关于Smarandache-Multiplicative函数

萨宾·塔比卡

英国巴克大学计算机系

本注释的主要目的是引入S-乘法的概念函数并给出有关它的一些简单属性S-乘法是Smarandache-multiplicative的缩写，反映了Smarandache函数的主方程。

定义1：函数（f）:N个^* -> N个^*在以下情况下称为S-乘法：

(1). （a，b）=1=>（f）（a*b）=最大值{（f）（a） （f）（b）}

以下函数显然是S-乘法的：
1.常量函数（f） :N个^* -> N个^*,（f）（n） =1。
2.Erdös函数（f） :N个^* -> N个^*,（f）（n） =最大值{第页 | 第页是质数并且n个 ^:第页}.[1]
3.Smarandache函数S公司:N个^* -> N个,S公司（n） =最大值{第页|第页! ^: n个}.[3]

当然，乘法函数[2]的许多性质都可以翻译对于S-乘法函数。此函数的主要重要属性如下所示。

定义2：如果（f） :N个^* -> N个是一个函数，那么

_
（f） : N个* -> N个	由定义

_

（f）（n） =最小值{（f）（d） |个:d}。

	_
定理1：如果（f）是S-乘法函数，则	（f）是S-乘法。

证明：此证明使用以下简单备注：

(2). （d|（a*b）/（a，b）=1）=>((E类d日₁|a）(E类d日₂|b）（d）₁，天₂)=1/\d=d₁*d日₂)

如果d₁和d₂满足（2），然后（f）（d）₁*d日₂)=最大值{（f）（d）₁) ,（f）（d）₂) }.设a，b是两个自然数，即（a，b）=1。因此，我们有

	_
(3)	（f）（a*b）	=	最小值（f）（d）	=	最小值（f）（d）1,d日2)	=	最小值	最小值	最大值	{（f）（d）1) ,（f）（d）2)}.
			日期|a*b		d日1|a、 d日2|一个		d日1|一个	d日2|一个

应用max和min函数的分布性质，等式（3）转换如下：

_						_	_
（f）（a*b）=	最大值{	最小值（f）（d）1) ,	最小值（f）（d）2)	}  =	最大值{	（f）（a） ，	（f）（b） }。因此，
		d日1|一个	d日2|一个
	_
函数	（f）是S-	乘法。

我们相信S-乘法的许多其他性质都可以推导出来功能。因此，我们将注意进一步调查这些功能。

工具书类

[1] Erdös，P.：（1974）组合数的问题和结果Bordaux理论。
[2] Hardy，G.H.和Wright，E.M.：（1979）《数论导论》，牛津克拉伦登出版社。
[3] F.Smarandache：（1980）《数论中的函数》，Analele大学。蒂米索拉，十八。