分形

Mandelbrot集合可视化

一般来说，分形，来自拉丁语分形,意思是“破碎”，表示一个高度不规则或“无限复杂”的形状，在任何放大倍数下，在某种意义上都显得详细和自相似。数学家避免给出严格的定义，并使用术语分形引用几何的具有（大多数）以下功能的对象

• 每个尺度的精细结构
• 传统欧几里德几何的语言难以描述
• 自相似性（至少近似）
• 这个Hausdorff维数大于拓扑维数
• 一个相对简单的递归定义
• 自然的外观（解释为“不光滑”、“参差不齐”、“有刺”等）

并非所有的自相似对象都是分形-例如实线（一条直的欧几里德线）形式上是自相似的，但没有其他分形特征。

洛伦茨蝴蝶显示了复合物中两个吸引子随时间变化的效果。混沌系统。

历史

von Koch曲线（6次迭代）

现在被描述为分形的物体是几个世纪前发现和描述的。民族数学就像罗恩·埃格拉什一样非洲分形(国际标准图书编号0-8135-2613-2)描述了非洲土著工艺品中普遍存在的分形几何。1525年，德国艺术家阿尔布雷希特·杜勒出版画家手册其中一节是关于“五角大楼形成的瓷砖图案”丢勒的五角大楼与Sierpinski地毯，但基于五边形而不是正方形。

“递归自相似”的思想最初是由哲学家发展起来的莱布尼兹他甚至想出了许多细节。1872年，卡尔·魏尔斯特拉斯找到了一个具有非直观特性的函数示例，该函数无处不在连续的但没有地方可微分的-的图形此函数现在被称为分形。1904年，黑尔格·冯·科赫对魏尔斯特拉斯非常抽象和解析的定义表示不满，给出了一个类似函数的更具几何意义的定义，现在称为科赫雪花1915年，Waclaw Sierpinski公司构建了他的三角形一年后，他的地毯事实上，这些分形被描述为曲线，这在众所周知的现代构造中很难实现。自相似曲线的概念由保罗·皮埃尔·莱维在他1938年的论文中由与整体相似的部分组成的平面或空间曲线和曲面，描述了一种新的分形曲线Lévy C曲线.

康托给出了以下示例子集具有不寻常特性的真实线路-这些康托集合现在也被认为是分形。中的迭代函数复平面19世纪末20世纪初亨利·彭卡雷,费利克斯·克莱恩,皮埃尔·法图、和加斯顿·朱利亚然而，如果没有现代计算机图形学的帮助，他们缺乏将他们发现的许多物体的美形象化的手段。

20世纪60年代，贝诺·曼德尔布罗特开始在论文中研究自相似性，如英国海岸有多长？统计自相似性与分数维。这是基于之前的工作刘易斯·弗赖伊·理查森1975年，Mandelbrot创造了这个词分形表示一个物体Hausdorff-Besicovitch尺寸大于其拓扑维数他用引人注目的计算机构造的可视化来解释这个数学定义。这些图像抓住了大众的想象力；其中许多是基于递归的，导致了术语“分形”的流行含义。

示例

下面给出了一类相对简单的示例康托集合,Sierpinski三角形和地毯,孟结海绵,龙形曲线,空间填充曲线,科赫曲线分形的其他示例包括李亚普诺夫分形和极限集克莱因群。分形可以是确定性（以上全部）或随机的，随机的（即，非确定性）。例如，平面中布朗运动的轨迹有Hausdorff维数2

混沌动力系统有时与分形有关。动力系统相空间中的物体可以是分形（参见吸引子). 系统族参数空间中的对象也可能是分形的。一个有趣的例子是Mandelbrot集合。这组包含整个光盘，因此其Hausdorff维数等于其拓扑维数2，但真正令人惊讶的是边界Mandelbrot集的Hausdorff维数也为2（而拓扑维数为1），这是M.Shishikura在1991年证明的结果。一个密切相关的分形是Julia集合.

Hausdorff维数

以下对科赫雪花的分析表明了如何利用自相似性来分析分形特性。

数字的总长度，N个，小步，L（左），是产品荷兰应用于科赫雪花的边界，其长度为L（左）接近零。但这种区别并不令人满意，因为不同的科赫雪花确实有不同的大小。一种解决方案是测量，不是以米、米或平方米、平方米，而是以米的其他一些幂来测量，米^x个.现在4N个(L（左）/3)^x个=荷兰^x个，因为从图中可以看出，步长缩短三倍需要四倍的步长x个=（对数4）/（对数3）≈1.26186。因此科赫雪花边界的测量单位约为m^1.26186.

更一般地，假设分形包含N个与比例因子为的整个分形相似的相同部分L（左）部分之间的交点是勒贝格测度0。那么分形的Hausdorff维数为${\显示样式{\frac{\log N}{\logL}}\，\！}$例如，Hausdorf维度

• 康托集是${\显示样式{\frac{\log2}{\log3}}\约0.63\，\！}$,
• Sierpinski垫圈是${\显示样式{\frac{\log3}{\log2}}\约1.58\，\！}$,
• Sierpinski地毯是${\显示样式{\frac{\log8}{\log3}}\约1.89\，\！}$,

等等。更普遍地说，人们可以假设N个部分类似于具有不同比例因子的分形${\显示样式L_{i}}$,$｛\displaystyle i＝1…N｝$然后，可以通过求解变量中的以下方程来计算豪斯多夫维数秒:

${\显示样式\sum_{i=1}^{N} L（左）_{i} ^{s}=1.}{N} L（左）_{i} ^{s}=1.}$

生成分形

即使将Mandelbrot集放大2000倍，也能发现与整个集相似的精细细节。

生成分形的三种常见技术是：

• 迭代函数系统-这些具有固定的几何替换规则。康托集合,Sierpinski地毯,Sierpinski垫片,皮亚诺曲线,科赫雪花,哈特-海威龙曲线,T形方块,孟结海绵，是此类分形的一些示例。
• 逃逸时间分形-分数由重现空间中每个点的关系（例如复杂平面）。这种类型的示例有Mandelbrot集合，的燃烧的飞船分形和李亚普诺夫分形.
• 随机分形-例如，由随机过程而非确定性过程生成，分形景观,莱维航班和布朗树后者产生所谓的质量或树枝状分形，例如，扩散限制聚集或反应限制聚集集群。

分形的分类

分形也可以根据其自相似性进行分类。分形中有三种类型的自相似性：

• 精确的自相似性——这是最强的自相似类型；分形在不同尺度上表现出相同的特征。由迭代函数系统定义的分形通常表现出精确的自相似性。
• 准自相似性——这是一种松散的自相似性形式；在不同的尺度上，分形看起来大致相同（但并不完全相同）。准lf-similar分形包含畸变和退化形式的整个分形的小副本。分数定义为递归关系通常是准自相似的，但不是完全自相似的。
• 统计自相似性——这是自相似性的最弱类型；分形具有跨尺度保存的数值或统计度量。最合理的“分形”定义通常意味着某种形式的统计自相似性。（分形维数本身是一种跨尺度保存的数字度量。）随机分形是分形的例子，它们在统计上是自相似的，但既不完全也不准自相似。

自然界中的分形

自然界中很容易找到近似分形。这些对象在扩展但有限的比例范围内显示自相似结构。例如云层、雪花、山脉、河网和血管系统。

树木和蕨类植物本质上是分形的，可以使用递归的 算法这种递归性质在这些例子中很明显——树上的树枝或蕨类植物的叶子是整体的微型复制品：不完全相同，但性质相似。

山的表面可以通过使用分形在计算机上建模：从3D空间中的一个三角形开始，用线段连接每一侧的中心点，得到四个三角形。然后在定义的范围内随机向上或向下移动中心点。重复该过程，每次迭代时将范围减少一半。算法的递归性保证了整体与每个细节在统计上是相似的。

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  当拉开两块胶合的丙烯酸板时，会形成分形。

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  4〃丙烯酸块内的高压击穿产生分形利希滕贝格图样.

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  分形分支发生在微波辐射下数字化视频光盘

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  罗曼内斯科花椰菜显示非常精细的自然分形

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  在电沉积池中从硫酸铜溶液中生长DLA团簇

应用

如上所述，随机分形可用于描述许多高度不规则的现实世界对象。其他应用程序[1]的分形包括：

• 分类属于组织病理学幻灯片医学
• 新一代音乐
• 生成各种艺术形式
• 信号和图像压缩
• 地震学
• 电脑和视频游戏设计尤其是计算机图形学对于有机的环境和作为的一部分程序生成
• 断口和断裂力学
• 分形天线-使用分形形状的小型天线
• 新喜鹊 t恤和其他时尚.
• 生成伪装图案，例如MARPAT公司.