以下是完整的数学证明霍尔婚姻定理这是一个重要的结果组合学.我们使用符号Γ（A）表示集A中顶点的邻域集。
设G为二部图用X和Y两分法。假设有一个匹配从X到Y。考虑任何子集X的A。匹配的每条边将A的每个元素带到Y中的不同元素。因此，A的邻域集至少是A的大小，所以|Γ（A）|>=|A|。因此，霍尔的条件在G中符合要求。
相反，假设X中所有子集A在G:|Γ（A）|>=|A|中满足Hall条件归纳在|X|上：对于|X|=1，结果是立即的。
假设对于X的所有非空真子集A，我们在Hall条件下具有严格不等式：|Γ（A）|>|A|。选择x中的任意x和y中的任意相邻y，然后霍尔条件在x-{x}和y-{y}中成立，因此通过归纳假设，我们可以将x-{x{匹配到y-{y{，从而将x匹配到y。
否则，我们可以在X中找到一个具有|Γ（B）|=|B|的非空真子集B。我们把二部图分成两部分：让G1与Γ（B）是B，设G2是X-B和Y-Γ（B）。我们希望表明，这两个图都满足霍尔条件。对于G1这很清楚，因为霍尔条件在G中成立，而B的所有边都在Γ（B）中。现在考虑G2; 取X-B中的子集a，然后
|ΓG公司2（A） |=|ΓG公司（A u B）|-|Γ（B）|>=|A u B|-|B|=|A|，
根据需要。因此，两个G都满足霍尔条件1和G2通过归纳假设，我们可以找到这两个图的匹配，它们一起给出了G的所需匹配。
对证据的评论
这只是这个定理的几个证明之一。另一种方法是去除边，直到得到满足霍尔条件的最小图。然后我们假设剩下的不匹配，并证明结果通过矛盾该证明也适用于X和Y为可计数的 无限的.
如果霍尔条件满足，那么还可以告诉我们存在匹配，上述证明为我们提供了一个查找匹配的算法。情况并非总是如此组合学证明：例如，中的许多证明拉姆齐理论只保证存在，对满足所讨论性质的实际集合不做任何说明。
谢谢转到假种皮他建议我把以前写的证明移到一个单独的节点。