一般来说,分形的,来自拉丁语分形,[1]意思是“破碎”,指的是一种高度不规则或“无限复杂”的形状,在所有放大倍率下都显得详细且在某种意义上自相似。数学家避免给出严格的定义,[2]并使用术语分形的引用几何的具有(大多数)以下功能的对象
- 每个尺度的精细结构
- 传统欧几里德几何的语言难以描述
- 自相似性(至少近似)
- 这个Hausdorff维数大于拓扑维数
- 一个相对简单的递归定义
- 自然的外观(解释为“不光滑”、“参差不齐”、“有刺”等)
并非所有的自相似对象都是分形-例如实线(一条直的欧几里德线)形式上是自相似的,但没有其他分形特征。
洛伦茨蝴蝶显示了复合物中两个吸引子随时间变化的效果。混沌系统。
介绍
历史
现在被描述为分形的物体是几个世纪前发现和描述的。民族数学就像罗恩·埃格拉什一样非洲分形(国际标准图书编号0-8135-2613-2)描述了非洲土著工艺品中普遍存在的分形几何。1525年,德国艺术家阿尔布雷希特·杜勒出版画家手册其中一节是关于“五角大楼形成的瓷砖图案”杜勒五角大楼与Sierpinski地毯,但基于五边形而不是正方形。
“递归自相似”的思想最初是由哲学家发展起来的莱布尼兹他甚至想出了许多细节。1872年,卡尔·魏尔斯特拉斯找到了一个具有非直观特性的函数示例,该函数无处不在连续的但没有地方可微分的-的图形此函数现在被称为分形。1904年,黑尔格·冯·科赫对魏尔斯特拉斯非常抽象和解析的定义表示不满,给出了一个类似函数的更具几何意义的定义,现在称为科赫雪花1915年,瓦卡尔·希尔宾斯基构建了他的三角形一年后,他的地毯实际上,这些分形被描述为曲线,这在著名的现代建筑中很难实现。自相似曲线的概念由保罗·皮埃尔·莱维他在1938年的论文中由与整体相似的部分组成的平面或空间曲线和曲面,描述了一条新的分形曲线Lévy C曲线.
康托给出了以下示例子集具有不寻常特性的真实线路-这些康托尔集现在也被认为是分形。中的迭代函数复平面19世纪末20世纪初亨利·彭卡雷,费利克斯·克莱恩,皮埃尔·法图、和加斯顿·朱利亚然而,如果没有现代计算机图形学的帮助,他们缺乏将他们发现的许多物体的美形象化的手段。
20世纪60年代,贝诺·曼德尔布罗特开始在论文中研究自相似性,如英国海岸有多长?统计自相似性与分数维。这是基于之前的工作刘易斯·弗赖伊·理查森1975年,Mandelbrot创造了这个词分形的表示一个对象Hausdorff-Besicovitch尺寸大于其值拓扑维数他用引人注目的计算机构造的可视化来解释这个数学定义。这些图像抓住了大众的想象力;其中许多是基于递归的,导致了术语“分形”的流行含义。
示例
下面给出了一类相对简单的示例康托尔集,Sierpinski三角形和地毯,孟结海绵,龙形曲线,空间填充曲线,科赫曲线分形的其他示例包括李亚普诺夫分形和极限集克莱因群。分形可以是确定性(以上全部)或随机的,随机的(即,非确定性)。例如,平面中布朗运动的轨迹有Hausdorff维数2
混沌动力系统有时与分形有关。动态系统相空间中的对象可以是分形(请参见吸引子). 系统族参数空间中的对象也可能是分形的。一个有趣的例子是Mandelbrot集合。这组包含整个光盘,因此其Hausdorff维数等于其拓扑维数2,但真正令人惊讶的是边界Mandelbrot集的Hausdorff维数也为2(而拓扑维数为1),这是M.Shishikura在1991年证明的结果。一个密切相关的分形是Julia集合.
豪斯多夫维数
以下对科赫雪花的分析表明了如何利用自相似性来分析分形特性。
数字的总长度,N个,小步,L(左),是产品荷兰应用于科赫雪花的边界,其长度为L(左)接近零。但这种区别并不令人满意,因为不同的科赫雪花确实有不同的尺寸。一种解决方案是测量,不是以米、米或平方米、平方米,而是以米的其他一些幂来测量,米x.现在4N个(L(左)/3)x=荷兰x,因为从图中可以看出,步长缩短三倍需要四倍的步长x=(对数4)/(对数3)≈1.26186。因此科赫雪花边界的测量单位约为m1.26186.
更一般地,假设分形包含N个与比例因子为的整个分形相似的相同部分L(左)部分之间的交点是勒贝格测度0。那么分形的Hausdorff维数为例如,Hausdorf维度
- 康托集是,
- Sierpinski垫圈是,
- Sierpinski地毯是,
等等。更一般地说,人们可以假设N个部分类似于具有不同比例因子的分形,然后,可以通过求解变量中的以下方程来计算Hausdorff维数秒:
生成分形
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即使将Mandelbrot集放大2000倍,也能发现与整个集相似的精细细节。 |
生成分形的三种常见技术是:
分形的分类
分形也可以根据其自相似性进行分类。分形中有三种类型的自相似性:
- 精确的自相似性——这是最强的自相似类型;分形在不同尺度上表现出相同的特征。由迭代函数系统定义的分形通常表现出精确的自相似性。
- 准自我相似性——这是一种松散形式的自相似性;在不同的尺度上,分形看起来大致相同(但并不完全相同)。准lf-similar分形包含畸变和退化形式的整个分形的小副本。分数定义为递归关系通常是准自相似的,但不是完全自相似的。
- 统计自相似性——这是自相似性的最弱类型;分形具有跨尺度保存的数值或统计度量。最合理的“分形”定义通常意味着某种形式的统计自相似性。(分形维数本身是一种跨尺度的数值度量。)随机分形是分形的一个例子,它在统计上是自相似的,但既不是精确的,也不是准自相似的。
自然界中的分形
近似分形在自然界中很容易找到。这些对象在扩展但有限的比例范围内显示自相似结构。例如云层、雪花、山脉、河网和血管系统。
树木和蕨类植物本质上是分形的,可以使用递归的 算法这种递归性质在这些例子中很明显——树上的树枝或蕨类植物的叶子是整体的微型复制品:不完全相同,但性质相似。
山的表面可以通过使用分形在计算机上建模:从3D空间中的一个三角形开始,用线段连接每一侧的中心点,得到四个三角形。然后在定义的范围内随机向上或向下移动中心点。重复该过程,每次迭代时将范围减少一半。算法的递归性保证了整体与每个细节在统计上是相似的。
应用
如上所述,随机分形可用于描述许多高度不规则的现实世界对象。其他应用程序[1]的分形包括:
工具书类
- ↑ 术语分形的是由贝诺·特·曼德尔布罗特1975年。来自曼德布罗特自然分形几何“我从拉丁形容词fractus中创造了分形。对应的拉丁动词frangere的意思是“打破”,以创造不规则的碎片。因此,这是合理的,而且非常适合我们的需要!除了“碎片化”(如分数或折射)外,fractus还应表示“不规则”,这两种含义都保留在碎片中。”
- ↑ K.Falconer,分形几何技术,约翰·威利父子公司,1997年。印度卢比0-471-92287-0