测量（数学）

在数学，一个测量是长度、面积和体积等概念的概括。非正式地，测量可被视为“质量分布”。

更准确地说，度量是一个将数字赋给特定值的函数子集给定的设置。这个数字据说是集合的度量。测度的基本属性是从上述概念中复制而来的，因此，例如，两个不相交集的并集的测度应该是两个集的测度之和，而空集的测度应为零。自然概念的数学发展基本上包括要求度量添加剂不仅对于两个集合或任何其他有限数量的集合，而且对于可数地许多成对不相交的。

度量的概念在以下方面很重要数学分析和概率论，是测度理论，它研究σ-代数、措施、，可测量函数和积分.

介绍

制定措施的主要动机是希望集成比在黎曼意义。为此，措施可以指定长度或地区在传统意义上没有明确定义区域的集合。另一方面，事实证明，在大多数情况下，并非所有子集都可以分配地区以一种保持测量过程预期特性的方式。

例如，这确实发生在实线情况下，人们期望任何“自然”度量都是平移不变的。对于这种度量，存在一个集合（称为维塔利集合)如果可以测量，它可以直接证明自我约束的结果，例如相等正数无穷和的有限上界。更引人注目的是，一个三维球体可以分解成有限数量的不相交块，然后可以重新组装成两个半径相同的分离球体。这就是著名的巴纳赫-塔斯基悖论。显然，如果可以分配体积从某种程度上说，我们会得出一个荒谬的结论，即一个球的体积与两个相同大小的相同球的体积相同。然而，由于球被分解成碎片的特殊方式，结果是不可能为碎片分配任何有意义的体积，这消除了明显的矛盾。为了处理这些问题，人们发展了σ-代数，可以将有意义的长度或地区因此，度量的定义总是伴随着其域的规范。

形式化定义

从形式上来说，这是一个衡量标准μ是一个功能集上σ-代数∑上的定义X（X）并取扩展区间[0，∞]中的值，以满足以下性质：

• 空集的度量为零：$｛\displaystyle\mu（\emptyset）=0｝$;

• 可数可加性或σ-可加性:如果${\显示样式E_{1}，E_{2}，T_{3}，\点\，\！}$是成对的序列不相交集在∑中，所有${\显示样式E_{i}\，\！}$的值等于每个度量值的总和${\显示样式E_{i}\，\！}$:

${\displaystyle\mu\left（\bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i}\right）=\sum_{i=1}^{\ infty{\mu（E_{i{）。}$

这个三倍的(X（X）,Σ,μ)然后称为测量空间，∑的成员称为可测集.

一些作者将第一个性质（“空集的测度为零”）替换为有限测度的∑中存在集合的等价要求。

基本属性

从上述抽象定义可以导出以下基本属性。

• 单调性

如果E类₁和E类₂是可测量的集合E类₁⊆E类₂然后μ(E类₁) ≤μ(E类₂).

• 可测集合的递增序列

如果E类₁,E类₂,E类_三, ... 是一个可数的∑中的集合序列，不一定是不相交的，那么

${\displaystyle\mu\left（\bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i}\right）\leq\sum_{i=1}^{\ infty{\mu（E_{i{）}$.

如果E类₁,E类₂,E类_三, ... 是可测量的集合E类_n个是的子集E类_n个+1为所有人n个，然后是联盟集合的E类_n个是可衡量的，并且

${\displaystyle\mu\left（\bigcup_{i=1}^{\infty}E_{i}\right）=\lim_{i\to\infty}\mu（E_{i{）}$.

• 可测集合的递减序列

如果E类₁,E类₂,E类_三, ... 是可测量的集合E类_n个+1是的子集E类_n个为所有人n个，然后是交叉集合的E类_n个是可测量的；此外，如果E类_n个具有有限测度，则

${\displaystyle\mu\left（\bigcap_{i=1}^{\infty}E_{i}\right）=\lim_{i\to\infty}\mu（E_{i{）}$.

此属性是错误的，没有假定E类_n个具有有限测度。例如，对于每个n个∈N个，让

${\显示样式E_{n}=[n，\infty）\subseteq\mathbb{R}}$

它们都有无限测度，但交集是空的。

• 可测集合的任意序列

如果E类_我中有任何序列吗Σ然后

${\显示样式\mu（\liminf E_{i}）\leq\liminf\mu$

哪里${\显示样式\liminf E_{i}}$，即下限序列的，定义为${\displaystyle\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{j=k}^{\ infty{E_{j}}$和${\显示样式\limsup E_{i}}$（上限)等于$｛\displaystyle\bigcap_｛k=1｝^｛\infty｝\bigcup _｛j=k｝^｛\infty｝E_｛j｝。｝$

施工

在我们的抽象方法中，可测集的隐含σ-代数被认为是理所当然的（或定义的先验的). 然而，在给定集合上构造一个新测度X（X），我们必须同时指定度量和&sigma-代数。由于没有“合理”的措施来定义家庭全部的给定集合的子集（例如实线），指定适当σ-代数的问题变得非常重要。通常通过所谓的外部测量.

外测度的概念类似于（标准）测度之一，但可数可加性被替换为“附属的可加性。更确切地说，一个函数${\显示样式\nu:2^{X}\mapsto[0，\infty]}$被称为外部度量，如果

• ${\displaystyle\nu（\emptyset）=0}$
• ${\显示样式A\subseteq B\表示（A）\leq\nu（B）}$
• 对于任何集合族${\显示样式E_{i}\subseteq X}$我们有

$｛\displaystyle\mu\left（bigcup _｛i=1｝^｛\fty｝E_｛i｝\right）\leq\sum _｛i=1｝^｛\fty｝\mu（E_｛i｝）。｝$

关键是为给定集合的所有子集定义了外部度量X（X）下一步是确定可测量集合的族。

我们说一套E类是可衡量的测试套${\显示样式A\subseteq X}$我们有

${\displaystyle\nu（A）=（A\cap E）+\nu（A\setminus E）}$

换句话说，如果一个集合对每个集合都进行了关于ν很容易证明这样的集合族构成了σ-代数。此外，限制于σ-代数的初始外部测度ν成为测度，即它成为两两不相交可测集序列的可加性（而不仅仅是次加性）。

这种结构的一个基本明确示例是豪斯道夫测量。此外勒贝格测度可以这样获得。

Sigma-finite度量

测量空间(X（X）,Σ,μ)称为有限ifμ(X（X）)是一个有限的实数（而不是∞）。它被称为σ-有限如果X（X）可以分解为有限测度的可测集的可数并。度量空间中的集合具有σ-有限测度如果它是集与有限测度的并集。

例如，标准的实线勒贝格测度是σ-有限但不有限。考虑一下闭合区间[k,k+1（千分之一）]为所有人整数 k; 有许多这样的区间，每个区间都有测度1，它们的并集是整个实数。或者，考虑相同的实数使用计数措施，它为每个有限的实数集指定集合中的点数。此度量空间不是σ-有限的，因为每个具有有限测度的集合只包含有限多个点，并且需要无数个这样的集合才能覆盖整个实线。这个σ-有限测度空间具有一些非常方便的性质；σ-在这方面，有限性可以与可分离性拓扑空间。

完整性

可测量的集合X（X）称为空集如果μ(X（X）) = 0. 空集合的子集称为可忽略集可忽略不计不一定是可测量的，但每个可测量的可忽略集都自动成为空集。一项措施μ被称为完成如果每个可忽略的集合都是可测量的。

可以通过考虑σ-子集代数Y（Y）与可测集相差可忽略的集X（X），也就是说对称差属于X（X）和Y（Y）包含在null集中。一个定义μ(Y（Y）)等于μ(X（X）).

通过外测度方法获得的测度总是完整的，因为很容易看出所有外测度可忽略集都是可测的。

示例

这里列出了一些重要措施。

• 这个计数措施由定义μ(S公司)=中的元素数S公司.
• 这个勒贝格测度在R（右）是σ-包含间隔在里面R（右）这样的话μ([0,1]) = 1.
• 圆形角度量在以下情况下是不变的旋转.
• 这个哈尔测量对于局部紧的 拓扑群是Lebesgue测度的推广，具有类似的唯一性。
• 这个豪斯道夫测量这是Lebesgue测度对某些分形集的一种改进。
• 在整个空间上取值1的度量值（因此在单位间隔[0,1]）称为概率测度（下面的度量空间称为概率空间)
• 狄拉克测量μ_一（授予狄拉克δ函数)由提供μ_一(S公司) = χ_S公司(一)，其中χ_S公司是特征函数属于S公司.如果集合包含点，则该集合的测度为1一否则为0。

其他措施包括：钻孔测量,约旦测量,遍历测量,欧拉测度,高斯测度,拜尔测量,氡测量.

反例

不是的所有子集欧几里德空间是勒贝格可测; 此类集合的示例包括维塔利集合，的豪斯多夫佯谬、和Banach–Tarski悖论不可测量性的概念在关于不可测集合.

概括

对于某些目的，有一个“度量”是有用的，它的值不限于非负实或无穷大。例如，具有（有符号）实数值的可数加法集函数称为有符号度量，而此类函数的值位于复数称为复数测度.采用价值观的措施Banach空间已被广泛研究。一种度量，它在一组自共轭投影中获取值希尔伯特空间称为投影值测度; 这些主要用于功能分析对于谱定理当有必要区分采用非负值和一般化的常用度量时，使用“正度量”一词。

另一个概括是有限可加测度这与度量相同，只是我们不需要可数可加性，而只需要有限可加性。从历史上看，这一定义是最先使用的，但被证明并没有那么有用。事实证明，一般来说，有限可加测度与以下概念有关巴纳赫极限，的对偶L（左）^∞和石料-致密化。所有这些都以某种方式与选择公理.

在积分几何称为哈德维格定理说明在上定义的平移不变、有限可加、非必要非负集函数的空间有限并集紧凑型的凸集在里面R（右）^n个由一个“度齐次”的“测度”组成（高达标量倍数）k“对于每个k=0,1,2，。。。，n个以及这些“度量”的线性组合。“程度的同质性k“表示按任何因素重新缩放任何集合c> 0个将集合的“度量”乘以c（c）^k.程度均匀的n个是普通的n个-三维体积。同质度的n-1个是“表面体积”。一次齐次的函数是一个神秘的函数，称为“平均宽度”，用词不当。0次齐次的是欧拉特性.

研究冯·诺依曼代数通常被称为非交换测度理论，因为交换von Neumann代数同构于L（左）^∞(X（X）)对于一些度量空间(X（X）,Σ,μ).

另请参见

• 外部度量
• 内部测量
• 豪斯道夫测量
• 产品测量
• 几乎到处都是
• 勒贝格积分
• 勒贝格测度
• 卡拉西奥道里扩张定理

工具书类

• R.M.Dudley，2002年。实分析与概率剑桥大学出版社。
• D.H.Fremlin，2000年。测量理论。Torres Fremlin。
• 保罗·哈尔莫斯, 1950.度量理论Van Nostrand公司。
• M.E.门罗，1953年。测量与集成简介艾迪森·卫斯理。
• Shilov，G.E.和Gurevich，B.L.，1978年。积分、测度和导数：统一方法理查德·西尔弗曼（Richard A.Silverman），翻译。多佛出版公司。国际标准图书编号0-486-63519-8。强调丹尼尔积分.