假设我们有一个非零多项式的 f（x）系数为问（或更普遍地说，任何子字段属于C类). 然后我们通过基本定理代数的我们可以分解多项式f（x）作为一个线性因子的乘积（即求f（x）)英寸复数）。但如果我们有一个领域它不是的子字段C类，例如有限域?我们仍然希望能够找到一个更大的字段，其中包含多项式将分解。这就是分割字段的目的。
定义让M（M）是的字段扩展K（K）。
- 非零多项式的
f（x）在里面K【x】分裂M（M）如果存在a、 b条我在里面M（M）这样的话f（x）=a（x-bn个)...（x-b）0)。
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M（M）被称为分裂场对于f（x）如果f（x）拆分结束M（M）如果什么时候M（M）是字段扩展属于L（左）这样的话f（x）也会分裂L（左）然后M=L。
换句话说，拆分字段是一个可以找到所有多项式的根，它尽可能小。一个重要的事实是，如果存在分裂字段，那么它就存在在以下情况下是唯一的同构。这是一个唯一性证明拆分字段的。
我将勾画出分裂字段始终存在的证明。假设f（x）是不可约的。然后我们可以考虑这个商环 K【x】/f（x）K[x]。很容易证明这一点戒指也是一个字段一现场扩展属于K（K）此外，如果我们写一对于的图像x个那么在这个戒指里我们有f（a）=0。因此，我们可以对K（K）其中包含在至少为零f（x）。通过重复此过程，我们可以创建拆分字段。