词汇表

三角中心百科全书

埃里克·韦斯坦的著作中介绍了三角形几何中使用的许多术语数学世界，包括由贡献的主题达里杰·格林伯格,Lamoen楼层、和彼得·摩西.

MathWorld上定义的许多术语源于本词汇表，使用三线坐标。由于需要使用重心坐标进行定义，因此P.L.Douillet强烈建议金伯利词汇表的重心翻译.

2012年，链接到桌子添加到ETC中。这些表包括许多在C.Kimberling中引入的各种共轭物的示例（例如，aleph、beth、gimel、he、waw、zayin、互补和反互补），直射、共轭和立方,几何论坛2 (2002) 21-32. 这些定义如下。

2016年，César Lozada提供了ETC中引用的三角形指数。你可以访问它在这里,也来自 桌子.

在本词汇表中，点和线是在齐次坐标中给出的。假设坐标除非另有说明（如重心或极坐标），否则为三线性，并且使用它们到这里定义点、线、圆、三角形中心等。同样，零行列式定义共线性和并发性等。因此，这里提出的三角形几何比单个欧几里德几何更一般三角形。在这种处理中，符号a、b、c被视为代数不定项或变量，因此，点作为a、b、c的函数，与二维平面中的点有很大不同。当（a，b，c）是由边长的“三角形不等式”限制的实数时（即a≤b+c，b≤c+a，c≤a+b），结果是传统的三角形几何。为了更具普遍性，在本术语表中，代数定义采用优先于传统几何构造定义。（有关这方面的更多信息，请参阅线、点和符号替换的定义。）

“循环定义的”一词在“A对象”定义后适用：如果A对象是F（A，B，C），则B对象是通过循环置换ABC→BCA获得的F（B，C，A），而C对象同样是F（C，A，B）。示例：如果A'是直线AP和BC相交的点，并且B'和C'是循环定义的，则B'是直线BP和CA相交的点；C'是直线CP和AB相交的点。

阿勒夫共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w为点，两者都不位于ABC的边线上。U的P-aleph共轭是点

h（p，q，r，u，v，w）：h（q，r，

哪里

h（p，q，r，u，v，w）=-q²第页²单位²+对²第页²v（v）²+第页²问²w个²+（vw+wu+uv）（-q²第页²+对²第页²+第页²问²)。

设g是由

g（x:y:z）=-x/p+y/q+z/r:x/p-y/q+z/r:x/p+y/q-z/r。

U的P-aleph共轭是“你对g（X）做什么来生成g（X^-1)当f（X）=U。”（风信子#4111，2001年10月11日）

anticevian三角

让P成为一个点，而不是ABC的副业。设A'=APBC。设A为调和共轭P相对于A和A'。循环定义B“和C”。三角形A“B”C“是anticevian三角形ABC的三角形。（AP、BP、CP线为塞维昂人P和A'B'C'的，这个天狼星三角第页，共页）

如果P=P:q:r，则A“=-P:q:r，B”=P:-q:r、C“=P:q：-r。

anticevian三角形示例

• 超中心；P=内点=X（1）=1:1
• 抗补体；P=质心=X（2）=1/a:1/b:1/c
• 切向；P=对称点=X（6）=a:b:c

反补体

如果点P和Q与质心G共线，则P是Q的反补码，如果G三等分线段PQ，并且更接近Q而不是P。另见补充.（根据法院第297页，术语反补体点始于1886年。）

反补三角形

设L（A）是穿过顶点A并平行于边BC的直线，并循环定义L（B）和L（C）。设A'=L（B）≠L（C），并循环定义B'和C'。那么A'B'C'就是ABC的反补全三角形。（替换此名称的尝试遇到了这样一个事实，即A'是A的反补足。）

反补体共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-反补共轭是点

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）：h（b，c，

哪里

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）=[b²/q（au+cw）+c²/r（au+bv）-a²/p（bv+cw）]/a。

设f（X）是X的反补足，由

f（x:y:z）=（-ax+by+cz）/a:（ax-by+cx）/b:（ax+by-cz）/c，

设k为P-等共轭。U的P-反补共轭是“当f（X）=U时，你对f（X

如果P=中心，则P-反补体共轭物被缩短为“反补体偶联物”

反视觉图像

设P=P:q:r（重心坐标）是一个不在ABC边线上的点，而不是X（4）。P的反色像是由重心量给出的点h（P）

h（a，b，c，p，q，r）：h（b，c，

哪里

h（a，b，c，p，q，r）=p/[（b²+c（c）²-一个²)第页²-一个²qr+（b²-一个²)pq+（c²-一个²)公关]。

点h（P）是P的等角共轭反圆的等角共扼物。如果P位于外接圆上，则h（P）=X（4）；否则，h（h（P））=P，因此在这种情况下，h（P。

点的抗原对在Jan Van Yzeren的《点对：抗原、等角和反向》中进行了讨论数学杂志65 (1992) 339-347.

随后的发展发生在风信子，从#7825开始。

重心图像

请参见同源图像)

贝斯共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-beth共轭是点

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）：h（b，c，

哪里

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）=2abcp（cos b+cos c）（ua'/p+vb'/q+wc'/r）-（a+b+c）a'b'c'u，

其中a'、b'、c'分别为-a+b+c、a-b+c和a+b-c。设f由下式给出的映射

f（x:y:z）=p（y+z）：q（z+x）：r（x+y），

设k为映射“在圆心的反射”。U的P-beth共轭是“你对f（X）所做的
f（k（X）），当f（X）=U。”（风信子#41462001年10月26日）

双中心点

设f（a，b，c）：f（b，c，a）：f。然后

f（a，c，b）：f（b，a，c）：f（c，b，a）和f（a，b，c）：f（b，c，a）：f（c，a，b）

是双中心点，共同组成双中心对例如：Brocard点，c/b:a/c:b/a和b/c:c/a:a/b。

中心

请参见三角形中心.

中心三角形

设f（a，b，c）和g（a，b，c）都是中心函数（如三角形中心的定义）或零函数，这样其中一个条件成立：

（1） g的均匀度等于f的均匀度；
（2） f是零函数，g不是零函数；
（3） g是零函数，f不是零函数。

A'=f（A，b，c）：g（b，c，A）：g
B'=g（a，B，c）：f（B，c，a）：g（c，a，B）
C'=g（a，b，C）：g（b，C，a）：f（C，a，b）。

那么A'B'C'就是（f，g）-类型1的中心三角形.A型1型中心三角形是方程（1）-（3）适用于中心函数f和g的任意三角形A'B'C'。

接下来，假设f和g与类型1相同，但g（a，b，c）≠g（a、c、b）除外。让

A'=f（A，b，c）：g（b，c，A）：g
B'=g（a，c，B）：f（B，c，a）：g（c，a，B）
C’=g（a，b，C）：g（b，a，C）:f（C，a，b）。

那么A'B'C'就是（f，g）-类型2的中心三角形.A型2型中心三角形是任意三角形A'B'C'，用于选择所述的中心函数f和函数g。注意，定义中的坐标可以理解为重心，而无需更改称为中心、类型1的中心和类型2的中心的三角形类。

中心三角形的紧凑表示法的形式是T（f（A，b，c），g（b，c，A）），其中，如果g（b、c、A）=g（b），三角形为1型，否则为2型；参见ETC中X（3758）的前言。

例如：ABC、内侧三角形、正中三角形、外中心三角形、反补足三角形和正切三角形是类型1的中心三角形；事实上，如果X是一个中心，那么X的天狼星和反天狼星三角形是类型1的中心。如果X的踏板三角形不是切维安三角形，则该三角形为2型。

Ceva共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-Ceva共轭是点

u（-qru+rpv+pqw）：v（qru-rpv+pqw）：w（qru+rpm-pqw），

它是P的天狼星三角和U的前天狼星三角形的透视图。（请参见切维安巢和交叉共轭.)

Ceva共轭和cevapoint是相关的，因此：X=P©U当且仅当P=cevapooint（U，X），在这种情况下，U=P©）X。

设f（x:y:z）=p（y+z）：q（z+x）：r（x+y）。U的P-Ceva共轭是“你对f（X）所做的使f（X^-1)当f（X）=U。”（海辛托斯#3966，2001年9月26日）

如果您有几何画板，可以查看CEVA共轭.

塞瓦点

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，它们都不在ABC的边线上。P和U的切点是点

（pv+qu）（pw+ru）：（qw+rv）（qu+pv）：。

设A“B”C“是U的反长轴三角形。设A'=PA”≠BC，循环定义B'和C'。P和U的顶点是三角形ABC和A'B'C'的透视图X。此外，P是U的X-Ceva共轭，U是P的X-Ceva共轭。（请参见天蝎座和Ceva共轭.)作为cevapoint（P，U）和crosspoint（P，U）的比较，注意它们的三线性可以写成

1/（qw+rv）：1/（ru+pw）:1/（pv+qu）和1/qw+1/rv:1/ru+1/pw:1/pv+1/qu。

如果您有几何画板，可以查看CEVAPOINT公司.

Floor Van Lamoen对cevapoint（P，U）的以下两个构造做出了贡献。让A_第页B_第页C类_第页是P的cevian三角形，让A_单位B_单位C类_单位是U的cevian三角形。定义

那么三角形ABC是两个三角形A的透视图_{聚氨基甲酸酯}B_{聚氨基甲酸酯}C类_{聚氨基甲酸酯}和A_向上的B_向上的C类_向上的这两种情况下的透视图都是P和U的切点。（2003年10月17日收到）

Randy Hutson指出，cevapoint（P，U）由以下结构给出：
*P和U处的切线与P和U的双圆锥曲线的交点；
*P和U的交点与P的anticevian三角形和U的Anticovian三角形都有关；
*PU线的极点与P和U的双星圆锥曲线相连。（2019年7月14日收到）

塞维安语

让P成为一个点，而不是ABC的副业。AP、BP、CP行是塞维昂人第页，共页。

天蝎座

设D，E，F是三角形，其中F内接于E，E内接于D。如果三个三角形中的任意两个是透视的，则有序三元组（D，E和F）是一个cevian巢穴。（众所周知，如果三个三角形中的任何两个是透视的，那么每个三角形都是对第三个三角形的透视；特别是，E是D的天狼星三角形，F是E的天狼星三角形。）

其中一个三角形是ABC的Cevian巢穴产生了三个共轭家族：Ceva共轭物， 交叉共轭，和等共轭物。另请参阅交叉点.

如果您有几何画板，可以查看CEVIAN巢穴.

天狼星三角

让P成为一个点，而不是ABC的副业。让A'=APåBC相遇。循环定义B'和C'。三角形A'B'C'是三角形ABC的天狼星三角形。

如果P=P:q:r，则A'=0:q:r、B'=P:0:r、C'=P:q:0。

cevian三角形示例：

中心三角形；P=内点=X（1）=1:1
内侧三角形；P=质心=X（2）=1/a:1/b:1/c
正三角形；P=正心=X（4）=秒A:秒B:秒C
intouch三角形；P=Gergone点=X（7）=秒²（A/2）：秒²（B/2）：秒²（C/2）
外三角形；P=Nagel点=X（8）=csc²（A/2）：csc²（B/2）：csc²（C/2）

周长共轭

设P=P:q:r是与X（3）不同的点。P的外接共轭是点

f（p、q、r、a、b、c、SA、SB、SC）：f，

哪里

f（p，q，r，a，b，c，SA，SB，SC）=（-a*（-b*c*SC*SB*p^2+2*r*q*SA^3）-SA*a*b*c*（b^2*q^2+c^2*r^2）+b*（（SA+SB）*S^2-2*SA*SB^2）*r*p+c*（（SC+SA）*S~2-2*SA*SC^2）*p*q）*a。

设ABC为三角形，P为点。BC、CA、AB的垂直平分线在（A）处与外接圆相交₁，A₂)，（B）₁，B₂)，（C₁，C₂)分别是。然后是PA的外圈₁A类₂，PB₁B₂，个人电脑₁C类₂是同轴的。这些圆交点的另一个点是P的外接共轭点，作为A₁，A₂，B₁，B₂，C₁，C₂是环绕三角形的顶点。（见前文前言X（18859）)

可可维三角

设P是一个不在ABC边线上的点，a'B'C'是P的反双曲三角形。设a“是a'相对于B和C的调和共轭，并周期性地定义B“和C”。（如果P=P:q:r，则a“=0:y:-z。）。P的余弦三角形是三角形A“B”C。顶点共线，三角形退化。有关讨论，请参阅TCCT，第200页。

联合体

设P和U是具有归一化重心坐标（P，q，r）和（U，v，w）的有限点。假设f＝f（a，b，c）和g＝g（a，b，c）是具有相同齐性程度的非零齐次函数。设x=fp+gu，y=fq+gv，z=fr+gw。P和U的（f，g）组合，用f*P+g*U表示，是点x=x:y:z；X的归一化重心坐标为（kx，ky，kz），其中k=1/（X+y+z）。

组合的定义很容易扩展到有限点的有限集。特别地，P＝（P，q，r），U＝（U，v，w），J＝（J，k，m）的（f，g，h）组合由fp+gu+hj:fq+gv+hk:fr+gw+hm给出，并由f*P+g*U+h*J表示。假设T是一个（中心）三角形，其顶点a′，B′，C′由归一化重心给出。然后用行和等于1的3x3矩阵表示T。设NT表示这些矩阵的集合，设*表示矩阵乘法。然后在*下关闭NT。此外，NT在矩阵求逆下是封闭的，因此（NT，*）是一个群。归一化后，任何中心T都可以用来生成三角形中心，作为Xcom（nT）形式的组合；参见ETC中X（3663）、X（3739）和X（3758）的前言。

补充

如果点P和U与质心G共线，则P是U的补码，如果G三分线段PU，则P比U更接近P。参见反补体（根据法院，第297页，术语互补点始于1885年。）

互补共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-互补共轭是点

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）：h（b，c，

哪里

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）=[b²/q（au-bv+cw）+c²/r（au+bv-cw）]/a。

设f（X）是X的补码，由

f（x:y:z）=（bv+cw）/a:（cw+au）/b:（au+bv）/c，

设k为P-等共轭。U的P-互补共轭是“当f（X）=U时，你对f（X

如果P=中心，则P-互补共轭缩短为“互补共轭”

交叉共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，它们都不在ABC的边线上。U的P-交叉共轭是点

u/（pvw+qwu+ruv）：v/（pvw-qwu+ruv）：w/（pvw+qwu-ruv）。

设A'B'C'为U的cevian三角形。设A“为直线PA'与直线B'C`相交的地方，并周期性地定义B“和C”，因此A“B”C“是P的cevia三角形（在三角形A'B'C'中，而不是ABC）。三角形ABC和A“B“C”的透视是U的P交叉共轭（参见天蝎座鸟巢。)

作为变换，P-交叉共轭是对合；即，如果PxU=U的P-交叉共轭，则Px（PxU）=U。交叉共轭的性质源自Ceva共轭的性质；对于，关于为U的P-Ceva共轭写PcU，

PxU=（U/P）*（UcP）和PcU=（U/P）x（UxP）

其中/和*表示三线性除法和乘法。

因此，交叉共轭和交叉点是相关的：X=PxU当且仅当P=交叉点（X，U）。

如果您有几何画板，可以查看交叉共轭.

交叉差

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，它们都不在ABC的边线上。P和U的交叉差是由三线定义的点X

qw-rv:ru-pw:pv-qu，

可构造为PU线三线极的等角共轭。因此，U是P和X的交叉差分，P是U和X的交互差分。为了确定P和X之间的交互差是方程U的解

x:y:z=qw-rv:ru-pw:pv-qu，

首先注意，这个方程意味着px+qy+rz=0。因此，如果u:v:w=qz-ry:rx-pz:py-qx，那么
qw-rv=q（py-qx）-r（rx-pz）=-（p²+q个²+对²)x、 因此
qw-rv:ru-pw:pv-qu=x:y:z。

点X是不同点P和U的交叉差，当且仅当直线PU是X的等角共轭的三线极性时。示例：

X（1）=X（44）和X（513）的交叉差
X（2）=X（187）和X（512）的交叉差
X（3）=X（230）和X（231）的交叉差。

设W是这两个三角形的边三角形：P的等角共轭的cevian三角形和U的等角啮合的cevia三角形。然后W是ABC的透视图，透视图是P和U的交叉差；另请参见交叉点（Randy Hutson，2016年4月9日）

交叉点

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，它们都不在ABC的边线上。P和U的交点是

pu（rv+qw）：qv（pw+ru）：rw（qu+pv）。

这一点在TCCT公司符号C（P，Q）。这里，“Q”被“U”取代，C（P，U）缩写为X。TCCT中给出的X的构造如下。设A'B'C'是P的cevian三角形，A“B”C是U的cevia三角形。那么X是三角形A'B'C'和A''B''C''的透视图。此外，U是P的X-交叉共轭，P是U的X-十字共轭（参见天蝎座和交叉共轭.)Jean-Pierre Ehrmann（2003年5月29日）注意到X的以下特性：

X=A'B'C'和顶点为AUåB'C'，BUåC'A'，CUåA'B'的三角形的透视图；

X=A“B”C“的透视图和顶点为APB“C”、BPC“A”、CPA“B“的三角形；

X=这三条线的重合点：
点AP-BU和AU-BP的线
点BP-CU和BU-CP的线
CP/AU和CU/AP点的连线

TCCT中的图7.3（“Q”替换为“U”）可用于可视化X中的九条线。

在P和U处与圆锥曲线{A、B、C、P、U}相切的直线在X处相交。（Randy Hutson，2012年9月10日）

设W是这两个三角形的边三角形：P的天狼星三角形和U的天狼星三角形。设W'是P的反日三角形和U的反日三角的顶点三角形，则W是W的透视图，透视图是P和U的交点；另请参见交叉差（Randy Hutson，2016年4月9日）

如果您有几何画板，可以查看交叉点.

交叉总和

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，它们都不在ABC的边线上。P和U的交叉和是由三线性定义的点X

qw+rv:ru+pw:pv+qu，

可构造为P和U的等角共轭的交点。因此，U是P的等角共扼物的X交叉共轭的等角共轭，而P是U的等边共轭物的X十字共轭的等角共扼。（关于新词“交叉和”2003年5月28日，英语中哪些单词的拼写包含三个连续的相同字母？）

立方体的

三次曲线是A、b、c中的三次曲线。有关草图目录，请访问伯纳德·吉伯特的网站.

环cevian共轭

设P=P:q:r是一个不在ABC边线上的点，a'B'C'是P的切维三角形。a'B'C'的外接圆在两个点上与直线BC相交：a'和a“；循环地获得对B'，B”和C'，C“。直线AA“，BB”，CC“与P的切圆共轭一致

g（a，b，c）=a/[p（qb+rc）]和f（a，b，c）=bc/[g（b，c，a）+g（c，a，b）-g（a、b、c）]。

P的环cevian共轭式如下所示

f（a，b，c）：f（b，c，a）：f。

Darij Grinberg在Hyacinthos#6423（2003年1月24日）中提出了九个定理，其中最后一个定理如下：

点的循环共轭是
同位素共轭
反补体
等角共轭
补语的
同位素共轭物的
这一点。

如果您有几何画板，可以查看旋毛虫结合体.

daleth共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w为点，两者都不位于ABC的边线上。U的P-daleth共轭是点

h（p，q，r，u，v，w）：h（q，r，

哪里

h（p，q，r，u，v，w）=p（y/q-z/r）²+x（2x/p-y/q-z/r）。

对偶三角形

设DEF是三角形ABC平面上的一个三角形。设D'是直线EF与无穷远处直线交点的等角共轭。循环定义E'和F'。三角形D'E'F'是二重的D'E'F'的顶点位于外接圆上，D'E'F'类似于DEF。对偶性分别位于边线EF、FD、DE和点D'、E'、F'之间。例如，如果E和F保持不变，D变化，则D'保持不变，而E'F'变化。（从序言到ETC中的X（2979）。）

本征中心

设T为中心三角形，U（T）为T的一元余因子三角形，则T和U（T。

假设T的A-、B-、C-顶点是P_我=x_我：y_我：z_我，对于i=1,2,3。让

s=y₃（x）₁x个₂+z（z）₁z（z）₂)-年₁（x）₂x个₃+z（z）₂z（z）₃)

t=z₁（x）₂x个₃+年₂年₃)-z（-z）₂（x）₁x个₃+年₁年₃)

u=z₃（x）₁x个₂+年₁年₂)-z（-z）₁（x）₂x个₃+年₂年₃)

v=y₁（x）₂x个₃+z（z）₂z（z）₃)-年₂（x）₁x个₃+z（z）₁z（z）₃)

设x=st-uv，循环定义y和z。那么T的本征中心就是点x：y：z。

功能性图像

看见同源图像

gimel共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-gimel共轭是点

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）：h（b，c，a，q，r，p，v，w，u）：h（c，a，b，r，p，q，w，u，v），

哪里

h（a，b，c，p，q，r，u，v，w）=abc[-（cos a）/p+（cos b）/q+（cos c）/r]S-8uσ²,

其中S=（bq+cr）u+（cr+ap）v+（ap+bq）w，σ=ABC面积。

氦共轭物

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-he共轭是点

h（p，q，r，u，v，w）：h（q，r，

哪里

h（p，q，r，u，v，w）=-p（y+z）²+q（z+x）²+r（x+y）²
+（qr/p）（x+y）（x+z）-（rp/q）（y+z）（y+x）-（pq/r）（z+x）（z+y）。

赫斯特逆

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，它们都不在ABC的边线上。U的P-Hirst逆是点

qru（质量单位）²-vwp²：rpv²-武库²：pqw²-紫外线辐射².

从几何角度来看，这是PU线与U相对于圆锥曲线的极性的交点。

pyz+qzx+rxy=0。

作为一种变换，P-Hirst逆是一种对合；即，如果PhU=U的P-Hirst逆，则Ph（PhU）=U。关于“Hirst反”的指定，请参见信息由Gunter Weiss提供。

同源图像：相似图像、三线性图像、重心图像和函数图像

术语同源的方法与…有相同的关系或相对位置.让T₁和T₂是两个三角形，P是三角形T平面上的一个点₁.三角形T平面上的点P'₂是一个吨₁-到T₂P的同源图像如果P'与T具有相同的关系或相对位置₂因为P必须T₁然而，如本文所述，“关系或相对位置”一词具有不同的含义。

如果T₁和T₂是相似的三角形，那么P'是吨₁-到T₂P的相似图像.

假设P有三线性x:y:z wrt T₁.然后吨₁-到T₂P的三线性图像是点P'，具有三线性x:y:z wrt T₂这是一种非仿射直射，保留共线，但不保留共线点之间距离的比率。平行线在这种映射下不保持平行，因此直线上无穷远的点映射为有限点。T的外接曲线₁映射到T的外圆锥曲线₂和T的不可调和性₁映射到T的inconics₂.

假设P具有重心x:y:z wrt T₁.然后吨₁-到T₂P的重心图像是点P'，重心x:y:z wrt T₂这是一种仿射直射，保留了共线以及共线点之间的距离比。平行线在该映射下保持平行，因此无穷远处的线映射到自身。二次曲线映射到相同类型的二次曲线（椭圆，包括圆，映射到椭圆，抛物线映射到抛物线，双曲线映射到双曲线）。T的外接曲线₁映射到T的外圆锥曲线₂和T的不可调和性₁映射到T的inconics₂.

设T的边长₁表示为₁，b个₁，c₁和T的边长₂表示为a₂，b个₂，c₂假设P有坐标f（a₁，b个₁，c₁)：g（b）₁，c₁，a₁)：h（c）₁，a₁，b个₁)关于T₁式中，f、g、h要么具有相同的同质性，要么一个是零函数，另两个具有相同的均匀性。（如果P是T的中心₁，则f=g=h。）然后吨₁-到T₂-P的功能图像是点P'，坐标为f（a₂，b个₂，c₂)：g（b）₂，c₂，a₂)：h（c₂，a₂，b个₂)关于T₂。这里的坐标可以是三线性或重心，只要T使用相同的系统₁和T₂.P'用于相同的“功能”wrt T₂（例如，质心、外心、第一布罗卡点、正三角形的A-顶点等），P表示wrt T₁例如，由于X（5）和X（40）是正三角形和异三角形的各自圆心，因此X（5。这是一种非仿射直射，保留共线，但不保留共线点之间的距离比（除非这些距离比定义了点，例如中点、反射等）。平行线在该映射下保持平行，因此无穷远处的线映射到自身。圆映射为圆。其他二次曲线映射到二次曲线，但不一定是同一类型的二次曲线（例如，T的MacBeath外圆锥₁可能是椭圆，但映射到T的MacBeath外圆锥₂，可能是双曲线。）T的外接曲线₁映射到T的外圆锥曲线₂和T的不可调和性₁映射到T的inconics₂.

等共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w为点，两者都不在ABC的边线上。U的P等共轭是点

qrvw:rpwu:pquv。

示例：等角共轭U的是U的X（1）-异共轭物等角共轭U的X（31）-等共轭U。

根据前缀“iso”的含义，

U的P-等共轭=P的U-等共轭。

设A'B'C'为U的反日三角形，A“B”C为P的反日三角关于A'B'C'.A“B”C和A“B”C的透视者是U^-2-P的等共轭，其中U^-2=u^-2：v^-2：w^-2（请参见天蝎座.)

“异共轭体”一词最早出现在三角形几何中，可能早在1998年就被纳入了本词汇表。在C.Kimberling的《三角形平面上的共轭》中也讨论了等共轭Aequationes数学63（2002）158-167，提交日期：1999年4月27日，以及“与天狼星巢穴相关的圆锥体”几何论坛1 (2001) 141-150.

此后，“等共轭物”一词有时用于倒共轭，本词汇表中定义的术语，参考可能的最早用法。

等角共轭

设P=P:q:r是一个点，而不是ABC的边线。设L（A）是通过在角A的内平分线上反射线AP获得的线。循环定义L（B）和L（B。直线L（A）、L（B）和L（C）与P的等角共轭一致，P具有三线性1/P:1/q:1/r，用P表示^-1。请参阅等共轭.

如果您有几何画板，可以查看等gonal共轭和直线的等角共轭.

等腰器

等腰线是垂直于角平分线的线。如果P是一个点，那么P的a-等腰线是L（P，a）到P的直线，该直线垂直于平分顶点角a的直线；B-和C-等腰线是循环定义的。设D和E是L（P，A）与边线AB和AC相交的点。除非D=E=A，三角形ADE是等腰的。

在ETC中，有几个用等腰线定义的三角形中心。这些是彼得·伊夫发现或发明的，在他的笔记本中等腰器可以追溯到1963年。

等角共轭

设P=P:q:r是一个点，而不是ABC的边线。设A'、B'、C'为直线AP、BP、CP分别与直线BC、CA、AB相交的点。围绕BC、CA、AB边的中点分别反射A'、B'、C'，以获得点A“、B”、C“。然后线AA“、BB”、CC“与P的同位素共轭相一致，具有三线性1/（pa²)：1/（qb²)：1/（钢筋混凝土²). 请参见等共轭.

线

直线是满足等式的点x:y:z的集合

f（a，b，c）x+g（a，c，b）y+h（a，b，c）z=0

对于某个点f（a，b，c）：g（a，bc）：h（a，b-c）。如果此点是三角形中心，则相应的线是中心线。

三条线dx+ey+fz＝0，rx+sy+tz＝0，ux+vy+wz＝0是并发的，当且仅以下行列式方程成立：

另请参见指向.第5章，共TCCT公司讨论中心线。

线共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w是不同的点，既不等于A、B或C。U的P线共轭是点

p（v）²+w个²)-u（qv+rw）：q（w²+u个²)-v（rw+pu）：r（u²+v（v）²)-w（pu+qv），

或者，同等地，

hp-ku：hq-kv：hr-kw，

其中h=u²+v（v）²+w个²k=pu+qv+rw。

这是PU线与U的等角共轭的三线极的交点。

线极三角形

让P_我=x_我：y_我：z_我，对于i=1,2,3，为非共线点。直线P的方程₂P（P）₃就是那个时候

一₁x+b₁年+月₁z=0，

其中₁=y₂z（z）₃-z（z）₂年₃、和b₁和c₁循环定义。这条线的三线杆就是点

1个/年₁：1/b₁：1/c₁.

该点是线极三角形的A顶点。B和C顶点是循环定义的。

主要中心

主中心是一个三角形中心X，其中存在一个函数f（A），即X=f（A，：f（B）：f（C）。示例：X（1）、X（2）、X。主要中心解决函数方程中的某些问题；点击这里(AeqMath公司)或这里(AMM公司)了解更多信息。

正交连接

设X=X:y:z为点

一₁=（b）²+c（c）²-一个²)/（2bc）=cos A，
b条₁=（c）²+一个²-b条²)/（2ca）=cos B，
c（c）₁=（a）²+b条²-c（c）²)/（2ab）=cos C，

单位₁=b₁c（c）₁x个³-b条₁年³-c（c）₁z（z）³,
单位₂=-（1+2c₁²)b条₁x个²y-（1+2b）₁²)c（c）₁x个²z中，
单位₃=（2a₁b条₁-c（c）₁)年²z+（2a₁c（c）₁-b条₁)yz公司²,
单位₄=3b亿₁c（c）₁xy公司²+3亿₁c（c）₁x赫兹²,
单位₅=（1+b₁²+c（c）₁²-一个₁²-4a类₁b条₁c（c）₁)xyz公司，

f（a，b，c）=（-x+yc₁+zb公司₁)（u）₁+u个₂+u个₃+u个₄+u个₅)。

X的正交连接是点f（a，b，c）：f（b，c，a）：f。

f（a，b，c）的上述公式可以用a、b、c显式写出，并简化为以下形式
g（a，b，c）：g（b，c，a）：g

g（a，b，c）=bc[2abcx+c₃年+月₃z-（a）₂+bc）（cy+bz）]F，

其中F=x[a₄-（b）₂-c（c）₂)₂]+2a[由（b）₂-一个₂-c₂)+cz（c₂-b条₂-一个₂)]

如上所述（6/16/03）定义的X的正交连接可以在几何上描述为X的等角共轭的三线极的正交极（当a、b、c是三角形的边长时）。直线L的正交极构造如下。设A'是L上顶点A的垂足，并循环定义B'和C'。然后，从A'到BC、从B'到CA以及从C'到AB的垂线与L的正射极一致。有关证明和进一步信息的链接，请参见正交极——达里杰·格林伯格的新证明.

正射点

无穷远处直线上的每个点X是成对平行线族F（X）中每条直线的公共点。也就是说，X可以被视为F（X）中直线的共同方向。设L是F（X）中的任意直线，L'是垂直于L的任意直线。设G是平行于L'的直线族。X的正交点是L'在无穷远处与直线相交的点H（X）。如果X=X:y:z，则

H（X）=cy cos B-bz cos C：az cos C-cx cos A：bx cos A-ay cos B。

对于无穷远处直线上的任何X，X和H（X）的等角共轭体都是圆周反足的；即，每一个都是另一个的X（3）反射。

观点

如果以下六条三元组线中的一条在一个点上一致，则三角形DEF和UVW是透视三角形：

{DU、EV、FW}、{DV、EW、FU}、}DW、EU、FV}；{DU、EW、FV}、{DV、EU、FW}、}DW、EV、FU}

并发点称为透视者（更换透视中心). 例如，如果直线DU、EV、FW在一个点上一致，那么根据Desargues定理，这些点

EF与VW相交，FD与WU相交，DE与UV相交

共线，它们的线是过光谱（更换透视轴.)

如果DEF是参考三角形，ABC和UVW是中心三角形，有时人们会默认，这两个三角形的透视仅指六种可能性中的一种，即直线DU、EV和FW的重合。在这种情况下，如果UVW是点P的cevian三角形A'B'C'，那么P是ABC和A'B'C'的透视图，而透视图是P的三线极坐标。

指向

在传统的欧几里德几何中，指向不受定义的约束，就像公理不受证明的约束一样。然而，当（a，b，c）是可变的或不确定的时，对于所有（a，b，c），一个点非正式地定义为f（a，bc）：g（a，b-c）：h（a，b/c），其中至少有一个值f（a、b、c）、g（a、bc）、h（a、b-c）不为零。正式定义见TCCT。另请参见三角形中心.

三个点x:y:z、r:s:t、u:v:w共线，前提是且只有以下行列式方程成立：

因此，如果x:y:z是一个可变点，则此方程给出了由点r:s:t和u:v:w确定的直线。

点极三角形

让P_我=x_我：y_我：z_我，对于i=1,2,3，是非共线点，没有位于ABC的边线上。P的三线性极₁是线路吗

x/x₁+年/年₁+z/z（z/z）₁= 0,

和P的三线性极点₂和P₃是循环定义的。最后两条线相交

1年₂z（z）₃-1/z（1/z）₂年₃：1/z₂x个₃-1/x（1/x）₂z（z）₃：1/x₂年₃-1年₂x个₃.

该点是点极三角形的A顶点。B和C顶点是循环定义的。

极地的

设W是一个圆锥曲线，P是一个点，W的XX'和YY'弦在P中相交。随着X和Y的变化，点X'YXY'的轨迹是一条线，称为P相对于W的极坐标。如果W是外圆锥曲线，它有一个方程uyz+vzx+wxy=0，点Q=P:Q:r的极坐标是直线

（vr+wq）x+（wp+ur）y+（uq+vp）z=0。

多项式中心

如果存在多项式f（A，b，c），则三角形中心X是多项式中心

X=f（a，b，c）：f（b，c，a）：f。

示例：X（1），X（2），X（12），但不是X（13）。

根轨迹

两个非同心圆的根轨迹是圆的根轴与圆的中心线的交点。（示例请参见X（I），其中I=6、187、1570、2021-2025、2030-2032。）

倒共轭

设P和U都不是ABC边线上的点，在重心坐标下由P=P:q:r和U=U:v:w给出。U的P倒数共轭是点

pvw：qwu：俄罗斯。（重心）

正如“互惠”的含义所暗示的那样，

U的P-倒数共轭=G/（P的U-倒数共轭），

与重心划分对应的恒等式G一致。

术语倒共轭Keith Dean和Floor van Lamoen在《互惠共轭的几何构造》中介绍几何论坛1 (2001) 115-120.

另请参见等共轭。

相似性图像

看见同源图像

符号替换

设p（a，b，c），q。由于平面由点组成[形式为X=X（a，b，c）：y（a，b，c）:z（a，c）的函数]，替换表示为

a→p（a，b，c），b→q（a，c，b），c→r（a，b，c）

将所有点的集合（即平面）映射到自身中。如名称所示，这种替换没有明确的几何意义，象征的替代。另一方面，符号替换具有几何意义，因为它们将线映射为线，将二次曲线映射为二次曲线，将三次曲线映射到三次曲线，并且它们保持了关联性。

示例：符号替换（a，b，c）→（1/a，1/b，1/c）将每个三角形中心映射到一个三角形中心，每对双中心点映射到一对双中心，每一个外圆锥映射到外圆锥等。然而，例如，当（a，b，c）=（2，4，5）时，a，b和c是欧氏三角形的边长，但1/a，1/2，1/c不是。

符号替换在C.Kimberling中介绍，“三角形变形平面中的符号替换”Aequationes数学73 (2007) 156-171.

正方像

设P=P:q:r（重心坐标）不是ABC边线上的点，不是X（3），也不是ABC外接圆上的点。P的对称像是由重心量给出的点k（P）

k（a，b，c，p，q，r）：k（b，c，

哪里

k（a，b，c，p，q，r）=（q+r-p）/[2a²qr-（q+r-p）（b²r+c²q） ]。

点k（P）是P的反补体的反色图像。为了进一步发展，请在Hyacinthos中搜索“symgonal”，但是，在Hyachinthos#9881之后，这里使用了拼写“syngianc”。

超越中心

如果不存在代数函数f（A，b，c），则三角形中心X是超越中心，使得X=f（A、b、c）：f（b、c、A）:f（c、A、b）。示例：X（359）和X（360）。

三角形中心

三角形中心是形式为f（A，b，c）：f（b，c，A）:f（c，A，b）的点，其中f是满足两个条件的非零函数：

（1） f在a、b、c中是均匀的；即，存在一个非负实数h，这样

f（ta，tb，tc）=t^小时f（a，b，c）对于f的域中的所有（a，b，c）；

（2） f在b和c中是对称的；即f（a，c，b）=f（a、b、c）。

三角形中心的形式定义如下TCCT。另请参见多项式中心,超越中心,中心三角形,双中心点.

三线性图像

看见同源图像

三线极性

点p:q:r的三线极坐标是直线

qrx+rpy+pqz=0。

三线杆

直线ux+vy+wz=0的三线极点是wv:uw:uv点。

几何上，PU线的三线极点是ABC的透视图，也是P和U的anticevian三角形的顶点三角形（Randy Hutson，2016年4月9日）

一元余因子三角形

让P_我=x_我：y_我：z_我，对于i=1,2,3，为点。一元余因子三角形的A顶点是点

年₂z（z）₃-z（z）₂年₃：z₂x个₃-x个₂z（z）₃：x₂年₃-年₂x个₃.

B顶点和C顶点是循环定义的。顶点是点P的线-极三角形顶点的等角共轭_我.

如果T是三角形，U（T）是一元余因子三角形，则U（U（T；看见本征中心.

顶点共轭

X的U顶点共轭定义为不同点U=U:v:w和X=X:y:z:（三线性）作为点P，由

P=a/[a²vwyz-ux（bw+cv）（bz+cy）]：b/[b²wuzx-vy（cu+aw）（cx+az）]：c/[c²uvxy-wz（av+bu）（ay+bx）]。

假设T=DEF和T'=D'E'F'是三角形。T和T'的顶点三角形是边线为DD'、EE'、FF'的三角形V（T，T'）。因此，V（T，T'）概括了“透视”，因为V（T、T'）是一个单点当且仅当T是T'的透视图时。如果U和X是不同的点，那么（U和X的外周三角的顶点三角形）是对ABC的透视，透视图是X的U顶点共轭，它等于U的X顶点共轭，与顶点三角形关联的映射,几何论坛，2 (2002) 21-32.

waw共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-waw共轭是点

h（p，q，r，u，v，w）：h（q，r，

哪里

h（p，q，r，u，v，w）=p[x²问²第页²+2便士²（ry-qz）²-pqr（pqr）²xy-pq²rxz]

zayin共轭

设P=P:q:r和U=U:v:w都是点，都不在ABC的边线上。U的P-zayin共轭是点

h（p，q，r，u，v，w）：h（q，r，

哪里

h（p，q，r，u，v，w）=p（y+z）²-里²-qz（平方英尺）²+（p-r）xy+（p-q）xz。

注意X（1）-zayin共轭是简单的等角共轭。