可计数集合

在数学，一个设置据说是可数的如果可以使用自然数. 更准确地说，这意味着存在从这个集合到自然数集合的一对一映射。

可数集合是有限的，有限的或可数无限.不可数的集合称为不可数的.

然而，术语并不统一：一些作者在“可数无限”的意义上使用“可数”，“最多可数”而不是“可数”。此外，有时“可数的用于表示“可数无限”。
另一方面，不能将可数集合与相关但不同的集合混淆，概念（递归地）可枚举集从可计算性理论。

自然数的集合是可数无限的（当然），但也有（唯一的）可数多个整数、有理数、有理代数数和可数整数集。
另一方面，实数集是不可数的，并且有无数个整数集。

可数集的任何子集都是可数的。

可数集的映象（在任何函数下）都是可数集。

可数集合的可数并（即可数族的并）是可数的。

这个笛卡尔积有限多个可数集是可数的。

就基数及其算术而言基数可数无限集的阿列夫·努尔,更正式地说，最后两个属性可以写成：

${\displaystyle\aleph_{0}+n=\aleph_}0}+\aleph_{0}=\aleph{0}\cdot\aleph}0}=\ aleph{0}^{n}=\aleph{0{}}$

历史上，区分无穷大不同“大小”的必要性首次观察到康托19世纪末，当他研究实数集时。他证明了有理数是可数的，而实数不是，使用现在被称为康托的参数（第一和第二）对角线法.

示例

（有限）可数集的基本示例由其元素列表给出：

• 偶数的集合质数只包含一个元素：{2}。
• 小于10的素数集：{2,3,5,7}。
• 正则中的一组对角线五角形ABCDE:{AC、AD、BD、BE、CE}。（A、B、C、D、E表示五边形的顶点。）

空集是可计数的，即使它不包含要计数的元素。

然而，为了证明集合是可数的，没有必要提供这样的列表。例如，

• 游戏中的一组位置国际象棋或去.
• 一套双素数是可数的，尽管不知道它是否是有限的，并且
• 偶数集（大于2）不能被写成两个素数之和是可数的，即使没有一个这样的数字是已知的（参见哥德巴赫猜想).

可数无限集的例子

完美正方形

完美正方形集是可数无穷的，如下对应关系所示：

${\显示样式n\leftrightarrow n^{2}}$

n个	0	1	2	三	4	5	${\显示样式\cdots}$
n个2	0	1	4	9	16	25	${\显示样式\cdots}$

这是一个无限集的适当子集的示例，该子集具有与该集相同的元素，由解决的情况伽利略悖论.

整数

一套整数是可数无限的。的确，功能

${\显示样式f（n）=（-1）^{n}\cdot\left\lfloor{\frac{n+1}{2}}\right\rfloor}$

是所有自然数和所有整数之间的一对一对应关系：

n个	0	1	2	三	4	5	${\显示样式\cdots}$
（f）(n个)	0	-1	1	-2	2	-3	${\显示样式\cdots}$

两个可数集的并集

这个联盟自然数集和任意有限的，有限的集合是可计数的。例如，给定有限集

${\显示样式A=\{A_{0}，A_{1}，\ldot，A{n-1}$

属于n个元素，函数

${\显示样式f（i）\mapsto{\开始{案例}_{i} ，&i<n\\i-n，&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}{案例}_{i} ，&i<n\\i-n，&{\mbox{otherwise}}\end{cases}}}$

说明了这一点${\显示样式A\cup\mathbb{N}}$是可数的。

我	0	1	${\显示样式\cdots}$	n个-2	n个-1	n个	n个+1	n个+2	${\显示样式\cdots}$
（f）(我)	一0	一1	${\显示样式\cdots}$	一n个-2	一n个-1	0	1	2	${\显示样式\cdots}$

更一般地，考虑两个可数无穷集：

${\显示样式A=\{A_{0}，A_{1}，A_{2}，\ldots\}}$和${\显示样式B=\{B_{0}，B_{1}，\ldots\}}$

然后

${\显示样式i\leftrightarrow{\开始{案例}_{i/2}，&i{\mbox{是偶数}}\\b{（i-1）/2}{案例}_{i/2}，&i{\mbox{是偶数}}\\b{（i-1）/2}$

是以下两者之间的一对一通信${\显示样式\mathbb{N}}$和$｛\displaystyle A\杯B｝$.

我	0	1	2	三	${\显示样式\cdots}$	2k个	2k个+1	2k个+2	2k个+3	${\显示样式\cdots}$
	一0	b0	一1	b1	${\显示样式\cdots}$	一k个	bk个	一k个+1	bk个+1	${\显示样式\cdots}$

（注意，在整数示例中使用了相同的方法：让A类是正整数，并且B为负整数。）
这一情况由以下内容说明希尔伯特酒店.

有理数

（正）有理数集是分数集

$显示样式{{\tfrac{p}{q}}\mid-p，q\in\mathbb{N}}.}$

分数可以排列在一个无限表中问-包含分母分数的第行问,这个第页-包含带分子分数的第th列第页.

	1	2	三	4	${\显示样式\ldots}$
1	${\显示样式{\tfrac{1}{1}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{1}}}$	${\显示样式{\tfrac{3}{1}}}$	${\显示样式{\tfrac{4}{1}}}$	${\显示样式\ldots}$
2	${\显示样式{\tfrac{1}{2}}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{2}}$	$｛\displaystyle｛\tfrac｛3｝｛2｝｝｝$	${\显示样式{\tfrac{4}{2}}}$	${\显示样式\ldots}$
三	${\显示样式{\tfrac{1}{3}}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{3}}}$	${\显示样式{\tfrac{3}{3}}$	${\显示样式{\tfrac{4}{3}}}$	${\显示样式\ldots}$
4	${\显示样式{\tfrac{1}{4}}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{4}}}$	${\显示样式{\tfrac{3}{4}}}$	${\显示样式{\tfrac{4}{4}}}$	${\显示样式\ldots}$
${\显示样式\vdots}$	${\显示样式\vdots}$	${\显示样式\vdots}$	${\显示样式\vdots}$	${\显示样式\vdots}$	${\显示样式\ddots}$

这些馏分可以按顺序排列，方法是根据(第页+问)和第页这样地

${\显示样式p+q}$	2	三	三	4	4	4	5	5	5	${\显示样式\cdots}$
${\显示样式p}$	1	1	2	1	2	三	1	2	三	${\显示样式\cdots}$
$｛\displaystyle｛\tfrac｛p｝｛q｝｝｝$	${\显示样式{\tfrac{1}{1}}$	${\显示样式{\tfrac{1}{2}}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{1}}}$	${\显示样式{\tfrac{1}{3}}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{2}}$	${\显示样式{\tfrac{3}{1}}}$	${\显示样式{\tfrac{1}{4}}}$	${\显示样式{\tfrac{2}{3}}}$	${\显示样式{\tfrac{3}{2}}}$	${\显示样式\cdots}$
	0	1	2	三	4	5	6	7	8	${\显示样式\cdots}$

这种对应关系可以用以下公式描述：

${\显示样式{\frac{p}{q}}\leftrightarrow{\ frac{（p+q-1）（p+q-2）}{2}}+（p-1）}$

无关紧要的是，由于分数没有减少，每个有理数常常无限出现。有理数集对应于约化分数集，它（作为可数集的子集）也是可数的。

同样的论证表明可数集合的可数并是可数的，并且两个可数集合的笛卡尔乘积是可数的。它被称为康托第一对角线法.

实数

实数集是不可数的。证明是矛盾的证明间接证据:

假设实数集是可数无限的，那么区间实数的第页具有${\显示样式0\leq r<1}$（作为子集）也是可数的，间隔可以写为序列：

${\显示样式\{r\mid 0\leq r<1，r\in\mathbb{r}\}=\{r_{i}\mid i\in\mathbb{N}\}}$

由于0到1之间的任何实数都可以写为十进制数，顺序第页_我可以写为无限长的十进制数列表：

我	第页我
0	0三2847...
1	0.48284...
2	0.89438...
三	0.00154...
4	0.32425...
...	...
	0.55544...

但此列表不完整：
为了说明这一点，我们构造了一个实数第页带十进制扩展与列表中的每个十进制数至少相差一位，使用以下步骤：
如果我-的第个数字（小数点后）我-列表中的第个数字是5, 然后我们采取4作为我-数字的第个数字，如果不是，则取5而不是。因此，对于任何我这个我-新构造数字的第个数字与我-的第个数字我-列表中的第个实数，因此第页不显示在列表中。The expansion of第页只使用数字4和5，因此是唯一的，因此实数第页没有出现在列表中。由于这与最初的假设相矛盾，这个假设，即，实数集是可数的，这是错误的。

这被称为康托对角化论证.