这里还有一个:如果gr(Assoc)=Poisson,那么与此过滤相关的Rees和blowup代数的含义是什么?
我渴望完全理解这种模式,并将其与辛群胚和辛群胚的模式相适应 -群胚。
我的学生克里斯·罗杰斯(Chris Rogers)似乎正在成为分类经典力学的专家,他很快就会就这个主题发表一篇新论文,这可能会让你满意。
这就是你想象中的证据吗? 这当然不像“取微分算子的符号”那么容易。 或者,左变量还有其他神奇之处,可以定义规范符号。 如果是这样,请一定告诉我。
因为这与李括号运算无关,所以它等价于……当李括号运算为零时得到的包络代数,
……也许左变量还有其他神奇之处,可以定义规范符号。
线性操作数很像结合代数…
当然,[他]在写“代数”或“环”时的意思是“操作数”——虽然他描述的结构对于代数或环来说最为常见,但它们也适用于操作数!
我认为ab+ba生成的子域的结构是一个公开的问题。
人们还说:要理解Jordan代数,请从 结合代数,看看你能用1和 操作
X o Y=XY+YX
这看起来很相似; 唯一的区别是一个符号! 但它是 很难找到此操作必须满足的所有身份。 事实上,如果你不介意的话,我想我会换到更常见的 使用的归一化
X o Y=(XY+YX)/2
其中两个身份是显而易见的:
1 o X=X
X o Y=Y o X
下一个不太明显:
X o((X o X)o Y)=(X o X)o(X o Y)
在这一点上,帕斯科尔·乔丹放弃了寻找更多,并制作了这些 他对我们现在称之为“乔丹代数”的定义:
12) Pascual Jordan,Ueber eine Klasse nichtassociator超复杂 代数,Nachr。 盖斯。 愿望。 戈廷根(1932),569-575。
他在思考量子理论的基础时写下了这篇论文, 因为希尔伯特空间上的有界自共轭算子表示 可观察性,并且它们在乘积ab+ba下是闭合的。
后来,他与尤金·维格纳(Eugene Wigner)和约翰·冯·诺依曼(John von Neumann)一起将所有 “形式真实”的有限维Jordan代数,意思是 只有当每一项都为零时,XoX形式的项之和才为零。 这个条件在量子力学中是合理的,因为可以观察到 比如X和X是“积极的”。 这也导致了一个很好的分类, 我在“ 第162周 ".
有趣的是,这些形式上真实的Jordan代数之一没有 坐在一个结合代数里面:“例外的乔丹代数”, 它由所有带有八角项的3x3 hermitian矩阵组成。
这个代数有很多好的性质,它起着一个神秘的作用 在弦论和其他一些物理理论中的作用。 这是 我对Jordan代数感兴趣的主要原因,但我已经说过很多了 关于这一点; 现在我想专注于其他事情。
即:乔丹找到所有身份了吗?
更准确地说:如果我们设置X o Y=(XY+YX)/2,所有恒等式 在每一个结合代数中都可以通过这种运算得到满足 从上述3中可以看出,这个操作在每个插槽中都是线性的?
这一直是一个悬而未决的问题,直到1966年查尔斯·格伦尼发现 答案是 不 .
这有点像塔斯基的“高中代数问题”,其中 塔克西问所有涉及加法、乘法的恒等式 以及保持自然数为正数的指数运算 学习我们在高中时学到的东西。 这也是答案 是 不 -请参阅“ 第172周 "
了解详细信息。 当我听说这件事时,我真的很震惊! 格伦尼的 结果不那么令人震惊,因为Jordan代数更少 很熟悉…乔丹的身份已经很奇怪了,所以也许我们 应该期待其他奇怪的身份。
借助于 “Jordan三重产品”
{X,Y,Z}=(X o Y)o Z+(Y o Z)o X-(Z o X)o Y
它在这里:
2{{Y,{X,Z,X},Y},Z,XoY}-{Y,}X,{Z,XoY,Z},X}Y} -2{XoY,Z,{X,{Y,Z
呸! 这让你想知道格伦尼是怎么找到这个的,为什么。
我不知道全部情况,我知道,但格伦尼是 著名代数学家、Jordan代数专家Nathan Jacobson。 我是 当然,这很好地解释了这一点。他在这里发表了他的研究结果:
13) C.M.Glennie,某些身份在特殊约旦有效 代数,但不是所有的Jordan代数,Pacific J.Math。 16 (1966), 47-59.
这个身份是唯一的额外身份吗?
嗯,恐怕论文的标题泄露了这一点:除了 上述8级身份,格伦尼也发现了另一个。 事实上 结果是这样的 无限地 许多无法派生的恒等式 使用Jordan代数运算。
据我所知,整个故事是在20世纪80年代才被发现的。 让我引用默里·布雷纳的话。 如果 你知道我们追求的身份被称为“s-身份”, 因为它们包含“特殊的”Jordan代数:那些来自 结合代数。 下面是:
埃菲姆·泽尔马诺夫(Efim Zelmanov)在 1994年,数学家因其在伯恩赛德问题上的工作而在苏黎世 在群论中。 在此之前,他已经解决了一些最重要的 Jordan代数理论中的开放问题。 特别是他 证明了Glennie的身份在 以下意义:如果G是Glennie生成的T理想 集X上自由Jordan代数FJ(X)中的恒等式(其中X具有 至少3个元素),则所有S-恒等式的理想S(X)为 准不可逆模G(其齐次分量为零 模G)[……]大致来说,这意味着 s恒等式可以通过代入Glennie得到 恒等式,生成理想,提取第n个根,并求和。
这有点技术性,但基本上意味着您需要扩展您的 在格伦尼的身份给其他人留下深刻印象之前,我们有很多技巧。 有关详细信息,请参见定理6.7:
14) Kevin McCrimmon,二次Jordan的Zelmanov素定理 代数,Jour。 藻类。 76 (1982), 297-326.
我从Bremner的一次演讲中得到了上述引语:
15) Murray Bremner,使用线性代数发现定义 Lie和Jordan代数的恒等式,可在 http://math.usask.ca/ ~bremner/research/collquia/calgarynew.pdf
现在,Jordan三重产品
{X,Y,Z}=(X o Y)o Z+(Y o Z)o X-(Z o X)o Y
乍一看,可能和格伦尼的身份一样奇怪, 但它不是! 要理解这一点,思考“歌剧”是有帮助的。
15) Murray Bremner,使用线性代数发现定义 Lie和Jordan代数的恒等式,可在 http://math.usask.ca/ ~bremner/research/collquia/calgarynew.pdf
这里的想法是要认识到经典力学并不是真的:世界是量子力学。 所以,即使我们认为我们的可观察性代数是交换的,它也可能不是。 这可能只是一个近似值。 换向器不是真的 为零。 相反,它只是很小。
我们如何将其正式化? 事实上 通常与一个叫做普朗克常数的微小常数成正比, 。发生这种情况时,我们可以写 哪里 是我们结合代数的其他元素。
不幸的是,到目前为止,我无法从我的贫乏假设中得出这个结论,因为我不被允许除以 。那么让我假设乘以 是一对一的 .
那么让我们考虑一下代数 ,我们通过取 和强加关系 这相当于忽略了量子效应,所以 称为原始代数的“经典极限” .
我们想考虑 作为幂级数的环 接地环上方 .
基本上,在这个游戏中,形式幂级数是一种推迟证明相关级数收敛的艰苦工作的技巧。
在我看来,这件事没有“如果”; 它是 总是 在现实中是正确的。
现在问题来了。 如果 是可逆的,那么你所说的一切 是真的,但还有更多: 微不足道!
从理论上讲,假装我们有自由调整 ,并接受限制 得到经典力学。 但这只是一个骗局。 事实上,我们能做的是使其他量——具有作用单位的量——非常大。
我知道使用“现实”这个词是冒昧的,但我确实这样做了。关键是:我没有认真对待它——事实上,这次我只是模仿托比使用它。我怀疑托比也很认真地对待它。
是的,我知道这就是 真正地 继续,但怎么没人这么说?
我理解用动作单位表示物理量 任意大,至少以一种模糊的手掌方式。 我理解 建模数学 通过 并获得 背面,或 甚至可以修改任何结合代数 通过一个中心元素 和 得到一个具有良好性质(但不太好)的商代数,如果 乘以 是内射的(但不是满射的)。
我不明白的是一个与另一个有什么关系。 或者 相反,我 做 也明白这一点,但只能用同样模糊的挥手 方式…
这需要一些工作,所以也许我们可以通过以下方式节省时间 假装 我们做到了。但我认为,这是一种需要做的工作,才能克服“省力”的感觉。
所以你可以成为我的向导,教我一些我很久以前就应该明白的东西。 (我们可以在这里完成,也可以启动一个新线程。)
过一会儿,我会尝试写一个更具实质性的回答,但首先要问一个问题:当我们选取相干态时,是否有任何规范的方法可以从手头的数据中选择它们(或最终等同于选择它们的东西)?
这个内积也给出了一个经典哈密顿量,即二次型 来自这个内部产品。 它也给出了一个量子哈密顿量。
但我不想谈论 不管有没有内积,这都是作弊! 我想从一个合适的量子系统开始 得到 经典的相空间。
我也可以考虑 -三元自由生成的代数 , 、和 ,与关系 , 、和 .如果我修改这个代数 然后得到一个交换泊松代数。 但我如何从 ?
但我不想谈论 不管有没有内积,这都是作弊! 我想从一个合适的量子系统开始,并从中导出经典的相空间。
好吧,祝你好运。 我并不特别喜欢物理学家玩这种游戏,因为这常常等于假装他们不知道自己要“导出”什么结构,然后用一系列技巧“导出”它。
就我个人而言,我会满足于做我说过我们可以做的事情:至少在某些州 随着这些国家地位和势头的扩大,可以重新划分较小的国家。
也许你可以用你的Weyl代数 ,其中 是一个固定的数字并加上一个额外的参数 哪些重新销售 和 : 然后定义一个新的普朗克常数 然后得到
我仍然认为,有一种通用的方法可以将量子理论转换为经典理论,就像任何类别都可以被去范畴化为一组同构类一样。 但我一直都不太明白,所以我希望你能解释一下。
我可能给人的印象是,只有当相干态可以系统地从Weyl推导出来时,我才愿意研究相干态 代数和可能的哈密顿量。那太好了,但我不坚持。
我看到了一个关于PBW的好参考的问题,它给出了两个之间的余代数同构 和 我的“圣经”是米尔诺·穆尔, 关于Hopf代数的结构 ,定理5.16。
现在有一个问题要问你:在操作过的Assoc中,空间 具有对称组的操作 ; 它实际上是正则表示。 同样, 是一个 -模块。 我知道分解的很好描述 在不规则表示中,它是琐碎表示的补充 Lie子模,例如Young tableaux(具有“主索引”的那些) ). 您是否知道 ,或 ,对于的其他值 ?
呃,我该如何发布链接?
所以,我猜答案是:来自 -方框Young图表 行,每行的多重性等于其维数。