在数学，的连续体假说是指任何任意无穷实数集的元素数量都与实数相同，或者只有与自然数一样多的元素（即没有中间大小）。这等同于声明实数和最小集合中的元素一样多它比自然数大。
由于实数集（或实线）也称为连续体这可以简单地表示为：
任何一组实数都是可数的或等效于连续体。
此声明最初由康托（1877）当他研究实直线的子集时。康托（他介绍了布景和基数)相信这是真的，但徒劳地试图证明。
从那时起，它在很长一段时间里一直是一个需要解决的突出的开放式数学问题。1900年，大卫·希尔伯特把连续体假设作为第一个问题，因此也被称为“第一希尔伯特问题", 在他关于20世纪23个问题的著名演讲中。
1938年，库尔特·哥德尔迈出了解决方案的第一步谁证明了这一点？在集合论中，包括选择公理–（广义的）连续体假说不能被证明是错误的（因此是一致的）。直到1963年，保罗·寇恩表明这也无法证明。因此，连续统假设与通常的假设无关集合论公理.因此，它是一个重要而非人工构建的示例哥德尔的第二不完全性定理.
因此，要么是连续体假设，集合论的公理中可以加入一些相互矛盾的假设。但是，与选择公理的情况相反没有启发性的令人信服的理由来选择这些可能性之一，“工作”数学家通常不使用连续统假设，如果结果依赖于它，那么它会被明确提及。
当然，在公理集合论中，尤其是基数和序数, 情况有所不同并且广泛研究了关于连续统假设的各种选择的后果。
这个广义连续统假设是一个更有力的陈述涉及超限基数的初始序列，也独立于ZFC。
根据基数运算（由康托介绍），连续统假设如下
而广义连续体假设是
乔治·坎托1877
连续统假设出现在坎托的回忆录中（日期为哈雷·a.S.，1877年7月11日，1878年出版）他在其中研究实数集。他最后说了以下话：
- Darnach würden die linearen Mannigfaltigkiten aus zwei Klassen bestehen von denen die erste alle Mannigfaltigkiten in sich fasst，welche sich auf die Form：功能芯片。ν（不νalle positiven ganzen Zahlen durchläuft）卤素拉森；während die zweite Klasse alle diejenigen Mannigfaltigkeiten in sich aufnimmt，welche auf die Form:函数ips。x个（不x个所有重复次数≥0和≤1次）。Entsprechend diesen beiden Klassen würden daher bei unendlichen linearen Mannigfaltigkeiten nur zweierlei Mächtigkeiten vorkommen；die genaue Untersuchung dieser Frage verschieben wir auf eine spätere Gelegenheit公司。
本段自由翻译如下：
- 因此，线性流形将由两类组成，其中第一类包含所有形式的流形：函数ν（其中ν取所有正整数）；而第二类包含所有形式的流形：函数x个（其中x个取所有值≥0且≤1）。因此，对应于这两类，无限线性流形只有两个基数；对这个问题的详细调查将推迟到以后再进行。
大卫·希尔伯特1900
在他关于数学问题, 1900年在巴黎举行的国际数学家大会上，David Hilbert将连续体假设表述如下：
- 1.康托斯问题von der Mächtigkeit des Continuums。
Zwei Systeme，d.h.Zwei Mengen von gewöhnlichen reellen Zahlen（order Punkten）heißen nach Cantor aequivalent order von gleicher Mächtiggeit，wenn sie zu einander in eine derartige Beziehung gebracht werden können，da.einer jeden Zahl der einen Menge eine und nur eine bestimmte Zahl deren Menge entspricht。Die Untersuchungen von Cantorüber solche Punktmengen machen einen Satz sehr wahrscheinlich，dessen Beweis jedoch trotz eifroster Bemühungen bisher noch Niemanden gelungen ist；dieser Satz lautet公司：
Jedes System von unendlich vielen reellen Zahlen d.h.jede unendliche Zahlen-（oder Punkt）menge is entweder der menge der ganzen natürlichen Zahlen 1、2、3。。。在Menge sämmtlicher reellen Zahlen和mithin dem Continuum的情况下，d。h；im Sinne der Aeqivalenz giebt es hiernach nur zwei Zahlenmengen，die abzählbare Menge und das Continuum我是埃基瓦伦兹·吉贝特·埃贝特·埃尔纳赫·努尔·扎赫伦门根，我是阿巴巴拉·门格和达斯·康.
Aus diesem Satz würde zugleich folgen，daßdas Continuum die nächste Mächtigkeitüber die Mächitkeit der abzählbaren Mengen hinaus bildet；Beweis去世Satzes würde mithin eine neue Brücke schlagen zwischen der abzählbaren Menge und dem Continuum。
在1902年出版的英文译文中：
- 1.连续统基数的康托问题
两个系统，即。，两个普通实数或点的集合称为（根据康托）等价或相等基数若它们可以相互关联，使一个集合中的每一个数对应于另一个的一个且仅对应于一个确定数。康托对这种点集合的研究表明了一个非常合理的定理，尽管付出了最艰苦的努力，但没有人成功地证明了这个定理。这就是定理：
每个无穷多实数系统，即。，每个数（或点）的集合，或者等价于自然整数的集合，1，2，3，。。。或者所有实数的集合，因此也就是连续体，也就是直线的点；因此，在等价性方面，只有两种数字集合，即可数集合和连续统。
根据这个定理，可以立即得出连续统的下一个基数超过了可数集合的基数；因此，这个定理的证明将在可数集合和连续体之间架起一座新的桥梁。
希尔伯特继续这个问题，现在称为“第一希尔伯特问题”，描述了康托的另一个未经证实的主张（他认为可能与此相关），即声明有一个井然有序真正的数字。然而，这一特性是选择公理的结果。
库尔特·哥德尔1947
库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）在一篇文章中（发表于1947年，在他的证明之后，科恩的结果之前）认为即使连续体假说最终会独立（如他所料）这并不意味着它根本无法解决：
- 在可验证的结果中可能存在如此丰富的公理，为整个学科提供如此多的启示，并为解决给定问题提供如此强大的方法（甚至尽可能以建构主义的方式解决这些问题）无论它们的内在必要性如何，都必须假定它们至少与任何公认的物理理论具有相同的意义。
他继续讨论了几个支持他的立场的论点连续体假说可能是错误的。
