O（n+m）内存。

来自相邻地图[]==空的从相邻地图[（x，地图。空的)]                    ==顶点x个从相邻地图[（x，地图。单子y e）]==如果e==零然后顶点[x，y]其他边缘e x y（e x y）覆盖（from AdjacencyMaps xs）（from相邻地图ys）==来自相邻地图（xs++年）

这个是SubgraphOf函数接受两个图形并返回真的如果第一个图形是子图第二个。复杂性：O（s+m*log（m））时间。请注意，边的数量米的图形可以是表达式大小的二次曲线秒.

是SubgraphOf空的x==正确是SubgraphOf(顶点x）空的==错误是x y的子图==>x<=y

检查图形是否为空。复杂性：O（1）时间。

栈空空的==正确是空的(覆盖 空的 空的)==正确是空的(顶点x） ==错误是空的(移除顶点x个$顶点x） ==正确是空的(删除边缘x年$边缘e x y）==错误

检查图形是否包含给定的顶点。复杂性：O（对数（n））时间。

hasVertex x（具有顶点x）空的==错误hasVertex x（具有顶点x）(顶点y） ==（x==y）hasVertex x。移除顶点x个==常数False（错误）

检查图形是否包含给定边。复杂性：O（对数（n））时间。

hasEdge x y轴空的==错误hasEdge x y轴(顶点z） ==错误hasEdge x y轴(边缘e x y）==（e/=零)hasEdge x y。删除边缘x年==常数False（错误）hasEdge x y轴==不.无效的.滤波器（\（_，ex，ey）->ex==x&&ey==y）。边缘列表

提取图形中指定边的标签。复杂性：O（对数（n））时间。

边缘标签x y空的==零边缘标签x y(顶点z）==零边缘标签x y(边缘e x y）==e边缘标签(覆盖x y）==边缘标签s t x+边缘标签

图中的顶点数。复杂性：O（1）时间。

顶点计数空的==  0顶点计数(顶点x） ==1顶点计数==长度.顶点列表顶点计数x<顶点计数y==>x<y

（非-零)图中的边。复杂性：O（n）时间。

边缘计数空的== 0边缘计数(顶点x） ==0边缘计数(边缘e x y）==如果e==零然后0其他1边缘计数==长度.边缘列表

给定图的顶点排序列表。复杂性：O（n）时间和记忆。

顶点列表空的== []顶点列表(顶点x） ==[x]顶点列表。顶点==节点.分类

图的边列表，根据成对连接的顶点（即边标签在排序时被忽略）。复杂性：O（n+m）时间和O（米）内存。

边缘列表空的== []边缘列表(顶点x） ==[]边缘列表(边缘e x y）==如果e==零然后是[]其他[（e，x，y）]

给定图的顶点集。复杂性：O（n）时间和记忆。

顶点集空的==设置。空的顶点集。顶点==设置。单子顶点集。顶点==设置。来自列表

给定图的边集。复杂性：O（n+m）时间和O（米）内存。

边缘设置空的==设置。空的边缘设置(顶点x） ==设置。空的边缘设置(边缘e x y）==如果e==零然后选择Set。空的else设置。单子（e，x，y）

这个预设元素的x个是它的集合吗直接前辈.复杂性：O（n*log（n））时间和O（n）内存。

预设置x空的==设置。空的预设置x(顶点x） ==设置。空的预设置1(边缘e 12）==设置。空的预设置y(边缘e x y）==如果e==零然后选择Set。空的else设置。来自列表【x】

这个后置顶点的集合直接继承人.复杂性：O（对数（n））时间和O（1）内存。

后置集x空的==设置。空的postSet x(顶点x） ==设置。空的postSet x(边缘e x y）==如果e==零然后选择Set。空的else设置。来自列表[年]postSet 2(边缘e 1 2）==设置。空的

将图形转换为相应的未标记图形相邻地图通过忘记所有非-零边缘。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间和记忆。

hasEdge公司x年==hasEdge公司x年。骨架

从给定图形中删除顶点。复杂性：O（n*log（n））时间。

移除顶点x(顶点x）==空的删除顶点1(顶点2)       ==顶点2移除顶点x(边缘e x x）==空的删除顶点1(边缘e 1 2）==顶点2删除顶点x。移除顶点x==移除顶点x

从给定图形中删除边。复杂性：O（对数（n））时间。

删除边缘x y(边缘e x y）==顶点[x，y]移除边缘x y。removeEdge x y==删除边缘x y移除边缘x y。移除顶点x个==移除顶点x个removeEdge 1 1（1*1*2*2）==1*2*2removeEdge 1 2（1*1*2*2）==1*1+2*2

功能替换顶点x年替换顶点x个带顶点年在一个鉴于相邻地图.如果年已经存在，x个和年将合并。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间。

替换顶点x x==id替换顶点x y(顶点x）==顶点年替换顶点x y==gmap（gmap）（\v->如果v==x，则y为v）

替换给定图形中的边。如果它不存在，就会被创建。复杂性：O（对数（n））时间。

replaceEdge e x y z==覆盖（移除边缘x y z）(边缘e x y）replaceEdge e x y(边缘f x y）==边缘e x y（e x y）边缘标签x y（replaceEdge e x y z）==e

转换给定图形。复杂性：O（m*log（n））时间，O（n+m）内存。

转置空的==空的转置(顶点x）==顶点x个转置(边缘e x y）==边缘e y x（e y x）转置。转置==id

通过对图形的每个顶点应用函数来变换图形。这是类似Functor（仿真器）的功能性维修计划但可以与非完全参数一起使用相邻地图.复杂性：O（（n+m）*log（n））时间。

gmap f空的==空的gmap f(顶点x）==顶点（f x）gmap f(边缘e x y）==边缘e（f x）（f y）gmap（gmap）身份证件==身份证件gmap文件。gmap g==gmap（f.g）

通过应用函数变换图形小时每个边缘标签。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间。

功能小时必须是同态关于标签e（电子）.至少它必须保存零和<+>:

小时零==零高x<+>h y==h（x<+>年）

如果e（电子）也是半环，那么小时还必须保留乘法结构：

小时一==一高x<.>h y==h（x<.>年）

如果上述要求成立，那么实现将提供以下保证。

emap小时空的==空的emap小时(顶点x）==顶点x个emap小时(边缘e x y）==边缘（h e）x yemap小时(覆盖x年）==覆盖（电子邮件地址x）（电子邮件地址）emap小时(连接e x y）==连接（电子邮件）（电子邮件）电子邮箱身份证件==身份证件电子邮件。emap h==emap（g.h）

构造诱导子图通过移除不满足给定谓词的顶点。复杂性：O（n+m）时间，假设谓词采用常量时间。

诱导(常数真）x==x诱导(常数假）x==空的诱导（/=x）==移除顶点x个诱导p。诱导q==诱导（\x->px&&qx）是SubgraphOf（诱导px）x==真

构造诱导子图通过删除顶点来确定给定图形的那是没有什么.复杂性：O（n+m）时间。

诱因只是(顶点 没有什么)                               ==空的诱因只是(边缘(只是x）没有什么)                        ==顶点x个诱导Just。gmap（gmap） 只是==身份证件诱导Just。gmap公司（\x->如果p x那么只是x其他没有什么) ==诱导第页

计算自反传递闭包在使用Warshall-Floyd-Kleene算法的基本星半环。

关闭空的==空的闭合(顶点x）==边缘 一x x x闭合(边缘e x x）==边缘 一x x x闭合(边缘e x y）==边缘[(一，x，x），（e，x，y）(一，y，y）]闭合==反射闭合.传递闭包闭合==传递闭包.反射闭合关闭。闭合==闭合postSet（postSet）x（闭包y）==集。来自列表(可达成的y x）

计算自反闭合下半环上的图的增加一个自循环重量一到每个顶点。复杂性：O（n*log（n））时间。

反射闭合空的==空的反射闭合(顶点x）==边缘 一x x x反射闭合(边缘e x x）==边缘 一x x x反射闭合(边缘e x y）==边缘[(一，x，x），（e，x，y）(一，y，y）]反射性闭合。reflectiveClosure==reflective闭包

计算对称闭包用自己的图覆盖它转置。复杂性：O（（n+m）*log（n））时间。

对称闭合空的==空的对称闭合(顶点x）==顶点x个对称闭合(边缘e x y）==边缘[（e，x，y），（e，y，x）]对称闭合x==覆盖x个(转置x）对称闭合。symmetricClosure==对称闭合

计算传递闭包下面恒星上的图形使用Warshall-Floyd-Kleene算法的修改版本的半环，其省略了自反性步骤。

传递闭包空的==空的传递闭包(顶点x）==顶点x个传递闭包(边缘e x y）==边缘e x y（e x y）传递闭包。transitiveClosure==传递闭包

检查内部图形表示是否一致，即边是指现有的顶点，并且没有零-标记的边缘。它应该不可能创建不一致的邻接图，我们使用这个测试中的功能。