首先，应该指出每个领域具有特征 0有一个可数的 子集当限制为领域的操作，行为与（即同构的至）有理数第条。然而，集合理论家喜欢在条款设置s、 和有理数s也不例外。这个施工方法如下之后赴苏黎世与贝奈斯，中间步骤在他的实数的构造。
如果你不知道自然数或一个命令n个-元组就是，先去读一下这些东西。
这种结构要求我们有加法和乘法自然数集的运算符。你对加法的直觉概念乘法对我们的目的来说会做得很好。然而，如果你想知道自然数的算术使用迭代器，去访问那个节点你必须等待。
请注意，我们使用了运算符=，<，+，和*表示对不同集合的不同操作；你将必须根据哪一个进行分类上下文. (减法和分开不是自然数的封闭运算，因此运算只有在我们为分数三元组定义它们时才会出现）。
我们可以定义“分数三联体“作为命令三倍的
（x，y，w）对于自然数x个，年，和w个，其中w！=0.三胞胎（x，y、 w）可以表示有理数（x-y）/周。
我们现在已经定义了元素，但我们的构造可能会让一些读者感到不安：每个有理数由无限的分数三元组的数目！这太棒了对于实数的构造是可以接受的。然而，我们可以解决如前所述，只需添加一层抽象就可以满足每个人的胃口如下所示。
现在是时候做一个有序字段我们的分数三重元素。
我们通过定义一些布尔值 关系s和算术运算符分数三元组。我们使用直观的对应关系分数三元组和有理数作为定义所有这些的指南。
给定两个分数三元组（x，y，w）和（i，j、 k） ，
我们可以定义分数三元组的等式：
（x，y，w）= （i，j，k）<->k*x+w*j=k*y+w*i
”（x，y，w）= （i，j，k） 当且仅当如果 kx+wj=ky+wi”
这是一个等价关系.因此，我们可以重新标记每个等价类作为“有理数”。然而，我们可以还可以从每个类中选择一个分数三元组来表示每个有理数编号：
对于自然数x个和年，
x≤y当且仅当存在自然数z（z）这样的话x+z=y，
等等（x，y，w）=（0，z，w）。
此外，x>=y当且仅当存在自然数z（z）这样的话y+z=x，
等等（x，y，w）=（z，0，w）。
此外，对于某些分数三元组（0，z，w）或（z，0，w），假设有数字m、 n，d这样的那个d*m=w和d*n=z。你可以确保我们最终会找到一个米和n个具有没有公约数，其中（x，y，w）=（m，0，n）或(0,m、 n）。
所以，上面提到的每个等价类都只包含一个分数形式的三元组（0，m，n）或（m，0，n）对一些人来说 相对质数m、 n个. 我们可以用这样的每个分数三元组作为规范的其形式等价类，即它可以表示单个有理数都是靠自己。这也产生了我们的直观概念有理数的商整数第页，m/n号。
对于任何符号 n个 表示自然数，让我们定义一下n个问作为(n个，0, 1)。
此外，我们定义（x，y，w）+ （i，j，k）=（k*x+w*i，k*y+w*j，w*k）
对于所有人（x，y，w），
（x，y，w）+（0，0，1）=（x，y，w），等等+有0问= (0, 0, 1)作为它的身份元素。
（x，y，w）+（y，x，w）=（0，0，1），
等等+-1（x，y，w）=-（x，y，w）=（y，x，w）
因此（x，y，w）- （i，j，k）=（k*x+w*j，k*y+w*i，w*k）
对于乘法，我们定义
（x，y，w）* （i，j，k）=（x*i+y*j，x*j+y*i，w*k）
对于所有人（x，y，w），
（x，y，w）*（1，0，1）=（x，y，w），等等*有1问= (1, 0, 1)作为它的身份元素。
（0，m，n）*（0，n，m）=（mn，0，mn）=（1，0，1）
（m，0，n）*（n，0，m）=（mn，0，mn）=（1，0，1）
等等*-1（0，m，n）=（0，n，m）、和*-1（m，0，n）=（n，0，m）。
（x，y，w）/ （i，j，k）=（x，y，w）*(*-1（i），j、 k））
你看，我们已经定义了一个领域在分数三元组上。 现在，让我们证明它是一个有序字段。回想一下，自然数完全由子集上的关系依次的s.因此我们可以定义订单
（x，y，w）< （i，j，k）<->k*x+w*j<k*y+w*i
” （x，y，w）< （i，j，k）
当且仅当 kx+wj<ky+wi”
那是一个总订单。
我们可以看到
（x，y，w）> (0, 0, 1) 当且仅当
k*x公司+w*0>k*y+w*m也就是说，x>y。
所以，
（x，y，w）-（i，j，k）> (0, 0, 1)
当且仅当(k*x+w*j，k*y+w*i，w*k）>（0，0，1),
也就是说，当且仅当
k*x+w*j>k*y+w*i，
或（x，y，w）>（i，j，k）。
（引理：（a，b，c）<（a，b，d）<->d*a+c*a<d*b+c*b<->（a<b<->d<c））
最后，（x，y，w）*（i，j，k）> （0，0，1）
<->（xi+yj，xj+yi，周）>（0，0，1）
<->xi+yj>xj+yi
（i，j，y）
<->i<j<->x<y
（（x，y，w）>0（i，j，k）>0）