科里奥利力

有关心理物理感知，请参见科里奥利效应.

（PD）图片：John R.Brews
由压力梯度驱动的风在科里奥利力的作用下发生偏转，大多数位于两极，在穿越赤道时会改变符号。

这个科里奥利力物体在旋转参照系中穿过路径时所经历的。科里奥利力与物体的速度、框架的旋转速率以及物体运动方向和框架旋转轴之间的角度正弦成正比。

‘	在夜晚的旋转木马上 科里奥利斯吓得发抖 不管他怎么走路 “就像他被跟踪一样 被一个恶魔逼着	’
-David Morin、Eric Zaslow、E'beth Haley、John Golden和Nathan Salwen

在向量表示法中，使用右手定则关联向量Ω根据旋转速度，科里奥利力为F类_科尔=2米 v×Ω,哪里×表示向量交叉积,v（v）是物体的速度，以及米是它的质量。对于观察者的逆时针旋转参考系，科里奥利力是朝速度方向向右推的力。

这是三个这样的例子之一惯性力以加速的方式出现参考系由于框架的加速度，另外两个是离心力和欧拉力.

尽管有时被称为显然的力，它可以产生非常真实的影响，其中包括风在北半球低压区的逆时针运动（在南半球为顺时针）。

历史

科里奥利力的数学表达式出现在1835年的一篇论文中兵团系统运动关系方程法国科学家加斯帕德·古斯塔夫·科里奥利斯.科里奥利斯称这些力量为复合力离心机，复合离心力，有时翻译为互补的离心力。

参考坐标系

运动定律支配着两个物体牛顿运动定律和狭义相对论，表示在惯性参考系也就是说，在相对于“固定恒星”以恒定速度直线运动的任何参照系中，这是今天用来指代整个宇宙的历史参照系。然而，日常经验并不是在这样的参照系中发生的。例如，我们生活在地球上地球，绕其轴旋转（加速运动），围绕太阳（另一个加速运动），并随着银河系（还是另一个加速运动）。

于是，问题出现了，如何将加速框架中的经验与未针对此类情况制定的法律联系起来。答案在于引入惯性力，这是由于其运动而在加速参考系中观察到的力，但不是惯性系中识别的力。这些惯性力包含在运动定律中，这些定律的作用就像它们在惯性系中一样。惯性力的引入听起来像是为了数学上的方便而使用的一种计算技巧，但这些惯性力在描述运动的方程式中的出现具有非常真实的意义，即这些力在旋转框架中的经历与质量、电荷、，或原子核。

例如，科里奥利部队会影响火炮的瞄准和越洋飞行的策划。下面的几个例子说明了科里奥利力是如何工作的。这种处理是非相对论的。

科里奥利流量计

（PD）图片：John R.Brews
流体通过摇摆管时会经历科里奥利加速度。

科里奥利力用于测量流体系统中的质量流量。如图所示，流体以速度流入U形管v（v）以相等但方向相反的速度退出。管子被摇晃，在特定的时刻，似乎围绕着连接其开口的线旋转，如图所示。从管子的角度来看，流体经历垂直于管子平面的科里奥利加速度，在管子的两个支腿上有相反的符号。具有质量的流体元件米经历科里奥利力：

${\显示样式\mathbf{F_{Cor}}=2m\mathbf{v\times\Omega}\，}$

哪里Ω是使用右手定则和v（v）是流体速度。将管子理想化为底部有直角角，科里奥利力沿管子每条支管的整个长度相同，但每条支管上的符号相反，并且在速度与旋转平行的底部为零Ω.

由于科里奥利力，管子受到力偶绕其垂直对称轴旋转。通过检测这个扭矩，可以测量管中质量流的速度。例如，可以通过观察管子的扭转角来测量扭矩，管子就像弹簧一样，由于其机械特性而无法转动。

从静止观察者的角度来看，沿着向外的腿移动的流体元素在旋转方向上以与其速度成比例的速率增加速度，因为它移动得离旋转轴更远。（垂直于管子的速度分量为ωr具有ω转动角速度，以及第页与轴的径向距离。）这种变化的角动量需要垂直于管平面的加速度。在返回腿上，流体元素正在失去角动量，因此需要与向外腿相反方向的加速度。因此，扭转管子的扭矩是流体从一条腿移动到另一条腿时改变角动量的符号翻转的结果。

旋转球体

另请参阅上的讨论福柯摆.

（PD）图片：John R.Brews
切线平面，纬度φ处的局部坐标系x个-轴线东，年-轴北和z（z）-轴向上（即从球体中心径向向外）。

这个例子考虑了观察者在旋转球体表面看到的科里奥利力。该分析是气象学中许多观测结果的基础（下一步将讨论），有助于理解福柯钟摆可以用来确定地球的自转速度。

考虑具有纬度的位置φ在围绕南北轴旋转的球体上。使用x个-轴线水平正东年-轴线水平正北z（z）-轴垂直向上。此坐标系有时称为切平面坐标系。旋转矢量、运动速度和科里奥利加速度用本地坐标系表示（按东方顺序列出组件(e（电子）)，北部(n个)和向上(单位))是：

${\显示样式{\boldsymbol{\Omega}}=\Omega{\begin{pmatrix}0\\\cos\varphi\\sin\varphi\end{pmatrix}}\，}{pmatrix}0\\\cos\varphi\\sin\varphi\end{pmatrix}}\，}$   ${\显示样式{\粗体符号{v}}={\开始{pmatrix}v_{e} \\v{n}\\v{u}\end{pmatrix}}\.}{pmatrix}v_{e} \\v{n}\\v{u}\end{pmatrix}}\.}$

因此，科里奥利加速度一_科尔变为：

${\displaystyle{\boldsymbol{a_{Cor}}}=-2{\bolsymbol{\Omega\times v}}=2\，\Omega\，{\begin{pmatrix}v_{n} \sin\varphi-v{u}\cos\varphi\\-v{e}\sin\varphi\\v{eneneneep \cos\valphi\end{pmatrix}}\.}{pmatrix}v_{n} \sin\varphi-v{u}\cos\varphi\\-v{e}\sin\varphi\\v{eneneneep \cos\valphi\end{pmatrix}}\.}$

当考虑大气或海洋动力学时，与重力相比，垂直速度较小，科里奥利加速度的垂直分量较小。在这种情况下，只有水平（东部和北部）组件起作用。上述对水平面的限制为（设置v（v）_单位=0):

${\显示样式{\粗体符号{v}}={\开始{pmatrix}v_{e} \\v_{n}\结束{pmatrix}}\，}{pmatrix}v_{e} \\v_{n}\结束{pmatrix}}\，}$   ${\显示样式{\粗体符号{a_{Cor}}={\开始{pmatrix}v_{n} \\-v{e}\end{pmatrix}}\f\，}{pmatrix}v_{n} \\-v{e}\end{pmatrix}}\f\，}$

哪里（f）=2ω罪φ被称为科里奥利参数.

通过设置v（v）_n个=0，可以立即看出（对于正φ和ω）正东运动导致正南加速度。类似地，设置v（v）_{e（电子）}=0，可以看出正北运动导致正东加速度。一般来说，从水平方向观察，沿着引起加速度的运动方向，加速度总是向右旋转90°，且大小相同，与水平方向无关。

另一种情况是，考虑赤道运动设置φ=0°。在这种情况下，Ω与北方平行或n个-轴，以及：

${\显示样式{\boldsymbol{\Omega}}=\Omega{\begin{pmatrix}0\\1\\0\结束{pmatrix}}\，}{pmatrix}0\\1\\0\结束{pmatrix}}\，}$   ${\显示样式{\粗体符号{v}}={\开始{pmatrix}v_{e} \\v{n}\\v{u}\结束{pmatrix}}\，}{pmatrix}v_{e} \\v{n}\\v{u}\结束{pmatrix}}\，}$  ${\displaystyle{\boldsymbol{a_{Cor}}}=-2{\bolsymbol{\Omega\times v}}=2\，\Omega\，{\begin{pmatrix}-v_{u} \\0\\v_{e}\end{pmatrix}}\.}{pmatrix}-v_{u} \\0\\v_{e}\end{pmatrix}}\.}$

因此，向东运动（即与球体旋转方向相同）提供了一个向上加速度，称为厄特沃斯效应,向上运动产生正西方的加速度。

气象学

（PD）图片：John R.Brews
在北半球，科里奥利力使流入低压区的风偏转，形成逆时针流动。

通过沿压力梯度驱动风来平衡大气中的压力梯度。然而，从气象学的观点来看，运动是在旋转地球的参考框架内最自然地观察到的。如上所述，在地球参考系中，任何运动都会受到科里奥利力的影响，如下所示：

${\显示样式{\粗体符号{v}}={\开始{pmatrix}v_{e} \\v_{n}\结束{pmatrix}}\，}{pmatrix}v_{e} \\v_{n}\结束{pmatrix}}\，}$   ${\显示样式{\粗体符号{a_{Cor}}={\开始{pmatrix}v_{n} \\-v{e}\end{pmatrix}}\f\，}{pmatrix}v_{n} \\-v{e}\end{pmatrix}}\f\，}$

哪里（f）=2ω罪φ是科里奥利参数。因此，如引言中的图所示，风的明显方向在北纬偏向压力梯度右侧，在南纬偏向左侧。科里奥利参数在极点处为最大值，在赤道处为零，在从北半球到南半球的过程中会翻转符号，如引言中的图所示。

一个后果是，如右图所示，低压区将空气吸入其中，由于科里奥利力，导致北半球出现逆时针方向的风（称为气旋）。南半球的方向相反。

有时有人建议浴缸排水是气旋运动的另一个例子，但在这个例子中，似乎存在冲突的力（由排水管附近浴缸的形状和流动的初始条件引入），这些力可以压倒科里奥利力并决定漩涡旋转的方向。

旋转木马

另请参阅上的讨论穿过旋转木马.

（PD）图片：John R.Brews
把球扔到旋转木马上。在旋转木马的中心，路径对于静止观测者来说是一条直线，对于旋转观测者而言是一条圆弧。箭头所示的距离与球最接近中心时的距离相同。

（PD）图片：John R.Brews
球沿着曲率中心的近似圆形路径运动。

（PD）图片：John R.Brews
四个旋转速率的球路径。根据静止观测者的说法，捕捉器的位置应确保在所有情况下都能在12点钟进行捕捉。

旋转旋转木马可能是最常见的例子，用于说明旋转对牛顿运动定律公式的影响以及惯性力纳入这些法律。一个简单的例子是在旋转木马上玩接球。站在旋转木马的边缘，一个球被抛给另一个站在边缘不同位置的球员。

如图所示，从静止观测者的角度来看，抛出的球是一个自由体（除了向下的重力），因此它的水平运动是一个游离体的水平运动：一条匀速的直线。球的接球手在球的飞行过程中旋转，因此投掷手（橙色笑脸）必须预测接球手的位置，并将球投向未来的位置（绿色笑脸），而不是直接投向接球手。

从旋转木马中心的观察者的角度来看，投球者（橙色笑脸）和接球者（蓝色笑脸）都站在固定的位置，三名参与者都随着旋转木马旋转。虽然没有人移动，但托球手不能将球直接抛向接球手，因为球转向右侧，假设旋转木马逆时针旋转。直观的反应是，球在飞行过程中被推到右边，因此必须通过将球扔到左边来抵消这个力。从物理学的角度来看，对于旋转观测者来说，弯曲路径意味着科里奥利力必须引入牛顿定律，因为这些定律需要一个力才能使球弯曲。

中心图显示，对于旋转的观察者来说，球围绕其曲率中心进行近似圆形的运动。旋转速度越慢，路径的曲率中心偏离旋转木马中心的距离越远，曲率半径越大。此外，科里奥利力（导致球向右偏转）减小。当旋转速度减慢到零时，路径会变直，因为曲率半径变为无穷大，曲率中心会后退到无穷大，力会降至零，路径会变成一条简单的直线，直接向捕捉器抛掷。

下图显示可能存在更复杂的路径。在这里，对于静止的观测者来说，在所有情况下，球都是从6点钟开始投掷并在12点钟被抓住的，但旋转木马的旋转速度越来越快，迫使接球手从12点钟开始的角度越来越大，以便及时到达接球点。图中显示了四种情况，捕捉器从12点钟开始1/4圈，然后1/3圈、1/2圈和3/4圈。静止框架中的路径总是相同的直线，但旋转观测器看到的曲线路径变得相当复杂。

从图上标记的点的间距可以看出，对于旋转观测者来说，球移动得更快。这可以理解为速度的增加，因为转盘正在旋转，朝着球移动。换言之，曲线路径比惯性观测器看到的直线路径长，因此球必须以更快的速度移动才能同时覆盖曲线路径。

下面将进行更详细的讨论。

惯性框架

（PD）图片：John R.Brews
旋转木马上抛球的一些有用符号。

在静止框架中，球的路径在x、 年坐标为：

${\显示样式{\开始{对齐}x&=vt\\cos\theta\\y&=-R+vt\\sin\theta\，\\end{aligned}}}{对齐}x&=vt\\cos\theta\\y&=-R+vt\\sin\theta\，\\end{aligned}}}$

哪里R（右）是旋转木马的半径，θ是球的发射角度，v（v）是发射速度，以及t吨是时候了。在t=0，如图所示，托瑟在6点钟，并且θ是从水平线到投掷线的角度。此时的捕手是一个角度φ从3点钟开始。如果旋转木马以这个速度旋转Ω，然后接球手从起始位置转了一个角度Ωt_c（c），将捕捉器放置到位：

${\显示样式2\theta=\Omega t_{c}+\varphi+\pi/2\，}$

哪里t吨_c（c）是抓捕的时间φ是捕手的起始角度。该等式由下图和平行线相应角度的相等性得出：

${\displaystyle\theta=（\varphi+\Omega t_{c}）+（\pi/2-\theta）\.}$

当路径长度等于圆圈的弦时，球到达接球手的边缘：

$显示样式vt_{c}=2R\\sin\theta\.}$

这两个方程要么通过使用非线性方程根据已知速度确定发射角度，要么通过假设捕获时间，第一个方程确定发射角，最后一个方程确定必要的投掷速度：

${\显示样式v=2{\ frac{R}{t_{c}}}\\sin\left（{\ frac{\Omega t_{c{+\varphi+\pi/2}{2}}\right）\.}$

旋转框架

（PD）图片：John R.Brews
球上的惯性加速度组合在一起，为旋转木马上看到的弯曲路径提供所需的净向内加速度。科里奥利加速度的两个分量如图所示，一个径向向内朝向旋转中心，另一个作用于路径右侧。符号v（v）指在静止框架中看到的直线运动的速度。

旋转框架中的描述比惯性框架中的更复杂。该图显示了在特定时刻作用在球体上的计算惯性力。运动几乎是围绕一个位移中心的圆周运动，但围绕圆周路径的运动速度是不同的。因此，运动只是圆路径上的近似匀速运动，净加速度一_网（两个惯性加速度之和，向外离心Ω²第页和科里奥利一_科尔)只是大致指向圆心。

以下是数学细节。

数学背景

惯性（非旋转）参考系中的变量由下标标识A类、旋转木马旋转框架用下标表示B类.

惯性系中的轨迹（表示A类)是一条从6点钟以θ角开始的直线路径。球在固定框架中的位置t吨是：

$｛\displaystyle\mathbf｛r｝_｛A｝（t）=vt\（\cos\theta\\mathbf｛i_｛A｝｝+\\sin\theta\\mathbf｛j_｛A｝｝）-r\\mathbf｛j_｛A｝｝\，｝$

具有我_A类，j_A类中的单位向量x个-和年-非旋转框架中的方向，并假设球在时间上从6点钟的位置抛出t吨= 0. 速度v（v）球的直线路径是指在静止框架中看到的直线路径。

在转台框架中（表示为B类)，的x个-年轴以角速率Ω旋转，并以单位矢量表示我_B类，j_B类看起来像是固定在旋转木马上，

$｛\displaystyle\mathbf｛i_｛A｝｝＝\mathbf｛i_｛B｝｝\\cos\Omega t-\mathbf｛j_｛B｝｝\\sin\Omega t\｝$

${\显示样式\mathbf{j_{A}}=\mathbf{i_{B}}\\sin\Omega t+\mathbf-{j_}B}}\\cos\Omega t\，}$

它代替了单位向量，导致了在旋转木马上看到的轨迹（组件位于我_B类，j_B类方向）：

${\显示样式\mathbf{r}_{B}（t）}$ ${\displaystyle=\left（vt\\cos（\theta-\Omega t）-R\sin\Omegat，\right.}$${\显示样式\left.{\颜色{白色}..}vt\sin（\theta-\Omega t）-R\cos\Omega t\right）\.}vt\sin（\theta-\Omega t）-R\cos\Omega t\right）\.}$

简介α作为：

${\displaystyle\alpha=\theta-\Omega t\，}$

速度变为：

${\displaystyle\mathbf{v_{B}}=\左（v\\cos\alpha+vt\Omega\\sin\alpha-\Omega R\\cos\Omega t，\\v\\sin\alpha-vt\Omega\\cos\alpha+\OmegaR\\sin\Ome加t\right）\.}$

如果这个运动是匀速圆周运动，速度将是恒定的。相反，速度由以下公式给出：

${\显示样式v_{B}^{2}=v^{2{+（\Omega R）^{2neneneep+（\O mega vt）^{2}-2\欧米茄^{2} 卢比\sin\theta-2\Omega Rv\cos\theta}{2}-2\欧米茄^{2} 卢比\sin\theta-2\Omega Rv\cos\theta}$

为了确定加速度的分量，本文使用了一个通用表达式惯性力:

$｛\displaystyle\mathbf｛a｝_｛B｝=\mathbf｛a｝_{A} -2个{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{v}_{乙}-｛\boldsymbol｛\Omega｝｝\times（｛\boldsymbol｛\Omega｝｝\times\mathbf｛r｝_｛B｝）-｛\frac｛d｛\boldsymbol｛\Omega｝｝｛dt｝｝\times\mathbf｛r｝_｛B｝，｝{A} -2个{\boldsymbol{\Omega}}\times\mathbf{v}_{乙}-｛\boldsymbol｛\Omega｝｝\times（｛\boldsymbol｛\Omega｝｝\times\mathbf｛r｝_｛B｝）-｛\frac｛d｛\boldsymbol｛\Omega｝｝｛dt｝｝\times\mathbf｛r｝_｛B｝，｝$

其中，术语Ω×v_B类是科里奥利加速度和中的项-Ω×（Ω×r_B类)是离心加速度。结果是（设α=θ−Ωt吨):

${\displaystyle{\boldsymbol{\Omega}}\mathbf{\times r_{B}}={\begin{vmatrix}{\bodsymbol{i}}&{\bolsymbol}j}}&}\boldsymbol{k}}\\0&\Omega \\vt\cos\alpha-r\sin\Omeca t&vt\sin\alpha-r\cos\Omega t&0\end{vmetrix}}$

${\displaystyle=\Omega tv\left（-\sin\alpha，\cos\alpha\right）+\ left（R\cos\Omega t，\-R\sin\Omegat）\，}$

${\displaystyle{\boldsymbol{\Omega\\times}}\ left（{\bolssymbol}\Omega}}\mathbf{\times r_{B}}\ right）={\begin{vmatrix}{\bold symbol{i}}&{\boltsymbol}j}}和{\bollsymbol\k}}\\0&0\\Omega \\-\Omeba tv\sin\alpha+r\cos\Omega tv&\cos\alpha r\sin\Omegan tv&0 \结束{vmatrix}}\\}$

生成离心加速度:

${\显示样式\mathbf{a_{\mathrm{Cfgl}}=\Omega^{2}\mathbf{r_{B}}（t）\.}$

继续计算科里奥利力：

${\displaystyle{\boldsymbol{\Omega}}\mathbf{\times v_{B}}={\begin{vmatrix}\！{\粗体符号{i}}&\！{\粗体符号{j}}&\！｛\boldsymbol｛k｝｝\\0&0&\Omega\\v\cos\alpha\quad&v\sin\alpha\quad&\quad\\+\欧米茄t\v\sin\alpha-\Omega R\cos\Omega t&\-\欧米茄t\v\cos\alpha+\Omega R\sin\Omegat&0\end{vmatrix}}\\，}{\粗体符号{i}}&\！{\粗体符号{j}}&\！｛\boldsymbol｛k｝｝\\0&0&\Omega\\v\cos\alpha\quad&v\sin\alpha\quad&\quad\\+\欧米茄t\v\sin\alpha-\Omega R\cos\Omega t&\-\欧米茄t\v\cos\alpha+\Omega R\sin\Omegat&0\end{vmatrix}}\\，}$

产生科里奥利加速度：

$｛\displaystyle\mathbf｛a_｛\mathrm｛Cor｝｝｝＝-2｛\boldsymbol｛\Omega｝｝\times\mathbf｛v｝_｛B｝＝2\Omega v\left（\sin\alpha，\-cos \alpha\right）-2\ Omega ^｛2｝\mathbf｛r_｛B｝｝｝（t）\。｝$

可以看出，科里奥利加速度的最后一项不仅抵消了离心加速度，而且它们共同提供了径向向内（即朝向旋转中心）的净“向心”加速度分量：

${\显示样式\mathbf{a_{\mathrm{Cptl}}=-\Omega^{2}\mathbf{r_{B}}（t）\.}$

科里奥利加速度的另一个分量由以下公式给出：

$｛\displaystyle\mathbf｛a_｛C\perp｝｝＝2\Omega v\left（\sin\alpha，\-\cos\alpha\right）\，｝$

垂直于第页_B类 （t）+R（右） （t）使用矢量R（右） （t）=R（右）（正弦Ωt，cosΩt）:

${\显示样式\mathbf{r_{B}}（t）+\mathbf{r}（t）=vt\\left（\cos\alpha，\right.}$${\显示样式\left.{\颜色{白色}..}\sin\alpha\right）\.}\sin\alpha\right）\.}$

如果投掷者站在地面上而不是旋转木马上，那么最初的投掷点是6点钟。该位置在旋转框架中看起来是顺时针旋转的，由R（右） （t）旋转轴（虚线笑脸）。向量第页_B类 （t）+R（右） （t）从投篮手那里找到球。在任何特定时间，托球手到球的距离在两帧中都是相同的，并且与旋转速度无关，如图中托球手发出的绿色箭头所示：

${\显示样式\left|\mathbf{r_{B}}（t）+\mathbf{r}（t）\right|=vt\.}$

旋转框架中的加速度“向心”分量类似于圆周运动在半径处第页_B类，而垂直分量与速度有关，随着速度的增加而增加v（v）并指向速度的右侧。这种情况可以描述为围绕旋转中心的圆周运动，并伴有2Ω的侧向“科里奥利加速度”v（v）然而，这是一个粗略的标签：对真实情况的仔细指定向心力指的是局部参照系它使用与路径垂直和相切的方向，而不是指旋转轴的坐标。

这些结果也可以通过以下两个时间微分直接获得第页_B类 （t）.

观察

根据这一分析，出现了一个重要的问题：全部的必须包括惯性力才能获得正确的轨迹。特别是，除了科里奥利力离心力起着至关重要的作用。人们很容易从对球问题的口头讨论中得到这样的印象，这些讨论侧重于展示科里奥利力，科里奥利力量是唯一必须考虑的因素；显然，情况并非如此。科里奥利力作用的转台是唯一的因素是抛物线转台，这是一种凹形转台，其形状可以通过曲率提供弯曲路径的离心力倾斜转弯.

一个较为复杂的情况是长距离飞行路线的理想示例，其中路径的离心力和航空升降机被反击引力.

笔记

编辑说明：有关本文中脚注格式的指导，请参阅CZ：列表定义的参考.