论文2023/1959

关于数字$2^n-1$的进位概念和Scholz猜想

摘要

将potthole方法应用于形式$2^n-1$的数字因子，我们证明了如果$2^n-1$的次数进位最多为$$\kappa（2^n-1）=\frac{1}{2（1+c）}\lfloor\frac}\logn}{\log2}\rfloor-1$$（对于$c>0$）是固定的，那么不等式$\iota（2^n-1）\leqn-1+（1+frac{1'{1+c}）\lfloor frac{\logn{log 2}\rfloor$$保留所有$n\in\mathbb{n}$与$n\geq 4$，其中$\iota（\cdot）$表示产生$\cdot$的最短加法链的长度。一般来说，我们证明了形式为$2^n-1$且进位为$$\kappa（2^n-1）：=（\frac｛1｝｛1+f（n）｝）\lfloor\frac｛\log n｝｛\log 2｝\lfloor-1$$且$f（n）=o（\log n）$且$f（n）\longrightarrow\infty$为$n\longrightarrow\infty$且$n\geq为4$的所有数，则不等式$$\iota（2^n-1）\leq n-1+（1+\frac｛2｝｛1+f（n）｝）\lfloor\frac｛\log n｝｛\log 2｝\rfloor$$保持不变。

注：本文技术性很强，它使用新引入的进位概念来获得产生$2^n-1$形式数的最短加法链长度的改进上界。