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概述。

束gerbe是纤维束过渡函数的分类。由于这个原因，它有时也被称为一个转换包。

尽管它的名字是bundle gerbe，但它不是gerbe。gerbe相当于对纤维束的束段进行分类。

可以对纤维束进行表征（直至同构）以几种不同的方式，例如

• 纤维断裂，
• 一捆型材，
• 过渡函数，
• 一个Atiyah群胚扩张。

如果是负责人$U（1）$-束或复杂的线束，它也可以被描述为

• 第二积分上同调中的一个元素。

每个描述都有一个分类。他们分别以名字命名

• 2束，
• gerbe，
• 一束gerbe，
• Atiyah 2-广群扩张，
• 第三积分上同调中的一个元素。

这些已经达到的程度学习和理解不同。就人们对它们的理解而言，基本上可以找到预期的等价物。

特别地，丛gerbes等价于gerbes的某个子（-2-）类，并通过第三积分上同调进行分类。

从历史上看，这种上同调分类一直是长臂猿和捆绑长臂猿人发展的主要动机之一。因此，束gerbes有时被称为“第三积分上同调的几何实现”，在同一意义上，复线束是“第二积分上同态的几何实现“。

当然，这种通过积分上同调进行的分类只适用于更准确地称为复线束gerbes或$U（1）$-由穆雷引进的主要丛生种。束格宾的其他概念可以定义，特别是非贝拉主束格宾已经由Aschieri-Cantini–Jurčo进行了研究。

结果表明，线束gerbes也可以被视为群胚的中心扩张。这不能与上面提到的（2-）群群扩展混淆。

定义。

空间上的束gerbe$X（X）$是

• 正则满射$$\阵列{Y（Y）\\\圆周率\向下箭头\\X（X）}$$
• 纤维束$$\阵列{B类\\p\向下箭头\；\；\\Y^{[2]}$$在纤维产品上$Y^{[2]$属于$Y（Y）$自身，即。$$\阵列{L（左）\\p\向下箭头\；\；\\Y^{[2]}&\stackrel{\rightarrow}{\rightarrow}&Y\\&&\pi\向下箭头\；\；\\&& X（X）}\,,$$以及产品的概念$\奥蒂姆$纤维的$B类$;
• 在$Y^{[3]}（Y）$同构$$\mu:\pi_{12}^*B\；\音符\；\pi_{23}^*B\；\stackrel{\sim}{\to}\；\pi_{13}^*B\,,$$满足上的关联关系$Y^{[4]}$.在这里$\pi{12}，\pi{23}，\ pi{13}$这三张地图明显吗$$Y^{[3]}\stackrel{\stackrel{\rightarrow}{\right arrow{}{\右箭头}Y^{[2]\,.$$

对于线组gerbes，$X（X）$被认为是一个平滑的空间，$\π：从Y到X$沉没，$B类$平滑的线束和$\亩$光滑的同构。该案件由Murray于年提出dg-ga/9407015.

对于（非贝拉语系）$G公司$-主丛gerbes，一个选择$B类$成为一名$G公司$-主双包，这是一个$G公司$-双方负责人左边和右边$G公司$相互交换的行动。换句话说，纤维$B类$是$G公司$-咬人者。这允许将产品定义为$$p_{12}^*B\；\音符\；p_{23}^*B\；：=\；p_{12}^*B\；\times_G\；p_{23}^*B\,.$$本案由Aschieri、Cantini和Jurčo于年提出hep-th/0312154.

对于复杂线束gerbes上述定义可以理解为从过渡的定义中获得用复数幺半群替换线丛的函数通过一维复向量空间的一元范畴；并用相干（此处：关联）替换数字之间的方程向量空间的同构。

这种替代称为分类。

类似地，对于主束gerbes上述定义可以理解为从过渡的定义中获得校长的职能$G公司$-通过替换组绑定$G公司$由2组$$G\mathrm{BiTor}$$属于$G公司$-比特器，并将群元素之间的方程替换为相干（此处：关联）比特器的同构。

根据分类过渡函数进行解释。

为了更明确地看到这一点，请考虑以下特殊情况：$Y=\mathbf{U}$是一个很好的覆盖$X（X）$通过开可压缩集$\｛U_i｝$ $$Y:=\sqcup_i U_i\,,$$具有$$\阵列{Y（Y）\\\向下箭头\\X（X）}$$是嵌入点的明显地图$U_i\子集X$进入之内$X（X）$.然后$Y^{[2]$是这些开集的双交的不相交并$$Y^{[2]}=\sqcup_{i，j}U_i\cap U_j\,.$$

局部平凡化关于$Y（Y）$复杂的线束打开$X（X）$只是一个复杂的函数$$g:Y^{[2]}\到\mathbb{C}\,.$$令人满意的$$g{ij}g{jk}=g{ik}$$在每个三重交叉路口$U_i\cap U_j\cap（_k）$,哪里$g{ij}$表示限制$克$至至$U_i\cap U_j\子集Y^{[2]}$.

这相当于说$$p{12}^*g\，p{23}^*g=p{13}^*g\,.$$用复一维向量空间的相干同构替换这个复数方程（函数的值在中），得到了一个线丛gerbe的定义。

用广群扩张进行解释。

到任何态射$$Y到X$$在一个有拉回的类别中，我们可以将群胚联系起来$$Y^\项目符号：=Y^{[2]}\stackrel{\to}{\to{Y$$其对象是$Y（Y）$，其形态的对象是$Y^{[2]$和谁的合成律由中唯一的垂直变形给出$$\阵列{&&&Y^{[3]}\\&&\swarrow&&\searrow\\&Y^｛[2]｝&&&&Y^｛[2]｝\\&\斯沃罗&&&&\西罗\\Y&&&\向下箭头&&Y\\&\nwarrow&&&&\nearrow\\&&&Y^{[2]}\,.$$

例如，对于$\圆周率：Y到X$沉没，物体$Y^\项目符号$是点吗属于$Y（Y）$，并且有一个唯一的态射$y_1至y_2$无论何时$\π（y1）=\pi（y2）$.

上述捆绑gerbe的定义可以理解为丰富在丰富范畴的意义上，这个广群。对于线组gerbes，富集结束了$1D\mathrm{Vect}$，对于主束gerbes，富集结束$G\mathrm{BiTor}$.

对于线束gerbes，这通常表示为线束gerbe是一$U（1）$-中央延伸$Y^\项目符号$.