一些SMARANDACHE型乘法函数

亨利·博托姆利

5 Leydon Close，伦敦SE16 5PF，英国

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本说明考虑了11个相互关联的特定家族乘法函数，其中许多都列在Smarandache的问题中。

在函数f（n）具有属性的意义上，这些是乘法的对于任意两个互质正整数a和b，即具有最高公共数因子（也称为最大公约数）为1，则f（a*b）=f（a）*f（b）。它紧随其后的是f（1）=1，除非f（n）的所有其他值都为0。安例如d（n），n的除数。这个乘法性质允许通过以下方式在正整数上唯一定义此类函数描述素数的正整数幂的值。d（p^我)=i+1如果i>0；所以d（60）=d（2²*3¹*5¹)=(2+1)*(1+1)*(1+1) = 12.

与d（n）不同，下面描述的序列是所有序列的受限子集乘法函数。在这里考虑的所有情况下，f（p^我)=p^克（i）对于不依赖于p的函数g。

	定义	乘法使用p^i->p^。。。
A类米（n）	x的解决方案数米==0（修改）	i-天花板[i/m]
B米（n）	最大m第个功率划分n	m*楼层[i/m]
C类米（n）	米第个最大mth幂除以n的根	地板[i/m]
天米（n）	米第个n的无功部分	i-m*层[i/m]
E类米（n）	最小数x（x>0），使得n*x是一个完美的m第个功率（Smarandache m第个功率互补）	m*天花板[i/m]-i
F类米（n）	最小m第个可除以n的幂除以最大m第个除以n的幂	m*（天花板[i/m]-地板[i/m]）
G公司米（n）	米第个最小m的根第个权力可被n除以最大m第个除以n的幂	天花板[i/m]-地板[i/m]
H（H）米（n）	最小m第个可被n整除的幂（Smarandache^m函数（数字）	m*天花板[i/m]
J米（n）	米第个可被n整除的最小mth次方根（m的Smarandache Ceil函数第个订单）	天花板[i/m]
K（K）米（n）	最大m第个无功数除以n（Smarandache米第个功率剩余）	最小值（i，m-1）
我米（n）	n除以最大m第个无电量划分n	最大值（0，i-m+1）

功能之间的关系

其中一些定义可能看起来类似；例如D_米（n）和K_米（n） ，但对于m>2，所有函数都是不同的（对于给定m的n的一些值）。以下关系紧随其后定义如下：

这些也可以结合起来形成新的关系；例如，从（1），（4） （7）我们有

进一步的关系也可以很容易地导出。例如，看A_米（n） ，数字x具有x属性^米==0（mod n）当且仅当x^米可被n整除，或者换句话说，是H的倍数_米（n） ，即x是J的倍数_米（n） ●●●●。但是J_米（n） 分为n，所以我们有结果是：

我们可以继续构建各种各样的进一步关系，例如使用（5）、（7）和（10）生成：

但我们会注意到C_米（n） 和J_米（n） 是足以从A生成所有函数_米（n） 至J_米（n） 以下为：

显然，我们可以通过选择每个元素来做类似的事情来自两个集合{A、E、H、J}、{B、C、D}和{F、G}。C和J的选择部分是基于以下吸引人的特性，进一步深化了这些函数的乘法性质。

当m=2时重复函数。。。

当m=2，D时₂（n） 无平方和F₂（n） 是D的倍数的最小平方₂（n） ，所以

使用（3）和（4），我们得到：

从（13）和（14）我们得到

所以从（10）中我们得到

…当m=1时

如果m=1，所有描述的函数都会产生1或n（20） 仍然适用于

但奇怪的是，（22）的类似物并非如此，因为：

剩下的两个功能

所有这些都需要考虑两个稍有不同的函数：K_米（n）和L_米（n） ●●●●。它们与其他序列几乎没有联系除了自从G_米（n） 无平方，除D_米（n） ，E类_米（n） ，F_米（n） 、和G_米（n） ，其中没有一个任何大于m的因子，我们都可以得到：

（8）和（10）也是如此

我们还具有相关的收敛性，对于任何y，都有一个z（例如地板[原木₂（n） ]）其中

这里有一个简单的关系

尤其是

所以（8）我们也有

记录功能

对于从n＝1到大约70或更多的n，所有这些函数的值是在中列出尼尔斯隆的整数序列在线百科全书对于m=2、3和4：

进一步阅读

K.Atanassov，《关于第22、23和24次斯马兰达什问题》，《数论和离散数学笔记》，索菲亚，保加利亚，第5卷（1999），第2期，80-82。

K.Atanassov，关于Smarandache的几个问题，美国研究出版社，1999, 16-21.

I.Balacenoiu等人，编辑。，Smarandache观念杂志

M.Popescu，M.Nicolescu，关于Smarandache互补立方体功能，《Smarandache概念杂志》，第7卷，第1-2-3期，1996年，第54-62页。

F.俄罗斯Smarandache平方补码简介功能，美国研究出版社

N.J.A.Sloane，整数序列在线百科全书，2001年http://www.research.att.com/~njas/序列/

F.Smarandache，只有问题，没有解决方案！，西泉出版社。，菲尼克斯，芝加哥，1993年。

F.Smarandache，“论文集”，第二卷，Tempus Publ。Hse、，布加勒斯特，1996年。

H.伊布斯特特在数字海洋上冲浪，美国研究出版社，27-30

E.W.Weisstein，《数学世界》，2000年 http://mathworld.wolfram.com/ 立方（Cubic）零件,无方形零件,立方体零件,Smarandache Ceil函数

这里的乘法用法与S Tabirca中的乘法含义不同，关于Smarandache-多重函数，美国研究出版社。