斯珀纳引理是一个引理它是由德国的数学家伊曼纽尔·斯佩纳。它最重要的应用是证明布鲁尔的不动点定理，它基本上说明了给定一个连续的 映射对于三角形自身，至少有一个点（即“固定点“）映射到自身。但只有一个证明斯伯纳引理本身就是其中一个漂亮的证据我见过，我会尝试去做公正在这里。
引理
设置引理描述的情况有点复杂，所以请耐心等待。
- 从一个三角形在中飞机。
- 用三种不同的颜色标记顶点；让我们使用洋红、青色和黄色在这里。
- 现在选择任何有限的，有限的三角形内部和边缘上的点数；有多少并不重要。
- 三角形化使用这些点的三角形内部；换句话说，绘制连接上一步中选择的点的线段，以便每个点都是顶点三角形。
- 现在用洋红色、青色或黄色三种颜色中的一种来标记每个点。一个警告：大三角形边上的任何点只能用该边端点标记的颜色进行标记。因此，如果一个点位于洋红色和黄色顶点之间的大三角形边缘，则只能用洋红色或黄色标记它。
- Sperner引理声称至少存在一个小三角形（即不是我们开始使用的大三角形），其顶点用三种不同的颜色标记。这将被称为“完整三角形”
思考这个问题。这是你认为存在的问题之一得到是真的，但如果你知道如何去真的证明毕竟，你会认为证据一定是一团糟。你错了。虽然它并不平凡，甚至完全简单，但它不需要高级数学知识，而且可以很容易地解释。它甚至不是矛盾证明，数量相同难以置信的聪明证明是。当我第一次在课堂上学习时，我咧嘴一笑；你可以看出，在大约五分之一的路程之后，它会变得非常聪明。
如果你需要想象一些东西，在阅读证明时画图可能会有所帮助，但我希望我能很好地解释这些东西，你不必这么做。。。
证据
请注意零是一个偶数如果我们能证明完整三角形的数目是奇数，这意味着必须至少有一个三角形，那么我们就有了引理的证明。
如果一个线段的端点用两种不同的颜色标记，则称其为“好”，否则称为“坏”，并观察到，由于其端点都用不同的颜色进行标记，因此一个好的三角形中有三个好的线段。另一方面，如果一个不完整的三角形的顶点都用相同的颜色进行了标记，则它要么没有好的线段；或者两个好的线段，如果它有两个标记为相同颜色的顶点和一个标记为不同颜色的顶点。没有其他可能性。
请注意，一个完整的三角形包含奇数个好的线段，而一个不完整的三角形则包含偶数个好线段。如果有偶数个完整三角形，那么自偶数*奇数=偶数和偶数*偶数=偶数，将有偶数个好的分段。因此，如果我们可以将每个小三角形中的好线段数相加，得到一个奇数结果，这意味着必须是奇数个完整三角形。
所以我们想计算每个三角形中的好线段数。但是！由于三角形可以共享边，因此某些线段将被计数两次。哪个？大三角形内部的所有线段都由两个小三角形共享，因此只有不会被数到两次的是大三角形边界上的那些。也就是说，两个端点都在大三角形的一条边上的线段。
那么，每个三角形中良好线段的数量之和如下所示：
2*（良好内部段数量）+（良好边界段数量）
但是第一个学期，因为有了这两个，总是平的！所以为了证明整体是奇数，我们只需要证明第二项，即好边界段的数量是奇数。末日就要到了！
选择大三角形的顶点；我们将沿着一条边行进到另一个顶点。每次我们遇到一个点，它的颜色与我们刚才离开的点的颜色不同，我们都会找到一个很好的分段。但是！由于边末端的两个顶点颜色不同，我们必须这样做的次数是奇数。所以大三角形的每条边都有奇数个好的线段奇+奇+奇=奇，这意味着有奇数个好的边界边。沿着影响链我们一直在关注，这意味着每个小三角形中好的线段之和是奇数。这反过来意味着完整三角形的数量是奇数，因为完整三角形包含奇数个好的线段。如果完整三角形的数量为奇数，则表示至少有一个三角形。塔达！
这对你有好处吗？
如果我的说明中有任何不清楚的地方，请给我留言。