连续性

在数学，的概念连续性函数的定义是指函数的“值”不应因其参数的任何“微小”变化而突然跳转。考虑函数连续性的另一种方法是，函数参数中的任何“小”变化只能对函数值产生相应的“小”改变。

连续性的正式定义

我们可以从${\显示样式\delta-\epsilon}$通常在一年级微积分课程中讲授的一般拓扑空间的形式主义。

实变量的函数

这个${\显示样式\delta-\epsilon}$形式主义定义了将实数集映射到函数本身的函数的极限和连续性。为了进行比较，我们记得在这个级别上，一个函数被称为是连续的$｛\displaystylex_｛0｝\in\mathbb｛R｝｝$if（定义在${\显示样式x_{0}}$和）对于任何${\displaystyle\varepsilon>0}$存在${\显示样式\delta>0}$这样的话

${\displaystyle|x-x_{0}|<\delta\表示|f（x）-f（x{0}）|<\varepsilon.\，}$

简单地说限制

${\显示样式\lim_{x\到x_{0}}f（x）=f（x{0}）。}$

连续性的定义直接扩展到复杂的变量。

度量空间上的函数

A函数（f）来自度量空间 ${\显示样式（X，d）}$到另一个度量空间${\显示样式（Y，e）}$是连续的在某一点上${\显示样式x_{0}\在x}中$如果是所有人${\displaystyle\varepsilon>0}$存在${\显示样式\delta>0}$这样的话

$显示样式d（x，x{0}）<delta\表示e（f（x），f（x{0{））<varepsilon$

如果我们允许${\显示样式B_{d}（x，r）}$表示开球半径的第页圆x个在里面X（X），以及类似的${\显示样式B_{e}（y，r）}$表示开球半径的第页圆年在里面Y（Y），我们可以用回拉来表示这种情况${\显示样式f^{\dashv}}$

${\显示样式f^{\dashv}[B_{e}（f（x），\varepsilon）]\supseteq B_{d}（x，\delta）.\，}$

拓扑空间上的函数

来自A的函数f拓扑空间 ${\显示样式（X，O_{X}）}$到另一个拓扑空间${\显示样式（Y，O_{Y}）}$，通常写为${\显示样式f:（X，O_{X}）\右箭头（Y，O_{Y}）}$，据说是连续的在这一点上${\在x}中显示样式x\$如果每个开式集合 $O_{y}}中的显示样式U_{y}$包含点y=f（x），存在一个开放集$在O_{x}}中显示样式U_{x}$包含x个这样的话${\显示样式f（U_{x}）\子集U_{y}}$.在这里${\显示样式f（U_{x}）=\{f（x'）\in Y\mid x'\in U_{x}\}}$。在这个定义的变体中，不是开放集，${\显示样式U_{x}}$和${\显示样式U_{y}}$可以分别视为街区属于x个和附近${\显示样式y=f（x）}$.

连续功能

如果函数（f）每个点都是连续的${\在x}中显示样式x\$那么它被称为连续函数。还有一个重要的相等的不处理单个点但使用“全局”方法的定义。它可能便于拓扑考虑，但在经典分析中可能不太方便。A函数${\显示样式f:（X，O_{X}）\右箭头（Y，O_{Y}）}$如果对于任何开集，则称为连续$在O_{Y}}中显示样式U$（分别为，闭子集属于Y（Y）)成套设备${\显示样式f^{-1}（U）=\{x\in x\mid f（x）\in U\}}$是一个开放集${\显示样式O_{x}}$（分别是X（X）).