DCTI公司

DCTI公司是离散类比的实现之一余弦傅里叶操作人员${\显示样式\显示样式（\mathrm{CosFourier}~F）（x）}$ ${\displaystyle={\sqrt{\frac{2}{\pi}}}\int_{0}^{\infty}\cos（xy）~F（y）~\mathrm{d}y}$

DCTII这个名字的选择与维基百科类似和符号C中的数字配方 .

DCTI或I类离散Cos变换是正交变换，用于替换数组${\显示样式F}$长度的$｛\displaystyle N\！+\！1｝$包含元素$显示样式F_{n}~}$,${\显示样式~n=0..n}$到阵列${\显示样式G}$包含元素

${\显示样式\！\！\_{N} F类)_{k} ={\frac{1}{2}}F{0}+{\frac{（-1）^{k}}{2{}F{N}+sum{N=1}^{N-1}法语_{n} \cos\！\左（{\frac{\pi}{N}}nk\right）~~}{N} F类)_{k} ={\frac{1}{2}}F{0}+{\frac{（-1）^{k}}{2{}F{N}+sum{N=1}^{N-1}法语_{n} \cos\！\左（{\frac{\pi}{N}}nk\right）~~}$对于${\显示样式~~k=0，..N}$

规范化表单

正交化变换可以用运算符定义${\显示样式\Phi_{\mathrm{C}1，N}}$，作用于数组${\显示样式F}$按以下方式：

${\显示样式\！\！\{\压裂{（-1）^{k}}{2}}F{N}+\总和{N=1}^{N-1}法语_{n} \cos\left（{\frac{\pi}{n}}nk\right）\ right）}{N-1}法语_{n} \cos\left（{\frac{\pi}{n}}nk\right）\ right）}$

操作员${\显示样式\Phi_{\mathrm{C}1，N}}$是它自己的反面；${\显示样式（\Phi_{\mathrm{C}1，N}）^{2}~F=F}$

数字实现

这个C类++第一类离散cos变换的数值实现由3个文件组成zfour1.cin公司,zrealft.cin公司,zcosft1.cin公司; 为了编译示例，应该将这些文件加载到工作目录。对于波动光学的应用，z类型应定义为双“或复合（双）; 然而，对于其他应用，也可以用其他方式定义这种类型。函数的名称和参数的意义由C中的数字配方，数组变换的调用${\显示样式F}$长度的${\显示样式N\！+\！1}$具有表单zcosft1（F-1，N）；在这样的调用之后，数组元素的值${\显示样式F}$替换为使用上述表达式（1）计算的值。对于${\显示样式N=2^{q}}$，评估要求的顺序为${\显示样式Nq}$操作

近似余弦傅里叶

这个余弦傅立叶运算符转换函数${\显示样式F}$函数的非负参数${\显示样式G}$按以下方式：

$（3）~~\显示样式G（x）=\mathrm{CosFourier}F（x）={\sqrt{\frac{2}{\pi}}}}\int_{0}^{\infty}~\cos（xy）~F（y）~\mathrm{d}y}$

对于这个算子的离散近似，假设一些较大的自然数${\显示样式N}$.让${\显示样式x_{n}={\sqrt{pi/n}}~n}$.Let函数${\显示样式F}$平滑并在无穷远处快速衰减。然后${\显示样式F}$可以近似如下：

${\显示样式\！\！\ n/n}}}$

对于$显示样式x=x{m}}$，可以这样写：

${\显示样式\！\！\ \sum_{N=1}^{N}~\cos（x_{m} x个_{n} ）~F（x_{n}）~\右）}{m} x个_{n} ）~F（x_{n}）~\右）}$ ${\显示样式\显示样式\approx{\sqrt{\frac{2}{N}}\左$

在转换时，假设${\显示样式F（x）}$可以忽略为${\显示样式x\geq x_{N}}$.以这种方式，

$｛\displaystyle \！\！\！\！\！\！\！（6）~~\displaystyle G_｛m｝\approxy｛\sqrt｛\frac｛2｝｛N｝｝｝｝~（\mathrm｛DCTI｝_｛N｝~F）_｛m｝=（\ Phi _｛C1，N｝~F）_｛m｝$

余弦傅里叶逼近的数值检验

文件夹zfour1.cin公司,zrealft.cin公司,zcosft1.cin公司应该加载到工作目录，以便编译下面的测试文件。

示例的数值实现余弦傅里叶下面建议使用上一节中描述的近似变换。自傅里叶函数的C++数值余弦傅里叶变换${\显示样式F（x）=\exp（-x^{2}/2）}$可以实现如下：

#包括<math.h>#包括<stdio.h>#包括<stdlib.h>//#包括<复杂>//使用命名空间标准；#定义z_type双精度#包括“zfour1.cin”#包括“zrealft.cin”#包括“zcosft1.cin”main（）{z_type*a，*b；int j，k，N=16；双d，x，y；a=（z_type*）malloc（（size_t）（（N+1）*sizeof（z_type）））；b=（z_type*）malloc（（size_t）（（N+1）*sizeof（z_type）））；d=平方英尺（M_PI/N）；对于（j=0；j<N+1；j++）{x=j*d；a[j]=b[j]=exp（-x*x/2）；}zcosft1（a-1，N）；对于（j=0；j<N+1；j++）a[j]*=sqrt（2./N）；对于（j=0；j<N+1；j++）printf（“%12.9f%12.9f%22.9f%11.4e\N”，j*d，a[j]，b[j]、a[j]-b[j]）；免费（a）；自由（b）；}

上述代码生成以下输出：

0.0000000001.0000000001.000000-2.3238e-120.443113463 0.906490462 0.906490962 2.3206e-120.886226925 0.675231907 0.6752319007-2.3094e-121.329340388 0.413303564 0.413303564 2.2924e-121.772453851 0.207879576 0.2078795076-2.2688e-122.215567314 0.085917370 0.0859173 70 2.2417e-122.658680776 0.029179416 0.02917941-2.2100e-123.101794239 0.008143268 0.008143268 2.1780e-123.544907702 0.001867443 0.001867443-2.1444e-123.988021165 0.000351903 0.0003511903 2.1124e-124.431134627 0.000054491 0.000054491-2.0815e-124.874248090 0.000006933 0.0000069332.0543e-125.317361553 0.000000725 0.000000725-2.0309e-125.760475015 0.000000062 0.000000062 2.0121e-126.203588478 0.000000004 0.000000004-1.9832e-126.646701941 0.000000000 0.000000000 2.4651e-127.089815404 0.0000000000.0000000001.0175e-11

第0列表示坐标${\显示样式x{n}}$，以下两个–其DTFI和输入函数，最后一个显示用DTFI例程逼近余弦傅里叶算子。

示例表明，对于最简单的自傅里叶函数，17节点近似给出了12位正确的十进制数字。

对于上述代码的分析，应注意，自傅里叶函数是傅里叶算子特征值为1；

四级效率的评估

让${\显示样式F}$是带周期实变元的偶数周期函数${\显示样式2\pi}$:

${\显示样式F（x）=F（-x）~}$,${\显示样式~F（x+2\pi）=F（x）}$

然后，傅里叶级数的展开式可以写成

${\显示样式\显示样式F（x）=\sum_{n=0}^{\infty}~a{n}~\cos（nx）}$

傅里叶系数

${\显示样式\显示样式a{0}={\frac{1}{\pi}}~\int_{0}^{\pi{~f（x）~\mathrm{d}x={\ frac{1\pi}}~\int_{-\pi}^{\ pi}~f（x）~\mathrm{d\d}x}$

${\显示样式\显示样式a{n}={\frac{2}{\pi}}~\int_{0}^{\pi{~f（x）~\cos（nx）~\ mathrm{d}x={\ frac{1}{\pi}}~\ int_{-\pi}^{$,${\显示样式~n\！>\！0}$

假设某个较大的自然数${\显示样式N}$.让${\显示样式\显示样式x_{n}={\frac{\pi}{n}}n}$.系数的近似值${\显示样式a}$，将积分替换为有限和：

$显示样式a{m}近似{frac{1}{N}}左^｛N-1｝F（x{n}）\右）~}｛N-1｝F（x{n}）\右）~}$

$显示样式a{m}\近似{frac{2}{N}\左（{frac}1}{2}}F（x{0}）+{frac[1}{2{}F（x{N}）\cos（\pim）+sum{N=1}^{N-1}法语（x{n}）\cos（nx{n{）\右）~}{N-1}法语（x{n}）\cos（nx{n{）\右）~}$,${\显示样式~~n\！>\！0}$

与方程式（1）的比较得出

$显示样式a{0}\近似{1}{N}}~（\mathrm{DCFI}~F）{0}~}$

$显示样式a{n}\近似{2}{n}~（\mathrm{DCFI}~F）{n}~}$,${\显示样式~~n\！>\！0}$

给定膨胀系数${\显示样式a}$，网格上的函数${\显示样式0，{\frac{\pi}{N}}，{\frac{2\pi}{N}}，。。\圆周率}\圆周率}$可以使用进行评估${\显示样式（\mathrm{DCFI}~G）}$，使用${\显示样式G_{0}=2a_{0{}}$和$显示样式G{n}=a{n}}$对于${\显示样式n\！>\！0}$.

傅里叶级数展开的数值试验

让${\显示样式N=8}$.让${\显示样式F（x）=1+.1\cos（x）+.01\cos$。膨胀系数预计为${\显示样式a_{0}=1}$,$显示样式a{1}=0.1}$,$显示样式a{2}=0.01}$; 所有其他系数预计为零。上述近似值可以在C类++具有以下代码：

#包括<math.h>#包括<stdio.h>#包括<stdlib.h>#定义z_type双精度#包括“zfour1.cin”#包括“zrealft.cin”#包括“zcosft1.cin”main（）{z_type*a，*b，*c；int j，k，N=8；双d，x，y；a=（z_type*）malloc（（size_t）（（N+1）*sizeof（z_type）））；b=（z_type*）malloc（（size_t）（（N+1）*sizeof（z_type）））；c=（z_type*）malloc（（size_t）（（N+1）*sizeof（z_type）））；d=M_PI/N；对于（j=0；j<N+1；j++）{x=j*d；a[j]=b[j]=1.+.1*cos（x）+.01*coszcosft1（a-1，N）；对于（j=0；j<N+1；j++）c[j]=a[j]；zcosft1（a-1，N）；对于（j=0；j<N+1；j++）printf（“%2d%12.9f%12.9f%12.9f\N”，j，b[j]，c[j]，a[j]）；免费（a）；自由（b）；}

上面的代码可以用文件编译zfour1.cin公司,zrealft.cin公司,zcosft1.cin公司并生成以下输出：

0  1.110000000  8.000000000  4.4400000001  1.099459021  0.400000000  4.3978360842  1.070710678  0.040000000  4.2828427123  1.031197275 -0.000000000  4.1247891024  0.990000000  0.000000000  3.9600000005  0.954660589 -0.000000000  3.8186423566  0.929289322 -0.000000000  3.7171572887  0.914683115 -0.000000000  3.6587324588  0.910000000  0.000000000  3.640000000

第0列仅为网格的节点编号。

第一列显示初始函数。

2d列表示DCTI公司初始函数的转换。此列中的数字是初始函数中使用的傅里叶系数乘以因子${\显示样式N/2=4}$.最后一列是运算符附加应用的结果DCTI公司和表示函数的相同初始值乘以相同因子。

结论

${\显示样式\mathrm{DCTI}_{N}}$可用于评估余弦傅里叶等距函数值数组上的运算符，假设函数连续且在无穷远处平滑衰减。数组应该具有$｛\displaystyleN\！+\！1｝$元素，并且计数应该以零开始。

相同的离散运算符可用于计算傅里叶系数对称周期函数，以及通过给定的傅里叶系数对函数进行截断计算傅里叶级数.

数值实现对于${\显示样式N=2^{q}}$对一些人来说自然数 $｛\displaystyle q｝$. TheC类++实现存储在例程中zfour1.cin公司,zrealft.cin公司,zcosft1.cin公司; 它们可以复制并包含到用户代码中，而无需任何“安装”。为了处理实数，输入z类型可以定义为“double”；为了处理复数，它可以定义为复合（双）.

工具书类

本条内容采用自http://tori.ils.uec.ac.jp/tori/index.php/DCTI网站