黄金比例

（PD）图表：Joel Holdsworth
演示构造黄金分割矩形的简单方法

展示了希腊阁楼双耳瓶的几何比例，包括黄金比例：.618

PD图像
老人市政厅在里面莱比锡.风塔位于右（a）段和左（b）段之间，以便${\displaystyle\scriptstyle{\frac{a}{b}}}$等于黄金比例。

这个黄金比率是一个数学比例，在艺术中很重要，对数学家来说很有趣。在建筑和绘画领域，自古代以来，一些作品的比例一直接近黄金比例。比率本身也被称为平均和极值比率，的黄金分割，的中庸之道、和神圣的比例现有最早的描述见于《欧几里得的元素》（第5卷，定义3）：一条直线被称为以极值与平均值之比切割，因为整条直线与较大的线段相连，所以较大的线段与较小的线段相连.

克卜勒对这个主题和他1596年的书有相当大的兴趣，宇宙的奥秘，写道：

几何学有两大宝藏；一个是毕达哥拉斯定理；另一种是将直线划分为极值比和平均比。第一种我们可以与黄金进行比较，第二种我们可以命名为珍贵的珠宝。

开普勒似乎特别将这一比例与植物的形态和所有有机生长联系在一起。最近几年杰·汉比奇写了几本完全致力于黄金比例的书，指出了它在有机形式以及希腊阁楼艺术和建筑中的许多实例。

据说黄金比例是指建筑结构的比例，从吉萨大金字塔，到帕台农神庙，至沙特尔大教堂20世纪，法国建筑师采用了黄金分割勒·柯布西耶他在几乎所有建筑作品的设计和绘画中都使用了这种比例，并且写了一系列关于这个主题的书，名为模度.

属性

详细说明：如果有较长的线段${\displaystyle\scriptstyle a\}$和较短的线段${\显示样式\脚本样式b\}$，如果${\显示样式\脚本样式a+b\}$和${\displaystyle\scriptstyle a\}$等于线段之间的比率${\displaystyle\scriptstyle a\}$和${\显示样式\脚本样式b\}$，这个比率是黄金比率${\displaystyle\scriptstyle\Phi={\frac{a}{b}}={\frac{a+b}{a}}}$.

重写此定义将给出

${\displaystyle\Phi={\frac{a}{b}}={\frac{a+b}{a}}=1+{\frac{b}{a}}=1+1+{\frac{1}{\Phi}}}$,

这将导致

${\显示样式\Phi^{2}-\功率因数-1=0}{2}-\功率因数-1=0}$,

一二次方程解决方案

${\displaystyle\Phi={\frac{1+{\sqrt{5}}}{2}}=1+{\frac{1}{\Phi}}=1{，}618\，033\，988\点}$.

和

${\显示样式{\bar{\Phi}}={\frac{1-{\sqrt{5}}{2}}=1-\Phi=-{\frac{1}{\Phi}}=-0{，}618\，033\，988\点}$

使用${\显示样式\Phi=1+{\frac{1}{\Phi}}}$我们可以导出无穷大连分数黄金比例：${\displaystyle\Phi=1+{\frac{1}{\Phi}}=1+{\frac{1}}{1+{\frac{1{\Phi}}}=1+{\frac{1}{1+}\frac}1}{1+{\frac{1{{\Phi}}}}=\dots}$

因此

${\displaystyle\Phi\=\1+{\frac{1}{1+{\frac{1}}{1++$

• $显示样式Phi$,

哪里$｛\displaystyle\F_｛n｝｝$是的第n项斐波那契数列.