上面的文章很好地处理了功能从R（右）到R（右）是可微的（而且只需要处理来自R（右）到R（右）n个).但是怎么样功能第个，共个变量是吗？显然，现有的定义是不够的，因为一个人不能被向量分割。本文将处理更一般的情况功能s来自赋范空间 U型到另一个赋范空间 五（例如R（右）n个和R（右）米).
这决不是一个微不足道的问题，可微性属于功能从一个赋范空间到另一个是主题研究论文直到20世纪初。这里的方法是法语 数学家 弗雷切特.
The rise and fall of偏导数秒处理多个变量是问如果你修复了其中一个以外的所有问题，并更改了剩下的一个问题会发生什么。这给了你偏导数，更一般地说方向导数s、 我们将更详细地讨论在这里.
在实践中偏导数的工作很好，能够做诸如查找极值，但是偏导数我们没有告诉你很多关于它的实际情况方法函数是可微的。
还有相当“美好的“查找某些功能方向导数存在，但不是全部，或者在所有方向导数是存在的，但如果你沿着其他点接近一个点路径，例如a抛物线，则结果函数不是可微分的.
这个方向导数在给定的方向上基本上是变化率如果只在给定的方向.
更正式地说，
让u个是单位向量U型,一一个点U型
让g：R（右）→五定义为g（t）=f(一+t吨u个)
则f在方向上的方向导数u个在这一点上一为g'（0）；
稍加努力，你就会发现这与(∇f） ●●●●。u个
明确地说，如果f是来自R（右）2到R（右）和u个具有坐标（u1，u2)则u方向上的方向导数应为：
u个1¦Βf/¦Βx+u2？f/？y
然而，如果将f作为函数x2年/（x2+年2)，您将对（0,0）有一个可怕的惊喜。所有的偏导数和方向导数都存在，但如果你仔细观察，你会发现：？f/？x=0？f/？x=0但方向上的方向导数（1/√2,1/1√2）为（1/θ2）三.发生这种情况的原因是，这个函数在（0,0）处实际上是不可微的，但如果没有适当的可微性定义，你就无法知道。高阶偏导数通常通勤，也就是说，导数f/导数x导数y=导数f/模量y导数x，但有时它们不是，仅仅看它们并不会产生发生这种情况的必要条件(讲师s通常会说它对“美好的“函数）。我还感到恼火的是，没有任何对象可以指向并调用导数函数的。
新的希望
对于函数R（右）到R（右），可微也意味着存在一阶泰勒级数对于f，即。
f在x≠f（x+h）=f（x）+hf'（x）处可微+o（x）
弗雷切特的方法建立在用线性的术语。来自A的函数f赋范空间 U型到赋范空间 五如果存在线性地图α（x）：U型→五这样：
林||h||→0||f（x+h）-f（x）-α（x）（h）||/|h||=0
这个线性地图α（x），通常写为Df（x）或f'（x）是导数f在x。起初，这可能看起来是一个非常奇怪和复杂的想法，但它运作得很好。如果我们回到案件中U型=五=R（右），我们可以看到Df（x）（h）=hf'（x）；它只是线性地图斜率为f'（x）。
但这对我有什么帮助？
此时，你可能想知道为什么要费心使用一些东西摘要就像一个线性映射当你可以使用偏导数s；通过这种方法可以获得什么？。这个定义可微性是一个坚实的概念，它使你能够证明许多事情。解决以下问题之一偏导数我提到过我们有以下定理：
如果存在δ>0，则开球以x为中心，半径δ为连续的那么f在x处是可微的（反之则为假（谢谢jrn公司))
此定义还允许您为偏导数s至通勤.偏导数与Df（x）密切相关。如果Df（x）存在，则矩阵在规范的基是偏导数矩阵（但如果函数不可微，你仍然可以写下矩阵，它只是不满足Df（x）的定义。
这种可微性的定义还使您能够证明许多定理非常类似于对功能有效的R（右）→R（右），例如：
在此期间定义一开始可能会让人困惑，它确实是一个有用的工具，可以提供许多结果，甚至可能在一段时间后看起来很自然。