2-公制几何|弦咖啡桌

2006年5月25日

2-公制几何

由urs发布

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以下是对讨论在David Corfield家举行网络日志.

如果你不喜欢这种游戏，就不要读这篇文章。

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练习（科尔菲尔德）：定义并研究分类欧几里德几何的好概念。

不同但等价的概念在分类时可能会产生一般不同和不等价的概念（这并不奇怪）。

那么，我们想把我们的练习建立在公制几何的什么概念上呢？

David Corfield和John Baez目前正在集中精力对Klein的爱尔兰根项目，其中几何对象根据其稳定器组进行编码。

另一方面，汤姆·伦斯特（Tom Leinster）发表了一篇评论，认为劳弗尔（Lawvere）对度量空间的分类概念可能是一个有希望的起点。

在这里，我想集中讨论第二个想法，因为它很好地符合我最近思考的其他一些事情的背景。

正如汤姆·伦斯特（Tom Leinster）所言，这里有一段优美的文字：

F.W.劳弗尔
公制空间、广义逻辑和闭范畴
《范畴的理论与应用》再版，1（2002）第1-37页
(pdf格式).

其中，Lawvere指出数学中出现的几个基本结构，特别是米制的是丰富范畴的特例，而且，从这个角度来看，会产生大量后续的构造和观察结果，甚至一些定理，这是一般抽象无意义的自动结果。

回忆一下 $五$ -充实范畴是。让 $五$ 是一个单体范畴，具有我们在下面需要的所有附加性质。从本质上讲 $五$ -富足范畴具有作为对象的态射空间 $五$ 和中作为态射的态射的合成 $五$ .

阅读本文的人无需被告知 $五$ -丰富的类别是，所以我借此机会告诉你们我个人对丰富的类别的看法，只是为了让你们有一些评论。

让我们看看，要么这很愚蠢要么很无聊：我喜欢考虑 $五$ -带目标的lax函子的富足范畴 $Σ (五)$ .

在这里 $Σ (五)$ 应该表示暂停单体范畴的 $五$ ，即具有单个对象的2-范畴，态射是 $五$ 2-态射是 $五$ .

我喜欢用这种松散的方式来看待丰富的类别，因为它减少了我需要思考什么是 $五_{2}$ -丰富的2类可能是，现在 $五_{2}$ 是2类联合国,双,三个, …).

嗯，然后我可能会赶紧补充一点，我知道我们可能只是在2个类别中进行了丰富，就像我们之前在1个类别中所做的那样。毕竟，2个类别本身只是2个类别中丰富的类别 $猫$ .

但我在这里的想法略有不同。我真的想从2类开始，然后在另一个2类中添加标签。这至少是我在尝试将Lawvere的度量空间概念分类为类似于2度量空间的东西时想要使用的。

这与一个松弛函子 $Σ (五)$ 实际上可能比 $五$ -类别。当函子的域在任何给定对象之间最多有一个态射时，它就简化为普通概念。

好吧。接下来，我回忆一下劳弗尔对度量空间的看法。如前所述，我稍微修改了一下，以便更好地满足我的分类需求。（更准确地说，在Lawvere有加法的地方，我将使用指数乘法。）

让我们写 $R（右） = [0, ∞]$ 对于非负实数。我将编写的所有元素 $R（右）$ 在表单中 $经验 (Ş)$ .

除其他外，这些构成了关于 $\geq$ 任何偏序集都可以被视为一个范畴，每个偏序集恰好有一个态射 $\geq$ 关系，所以我们会这样做。

但是， $R（右）$ 也是关于乘法的幺半群 $R（右）$ 在某种程度上，它与 $\geq$ .

换句话说， $R（右）$ 具有单体范畴的结构，张量积是数字的普通乘积。

正如Lawvere解释的那样，我们甚至有内部Homs $R（右）$ ，所以 $R（右）$ 是我们可以丰富的东西。

好的是，这是一个集合上的度量 $S公司$ 只不过是一个类别 $C类$ 具有 $对象 (C类) = S公司$ ，富含 $R（右）$ .

更准确地说，这给出了度量的概念，省略了一些更不相关的公理——正如Lawvere指出的那样。

首先，形态的对象

(1)

霍姆 (一, b条) = 经验 (Ş (一, b条))

它们只不过是实数，我们可以将其视为编码源对象和目标对象之间的距离。

接下来，这里要注意的主要一点是 $五$ -丰富的类别

(2)

霍姆 (一, b条) \otimes 霍姆 (b条, c（c）) \overset{\circ}{\to} 霍姆 (一, c（c）)

对于这种情况 $五 = R（右）$ 只不过是三角不等式

(3)

\overset{五 = R（右）}{\Leftrightarrow} Ş (一, b条) + Ş (b条, c（c）) \geq Ş (一, c（c）)

满足于该距离函数。

就这样。正如Lawvere强调的那样，这种看待指标的方式是非常富有成效的。

好的，那么大卫·科菲尔德的运动呢？

让我们把我们正在处理的类别中的一组对象想象成形成了一些空间。我们以某种方式确定了该空间中任意有序点对与直线（稍后，当我们进行2-黎曼几何时，我们将不得不考虑直线=测地线，局部）路径之间的唯一边，并为这些路径分配了非负实数，即它们的长度。

直线路径的组成是通过矫直复合路径获得的唯一直线路径。（对不起，这句话……）

所以，我们有一个公制测量长度的概念。在对其进行分类时，我想获得一些能告诉我如何测量表面的信息。

也许我想找到一种很好的抽象胡说八道的方式来思考面积指标出现在弦论中。

为了做到这一点，我现在将转而思考 $五$ -作为lax函子的丰富范畴 $五$ .

在上述设置中，我们将处理一个类别 ${P（P）}_{1} (S公司)$ 这类似于空间的基本广群 $(S公司)$ 。它为中的每个有序点对精确包含一个态射 $S公司$ （被认为是两点之间唯一的直线路径）。

松弛函子

（4）

{P（P）}_{1} \to Σ (五 = R（右）)

关联长度 $Ş (一, b条)$ 到每个态射 $一 \to b条$ ，使得三角形不等式得到满足。

当然，我现在想要一个2类 ${P（P）}_{2} (S公司)$ ，被认为是某种2类“直”曲面 $S公司$ .

这些对象是 $S公司$ ，现在的态射是由基本直路自由生成的，并且有一个唯一的2-态射填充1-态射的每个定向三角形。

（这是一种在“运输理论”中随处可见的几何2路2类( $\to$ ).)

我们所追求的是用一些分类的距离概念来“装饰”或“标记”这个2路2类别。

我们需要一个良好的2分类版本 $R（右）$ 。一旦我们找到一个，我们就叫它 ${R（右）}_{2}$ 。然后我们的2米几何 $S公司$ 应为lax 2-函子

(5)

{P（P）}_{2} (S公司) \to Σ ({R（右）}_{2}) .

让我们看看。也许我已经累了。我将通过注意一些明显的初步猜测来完成此条目。

我的第一个猜测是建造 ${R（右）}_{2}$ 将非负实数的幺半群替换为实向量空间的幺半类。我们需要建造一个单体2-通过引入2个语素来对关系进行分类 $\geq$ 然后我们暂停结果以获得一个包含单个对象的3类别。

当一切都说了和做了，这应该导致2个距离的标签如下。

1路输入 $S公司$ 应该用向量空间标记。两条路径（曲面）之间的线性映射。表面的水平组合将产生两个表面组合的某种拉直版本。其细节取决于我们发现的与 $\geq$ .

我很累，稍后可能会详细说明。最后，我想说的是，这里出现的2度量概念似乎与面积指标我想看的。

也就是说，它们应该包含一个由某些2-形式的曲面积分给出的分量。更一般地说，这应该是某些阿贝尔格必的曲面完整性。现在，阿贝尔1-gerbe的表面输运正是一个2-函子，它将（一维，复）向量空间赋给路径，并将它们之间的线性映射赋给合并曲面( $\to$ ).

因此，这看起来相当有希望。但我有没有提到我累了？

发布于2006年5月25日下午7:00 UTC

此条目的TrackBack URL:http://golem.ph.utexas.edu/cgi-bin/MT-3.0/dxy-tb.fcgi/818

13条评论和0条回溯

主题：2-公制几何

我一直想看一看这，因为我当时认为同伦论是真值钻机中的路径积分的一种形式，而格兰迪斯的论文似乎使用了其他钻机来达到类似的目的。可能与你正在做的事情有关。

发布人：大卫·科菲尔德2006年5月25日9:57 PM|永久链接|对此的答复

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感谢您链接到Grandis的论文。

他在第1.8节中关于路径长度的评论让我思考。

如果我们想把它提升到2度量几何，那么如果有一种更实用的方法来实现这一点就好了。

因此，我开始思考如何按照Lawvere的度量几何方法的精神来制定积分。

昨天我就这个问题发表了两条评论。但我意识到它们有一些严重的缺陷，所以我再次删除了它们。

周五晚上，在火车上，我找到时间仔细考虑这一切。

现在，我相信有一种很好的方法可以在当前环境中定义集成，这种方法无缝地适合Lawvere的方法，并且可以很好地进行分类。

在下面，我试着画出这个草图。

所以让我们 $X（X）$ 是某个（1-）类别，它模拟了一些空间。我们给它配备了一个广义度量 ${d日}_{X（X）}$ 通过指定lax函子

(1)

{d日}_{X（X）} : X（X） \to S公司,

哪里 $S公司$ 是任意2类。

正如上面条目中所讨论的，在以下情况下，这可以简化为Lawvere的度量空间概念： $X（X）$ 是的对广群 $对象 (X（X）)$ 还有那个

(2)

S公司 = Σ (R（右）)

是非负实数的单体范畴的暂停

(3)

R（右） = {一 \geq b条} .

但我希望有一个不依赖于 $R（右）$ .它应适用于所有广义度量空间 ${d日}_{X（X）} : X（X） \to S公司$ 并将空间案例简化为一般的整合概念 ${d日}_{X（X）} : P（P） (对象 (X（X）)) \to Σ (R（右）)$ .

更准确地说，当我说积分时，我想到了测量路径的长度。

让 $我$ 是某个类别的区间建模，可能配备了一些度量本身。

让

（4）

γ : 我 \to X（X）

是一个模拟路径概念的函子 $X（X）$ .

一般来说，我们希望那个函子有一些好的性质。例如，它是平滑的。如果 $我$ 携带公制

(5)

{d日}_{我} : 我 \to S公司

它本身（我们可以将其视为在 $我$ )例如，我们可能会要求 $γ$ 推广到度量空间的一个态射

(6)

\begin{matrix} 我 & \overset{γ}{\to} & X（X） \\ {d日}_{我} ↓ & ↓ {d日}_{X（X）} \\ S公司 & = & S公司 \end{matrix} .

我感兴趣的是计算 $我$ 按上的公制测量 $X（X）$ .

有一种显而易见的方法可以实现这个指标 $X（X）$ 返回到 $我$ 。由于度量对我们来说是函子，我们只需设置

(7)

γ^{*} {d日}_{X（X）} : 我 \overset{γ}{\to} X（X） \overset{{d日}_{X（X）}}{\to} .

对于激励性案例，其中 $S公司 = Σ (R（右）)$ 这再现了回调度量的预期概念。

所以剩下的任务是定义度量空间的长度

(8)

(我, γ^{*} {d日}_{X（X）}) .

我们知道如何在普通情况下做到这一点 $S公司 = Σ (R（右）)$ .

在这种情况下，我们选择路径的近似值 $γ$ 通过分段直线。它们的长度可以通过 $γ^{*} {d日}_{X（X）}$ 。我们所追求的路径长度是这些近似长度的上确界，覆盖了所有可能的分段线性近似。

当然，这只不过是马可·格兰迪斯在第7页上所说的内容。

但让我试着用一种更明确的语言重新表述这个过程。

什么是我们路径的分段线性近似？如果你仔细想想，它只不过是一个元组 $n个$ -中的可组合态射 $我$ .

所以我们想参加一个夏季运动会实际上是神经属于 $我$ ，其对象都是 $n个$ -中可组合态射的元组 $我$ .

这个简单集有它所有的面和简并映射。我们可以把它们看作是 $n个$ -的语态元组 $我$ ，因此作为一个类别。我写作 $∣ 我 ∣$ 为了…的神经 $我$ ，但被视为一个类别，其形态是面和简并映射及其合成。

现在，除非我忽略了什么，否则有一个可爱的事实：

任意松弛函子

(9)

d日 : 我 \to Σ (C类)

自然诱导函子

（10）

∣ d日 ∣ : ∣ 我 ∣ \to C类 .

$∣ d日 ∣$ 作用于 $∣ 我 ∣$ 通过应用 $d日$ 到给定的中的每一个态射 $n个$ -语素元组。

此外，到中的面贴图 $∣ 我 ∣$ 函子 $∣ d日 ∣$ 关联各自的“排字员“并对简并映射指定”单位”.

除非我弄错了，否则控制面映射和简并映射的合成的简单恒等式精确地对应于松弛函子的合成器和单位器的相干定律 $d日$ .因此 $∣ d日 ∣$ 确实在上起作用 $∣ 我 ∣$ .

接下来，正如Lawvere解释的那样，回想一下 $R（右）$ 只不过是至高无上的。

综合所有这些，它应该遵循路径的长度 $γ : 我 \to X（X）$ 关于 ${d日}_{X（X）}$ 是绝对的限制结束 $∣ 我 ∣$ 函子的 $∣ d日 ∣ = ∣ γ^{*} {d日}_{X（X）} ∣$ :

(11)

\int_{我} γ^{*} {d日}_{X（X）} : = 林_{∣ 我 ∣} ∣ γ^{*} {d日}_{X（X）} ∣ .

这很好（如果正确的话），有两个原因。

1）右手边的定义很好，不仅是为了我们的激励示例，也是为了一般情况

(12)

{d日}_{X（X）} : X（X） \to S公司

是任何目标2-范畴的任何松弛函子 $S公司$ .

这允许将集成的概念扩展到广义1-运输( $\to$ ). 我将在下面为此绘制一个示例。

2）鉴于上述定义的分类性质，分类变得简单明了。

对于2-度量几何，我们将考虑lax 2-函子（这实际上是3-函子） ${d日}_{X（X）}$ 而不是1-函子。在上述条目的末尾，我在这方面做了一些指示。

同样，在这种情况下，人们可以尝试理解我们如何用2公尺测量表面的表面积。同样，我们将通过许多小平面多边形来近似曲面，我们可以从中获得这些多边形的大小 ${d日}_{X（X）}$ 曲面积分将再次成为所有这些多边形近似的极限。

但现在这只不过是2类神经的极限。上述积分公式应适用于2米几何中的积分，无需修改。

最后，我给出了一个与函子完全不同的广义度量的例子 $Σ (R（右）)$ ，但当插入到上述积分公式中时，仍然会产生有用且有趣的信息。

也就是说，考虑我们有一些单体范畴的情况 $C类$ 因为我们需要描述拓扑或有理共形2D场理论( $\to$ ).

此外，让 $X（X）$ 是从每个图都有一个顶点的图中获得的范畴 $D类$ -膜存在于场理论的背景中，并且只要在相应的两个D膜之间有一种开放条纹，任何两个顶点之间都会有一条边。

这种二维场论的背景实际上只是一个松弛函子

(13)

{d日}_{X（X）} : X（X） \to Σ (C类) .

正如我之前指出的那样，这只是对2D场论的一个众所周知的事实的明确改写( $\to$ ).

有趣的是，这一化身中的TQFT/RCFT背景概念与上述关于“箭袋”的广义度量概念完美契合 $X（X）$ .

那么，有一条路意味着什么

(14)

γ : 我 \to X（X）

在里面 $X（X）$ 并测量其相对于 ${d日}_{X（X）}$ ?

好吧，把这些都塞进公式里

(15)

林_{∣ 我 ∣} ∣ γ^{*} {d日}_{X（X）} ∣

我们发现（除非我错了），这个极限只不过是从一维坐标到 $C类$ ，它表征了相应的2D QFT。

也就是说， $我$ 这里扮演了连接“传入”打开字符串的角色。图像 $γ (我)$ 在里面 $X（X）$ 分配给每个工件 $J型 \subset 我$ 属于 $我$ 在端点的膜之间延伸的字符串状态代数 $\partial J型$ 分配给。

带有范畴极限的态射表示所有这些开放字符串之间的所有相互作用。由于具有普遍性，极限最终编码了所有引入的弦物种反应的普遍最终产物。这里的普适性意味着这个结果与我们计算这个反应的顺序无关。

这都是针对开放字符串的。

我相信相对容易看到，我们通过适当地应用我上面提到的2度量几何积分，同样获得了闭合拓扑弦的反应过程。

但也许这值得更详细的讨论。

发布人：urs公司2006年5月27日下午3:19|永久链接|对此的答复

主题：2-公制几何

你好，乌尔斯，

我可能会被指责只有一个想法。这可能是真的，但由于你是这个想法的一部分，我有时会感到困惑，为什么你不在我之前说出它（尽管我知道你可能在想！）：）

我们发现，大多数概念在菱形图上比在连续体中更加透明。我们还知道，我们可以构造一个连续体极限，所以大多数（如果不是全部）结果都可以直接从菱形图传递到黎曼/洛伦兹流形。

如果我试图构建2公尺几何，那么最明显的起点就是钻石。这是一个完全错误的想法吗？

埃里克

附言：DC，如果你还没有看过，我觉得你可能会喜欢我们的纸张.

发布人：Eric 2006年5月26日下午3:19|永久链接|对此的答复

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如果我试图构建2公尺几何，那么最明显的起点就是钻石。

是的，这应该是定义域2类别的一种好方法 $X（X）$ ，正如我们所讨论的在这里.

在目前的情况下，我们想装备这样一个2复合体 $X（X）$ 具有一些lax 2-函子

(1)

{d日}_{X（X）} : X（X） \to S公司

我们想将其视为上的广义（2-）度量 $X（X）$ .

发布人：urs公司2006年5月27日下午3:25|永久链接|对此的答复

主题：2-公制几何

构造几何图形的方法有很多种。只是好奇，你为什么要专注于距离功能？为什么不专注于度量张量呢？在这种情况下，它会直接从菱形中掉出来，我敢打赌，如果你构造一个离散的2-几何体，那么弹出的度量张量将是面积度量的离散版本。如果我有一个线索，我会尝试自己做：）

发布人：Eric于2006年5月27日下午5:26|永久链接|对此的答复

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只是好奇，你为什么要专注于距离功能？

距离函数和黎曼度量之间的差异很小。

目前，我正在处理Lawvere对这件事的深入了解。

发布人：urs公司2006年5月27日下午8:54|永久链接|对此的答复

主题：2-公制几何

我重新开始了与John Baez的对话，其中部分涉及我在第一次评论中所说的话，“我认为同伦理论是真理值钻机中的路径积分形式”。它是在这里.

我总是感到惊讶的是，对基本概念的重新思考并没有太多。我认为我们一直低估了数学这一部分的实质性，这就是劳弗尔所说的“广义逻辑”。在2002年的评论中，他指出了他发现的进一步范围：

“因此，与1973年论文导言中的道歉相反毕达哥拉斯张量的作用确实严格地表达为丰富的范畴结构。”

发布人：大卫·科菲尔德2006年5月27日下午4:39|永久链接|对此的答复

主题：2-公制几何

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我重新开始了对话

谢谢。非常有趣。我必须考虑一下。目前，我不确定我是否了解你们两人正在谈论的所有细节。

不过，我想知道，如果我们能把你们所想到的广义路径积分，按照Lawvere的精神，按照积分的思路，结合起来，就像我在上面试图指出的那样。

如果不是半环 $R（右）$ 对于Lawvere用来描述度量几何的非负整数，我们使用环半 ${R（右）}_{最大值}$ ，其中加法是上确界，那么我们也可以用这个半环建立上述所有广义度量理论。

而且（除非我犯了什么错误），在我看来，当使用它时 ${R（右）}_{∞}$ 钻机代替 $R（右）$ ，并将其插入到我在前面关于积分的评论中描述的范畴积分的公式中( $\to$ )我们确实在利特维诺夫公式中得到了精确的公式（1）纸张.

此外，这里有一个可能与我所说的积分概念有关的观察结果（使用神经范畴上距离函数的极限）。

在我对积分的评论中，我只考虑了用范畴上的积分来模拟一维空间的情况。

但是，如果你看一下这个结构，你会发现积分的定义更一般。

我们也可以计算出某些类别神经的类别极限 $X（X）$ （就像我描述的那样），但把所有 $n个$ -神经中不以两个指定点开始和结束的形态元组。

范畴积分在这种情况下所吐出的正是（态射的）路径 $X（X）$ 最大化（如果我们的环 $R（右）$ 或 ${R（右）}_{最大值}$ ，或其他，被视为具有 $\geq$ 作为形态，否则最大化被更一般的东西代替）-最大化“距离函数”的积分 ${d日}_{X（X）} : X（X） \to Σ (R（右）)$ 在那条路上。

所以，我认为积分的概念至少包含了

1）普通的（在1D空间上）

2）普通热带的任何推广

3）经典力学，在产生路径的意义上，使一些“作用”极值化。

我现在看不到的东西（我有点着急），如果有松弛的函子的话 ${d日}_{X（X）} : X（X） \to S公司$ 这将使得积分也像统计力学和量子力学中那样包含路径积分。

现在得跑了。

发布人：urs公司2006年5月27日下午8:50|永久链接|对此的答复

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我写道：

在这种情况下，范畴积分所吐出的正是（态射的）路径 $X（X）$ 最大化

对不起，这通常不是真的。事实上，只有在非常简单的特殊情况下才有意义。

发布人：urs公司2006年5月28日下午6:47|永久链接|对此的答复

主题：2-公制几何

快速浏览Lawvere的论文让我想起了“作为因果集的时空“东西。

我还想知道2-几何是否会与某些东西有关珍妮·哈里森正在进行中。

PS：在查找Bombelli文件时，发现这最近的一次。

发布人：Eric于2006年5月29日上午5:59|永久链接|对此的答复

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快速浏览Lawvere的论文让我想起了“时空因果集”的内容。

是的，这是关于Lawvere非常一般的概念的一件有趣的事情。

他的衡量标准不一定是对称的。当你沿着它们朝一个方向走的时候，可能有一些边的长度是有限的，但如果你试图朝另一个方向走的话，它们的长度是无限的！

换句话说，这些边只朝一个方向移动。从某种意义上说，他们是被引导的。

在极端情况下，沿可接受方向沿着这样一条边行走的成本处处为0。在这种情况下，非对称度量简化为一个纯粹的有序集，其中我们所知道的是我们是否可以从给定的点到达某个点（Sorkin会认为这是一个点是否在另一个点的时间未来中）。

当然，Lawvere方法真正有趣的是，事情甚至比这更普遍。我们可以将任何（闭合等）单体范畴视为装饰范畴，我们将其对象视为路径长度的标签。这些标签根本不需要像数字一样。

我在上面讲了一些关于当我们用一般张量范畴中的物体测量边的“长度”时，如何得到有趣的结构 $C类$ 结果表明，然后我们的广义度量将内部双模关联到 $C类$ 边缘。

另一方面，这些双模块我们知道如何解释（在许多情况下 $C类$ )作为从给定边的源到目标的字符串状态空间。

我认为这很好。这使得更多的钟声响起，就像膜之间拉伸的弦的凝聚物如何决定这些膜之间的一些（非交换）距离。

这种奇特的非对易D膜几何体（在某种意义上）已经被编码成了Lawvere在1974年已经知道的一般抽象的胡说八道！：-）

我还想知道2-几何是否会与詹妮·哈里森正在研究的某些东西有关。

嗯，我仍然不知道珍妮·哈里森到底做了什么。你…吗？

发布人：urs公司2006年5月29日下午6:22|永久链接|对此的答复

主题：2-公制几何

她曾经向我解释过，她解决了一个明显悬而未决的问题，即如何在一个闭合环上拉伸一个最小曲面。我认为它可能相关的原因是，在1-几何中，距离度量可以找到连接两点的最小长度。我认为在2-几何中，距离度量可以找到连接两个回路的最小表面积。就像肥皂膜。我所知道的不多（已经不多了）：）

发布人：Eric于2006年5月29日下午7:44|永久链接|对此的答复

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就像肥皂膜。

这很有趣。当我写上述关于2公尺几何的评论时，我思考了一些事情。

出于以下原因。

所有这些抽象的声音语言背后都有一个简单的几何图形。如果我能在这里快速画出一些草图，它们将非常有帮助。

但让我试着用语言来描述它。

我们如何使用Lawvere的类别测量路径的长度？

你知道的，为了明确起见，让我把它说清楚。

所以我们在某个空间中有一些弯曲的路径 $X（X）$ 。我们选择了几个点 ${第页}_{我}$ 在 $X（X）$ 。然后我们通过中最短的可能路径连接这些点 $X（X）$ .

这通过分段“直线”得到了与原始路径的近似值。

事实上，这些直线只不过是描述空间的类别中的形态 $X（X）$ .

这是Lawvere在这里的方法的一点酷的地方。这些类别只知道所涉及的最简单的路径。无需指定无穷小。

我们得到曲线路径的真实长度，作为所有这些近似分段直线长度的上限。

因此，它是从类别提供的相当粗粒度的信息中提取无穷小信息的分类极限过程 $X（X）$ 自身。

这就是我喜欢在上面讨论的那个奇特的绝对积分所表达的。

现在，让我们进行分类。我们将替换 $X（X）$ 按2类分类。选择您最喜欢的结构（钻石；-）。现在我们有了点对象 $X（X）$ 1-态射是直线。

给定几个1形，我们现在需要定义它们之间的“直”表面，并将其作为我们的2形之一。

对于一对原点相同的直线来说，这很简单，因为它们跨越了一个单纯形。

但是，我们可能需要在两条以上的边之间插值的“直”曲面。

因此，可能需要考虑在这种情况下的一些最小曲面几何。

我想答案就在珍妮·哈里森的作品中…

发布人：urs公司2006年5月29日下午8:16|永久链接|对此的答复

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