对于任何积极的 整数 n个, √(n个)是其中之一不合理的或完整的。这个证明相当简单，但它是初等的一个很好的例子矛盾证明.
证明：假设√(n个) =一/b条，其中一和b条是相对质数和b条≠ 1. （换言之，取√(n个)是一个非整数有理数。）从这里开始，正视双方以实现n个=一2/b条2然后将两边乘以b条2得到一2=编号2.由此我们可以得出结论，因为一2是的整数倍b条2,b条2|一2(b条2 划分 一2).
现在我们必须稍稍偏离方向，继续探索基础知识数论。碰巧，对于任何整数米和n个,米2|n个2意味着米|n个这一点的证明比现在能够得到的要复杂得多——也许那是另一天的节点。我们很快需要使用的另一个事实是，如果米|n个和米和n个是相对质数,米等于一。
无论如何，回到我们的证明。既然我们得出结论b条2|一2，我们也知道b条|一.因为我们也知道一和b条我们可以得出结论b条= 1. 然而，上述我们假设b条≠1以便一/b条非积分；因此，我们已经达到了矛盾并证明√(n个)不能等于任何理性的 非积分的数字。由于所有实数是不合理的,理性的，或完整的，这就剩下无理数和整数（是的，从技术上讲，这些整数是子集关于有理数，说一个数字是“有理数或整数”就像说一个形状是“矩形或正方形”；但为了证明这一点，我们必须进行区分。）
因此，任何正整数的平方根要么是整数，要么是无理数。量化宽松政策.