条件（概率）

信念取决于可用信息。这个想法在概率论通过条件作用.有条件概率，有条件期望和有条件分配分三个级别进行处理：离散概率,概率密度函数、和测量理论.如果条件完全指定，则条件会导致非随机结果；否则，如果条件是随机的，条件作用的结果也是随机的。

这篇文章集中讨论了各种条件作用之间的相互关系，主要通过例子来说明。

离散水平的调节

例子。一枚公平的硬币被掷了10次；这个随机变量 ${\显示样式X}$是这10次投掷中的头部数量，以及${\显示样式Y}$-前三次投掷中的头球数。尽管事实上${\显示样式Y}$出现在之前${\显示样式X}$可能有人知道${\显示样式X}$但不是${\显示样式Y}$.

条件概率

鉴于此${\显示样式X=1，}$事件的条件概率${\显示样式Y=0}$是${\显示样式P（Y=0|X=1）=P（Y=0.，X=1$一般来说，

${\displaystyle\mathbb{P}（Y=0|X=X）={\frac{\binom{7}{X}}{\binom{10}{X{}}={\frac{7！（10-X）！}{（7-X）！10！}}}$

对于${\显示样式x=0,1,2,3,4,5,6,7；}$否则（对于${\显示样式x=8,9,10}$),${\显示样式P（Y=0|X=X）=0.}$也可以将条件概率视为随机变量，即随机变量的函数${\显示样式X}$即，

${\displaystyle\mathbb{P}（Y=0|X）={\begin{cases}{\binom{7}{X}}/{\binom{10}{X{}}&{\text{for}X\leq7，\\0&{text{for}X>7$

这个期望这个随机变量的概率等于（无条件的）概率，

${\displaystyle\mathbb{E}（\mathbb}P}（Y=0|X））=\sum_{X}\mathbb{P}$

即，

${\displaystyle\sum_{x=0}^{7}{\frac{\binom{7}}{\binom{10}{x}}}\cdot{\frac{1}{2^{10}}{$

它是全概率定律 ${\显示样式E（P（A|X））=P（A）.}$

因此，${\显示样式P（Y=0|X=1）}$可以被视为随机变量的值${\显示样式P（Y=0|X）}$对应于${\显示样式X=1.}$另一方面，${\显示样式P（Y=0|X=1）}$定义明确，不考虑其他可能的值${\显示样式X}$.

有条件的期望

鉴于此${\显示样式X=1，}$随机变量的条件期望${\显示样式Y}$是${\显示样式E（Y|X=1）=0.3.}$一般来说，

${\displaystyle\mathbb{E}（Y|X=X）={\frac{3}{10}}X}$

对于${\显示样式x=0，…，10.}$（在本例中，它似乎是一个线性函数，但通常是非线性的。）人们也可以将条件期望视为随机变量，即随机变量的函数${\显示样式X}$即，

${\displaystyle\mathbb{E}（Y|X）={\frac{3}{10}}X}$

这个随机变量的期望值等于${\显示样式Y}$,

$｛\displaystyle\mathbb｛E｝（\mathbb｛E｝（Y|X））=\sum_｛X｝\mathbb｛E｝（Y|X=X）\mathbb｛P｝（X=X）=\mathbb｛E｝（Y），｝$

即，

${\displaystyle\sum_{x=0}^{10}{\frac{3}{10}}x\cdot{1}{2^{10{}}{\binom{10}{x}}={\frac{3}{2}}\，，}$或者简单地${\显示样式\mathbb{E}{\大（}{\frac{3}{10}}X{\Big）}={\frac{3}}{10{}}\mathbb{E}（X）={\frac{3{10}{cdot 5={\frac{3}{2}}\，，}$

它是总期望定律 ${\显示样式E（E（Y|X））=E（Y）.}$

随机变量${\显示样式E（Y|X）}$是最佳预测${\显示样式Y}$鉴于${\显示样式X}$也就是说，它最小化了均方误差${\显示样式E（Y-f（X））^{2}}$关于形式的所有随机变量类${\显示样式f（X）.}$这类随机变量保持不变，如果${\显示样式X}$被替换为${\显示样式2X.}$因此，${\显示样式E（Y|2X）=E（Y=X）。}$这并不意味着${\显示样式E（Y|2X）=0.3\cdot 2X；}$相反，${\显示样式E（Y|2X）=0.15\cdot 2X=0.3X.}$特别地，${\显示样式E（Y|2X=2）=0.3.}$一般来说，$｛\displaystyle E（Y|g（X））=E（Y|X）｝$对于每个功能${\显示样式g}$这是所有可能值的集合上的一对一${\显示样式X}$。的值${\显示样式X}$无关；重要的是分区（表示为α_{${\显示样式X}$})

${\displaystyle\Omega=\{X=X_{1}\}\uplus\{X=X_{2}\}\ uplus\dots}$

样本空间的${\显示样式\Omega}$成不相交集${\显示样式\{X=X_{n}\}.}$（此处${\显示样式x{1}、x{2}、\点}$所有可能的值都是${\显示样式X}$.）给定任意分区${\显示样式\alpha}$属于${\显示样式\Omega}$，可以定义随机变量${\显示样式E（Y|\alpha）。}$尽管如此，${\显示样式E（E（Y|\alpha））=E（Y）。}$

条件概率可以被视为条件期望的一个特例。也就是说，${\显示样式P（A|X）=E（Y|X）}$如果${\显示样式Y}$是指示器属于$｛\displaystyle A｝$因此，条件概率也取决于分区${\显示样式\alpha_{X}}$由生成${\显示样式X}$而不是打开${\显示样式X}$自身；${\显示样式P（A|g（X））=P（A=X）=P$ ${\displaystyle\alpha=\alpha_{X}=\alfa_{g（X）}.}$

另一方面，对事件的条件作用${\显示样式B}$定义明确，前提是${\显示样式P（B）\neq 0，}$不考虑任何可能包含${\显示样式B}$作为几个部分之一。

条件分布

鉴于${\显示样式X=X，}$的条件分布${\显示样式Y}$是

${\displaystyle\mathbb{P}（Y=Y|X=X）={\frac{{\binom{3}{Y}}{\binom{7}{X-Y}}}{\ binom{10}{X}}}={\frac{{\ binom{X}{Y{}}{$

对于${\显示样式0\leqy\leqmin（3，x）.}$它是超几何分布 $｛\displaystyle\mathrm｛H｝（x；3,7），｝$或同等标准，$｛\displaystyle\mathrm｛H｝（3；x，10-x）。｝$相应的期望${\显示样式0.3x，}$由通用公式得出${\显示样式n{\压裂{R}{R+W}}}$对于${\显示样式H（n；R，W），}$只不过是有条件的期望${\显示样式E（Y|X=X）=0.3x.}$

治疗${\显示样式H（X；3,7）}$作为随机分布（四维空间中所有测度的随机向量${\显示样式{0,1,2,3\}），}$人们可以接受它的期望，得到${\显示样式Y}$，-该二项分布 $｛\displaystyle\mathrm｛Bin｝（3,0.5）。｝$这一事实等于平等

${\displaystyle\sum_{x=0}^{10}\mathbb{P}（Y=Y|x=x）\mathbb2}（x=x$

对于${\显示样式y=0,1,2,3；}$这就是总概率定律。

密度水平调节

例子。球体的一个点$｛\displaystyle x^｛2｝+y^｛2｝+z^｛2｝=1｝$根据球体上的均匀分布随机选择。随机变量${\显示样式X}$,${\显示样式Y}$,${\显示样式Z}$是随机点的坐标。接头密度${\显示样式X}$,${\显示样式Y}$,${\显示样式Z}$不存在（因为球体的体积为零），但关节密度${\显示样式f_{X，Y}}$属于${\显示样式X}$,${\显示样式Y}$存在，

$f_{X，Y}（X，Y）={\begin{cases}{\frac{1}{2\pi{\sqrt{1-X^{2} -年^{2} }}}}&{\text{if}}x^{2}+y^{2{<1，\\0&{text{otheric}}。\结束{cases}}{2} -年^{2} }}}}&{\text{if}}x^{2}+y^{2{<1，\\0&{text{otheric}}。\结束{cases}}}$

（密度是非恒定的，因为球体和平面之间存在非恒定的角度。）${\显示样式X}$可以通过积分计算，

$f_{X}（X）=\int_{-\infty}^{+\infty}f_{X，Y}（X，Y）^{2} -年^{2}}}}}\,;{2} -年^{2}}}}}\,;}$

令人惊讶的是，结果并不取决于${\显示样式x}$in（-1,1），

${\显示样式f_{X}（X）={\开始｛案例｝0.5&｛\text｛for｝｝-1<x<1，\\0&｛\text｛otherwise｝｝，\end｛cases｝｝｝｛案例｝0.5&｛\text｛for｝｝-1<x<1，\\0&｛\text｛otherwise｝｝，\end｛cases｝｝｝$

也就是说${\显示样式X}$均匀分布在${\显示样式（-1,1）.}$同样适用于${\显示样式Y}$和${\显示样式Z}$（事实上，为了${\显示样式aX+bY+cZ}$无论何时$显示样式a^{2}+b^{2neneneep+c^{2{=1）。}$

条件概率

计算

鉴于此${\显示样式X=0.5，}$事件的条件概率${\显示样式Y\leq 0.75}$是条件密度的积分，

${\displaystyle{\begin{aligned}&f_{Y|X=0.5}（Y）={\frac{f_{X，Y}（0.5，Y）}{f_}X}；\结束{cases}}\\&\mathbb{P}（Y\leq 0.75|X=0.5）=\int_{-\infty}^{0.75}英尺_{Y|X=0.5}（Y）\，\mathrm{d}Y=\\&=\int_{-{\sqrt{0.75}}}^0.75}{\frac{\mathrm{d}Y}{\pi{\sqrt{0.75-Y^{2}}}}={\frac{1}{2}+{\frac:1}{\π}}\arcsin{\sqrt{075}}{6}，。\结束{对齐}}\结束{cases}}\\&\mathbb{P}（Y\leq 0.75|X=0.5）=\int_{-\infty}^{0.75}英尺_{Y|X=0.5}（Y）\，\mathrm{d}Y=\\&=\int_{-{\sqrt{0.75}}}^0.75}{\frac{\mathrm{d}Y}{\pi{\sqrt{0.75-Y^{2}}}}={\frac{1}{2}+{\frac:1}{\π}}\arcsin{\sqrt{075}}{6}，。\结束{对齐}}$

一般来说，

${\displaystyle\mathbb{P}（Y\leqy|X=X）={\frac{1}{2}}+{\frac{1}}{\pi}}\arcsin{\frac:Y}{\sqrt{1-X^{2}{}}}}$

为所有人${\显示样式x}$和${\显示样式y}$这样的话$｛\displaystyle-1＜x＜1｝$（否则为分母${\显示样式f_{X}（X）}$消失）和${\displaystyle\textstyle-{\sqrt{1-x^{2}}}$（否则条件概率退化为0或1）。也可以将条件概率视为随机变量，即随机变量的函数${\显示样式X}$即，

${\displaystyle\mathbb{P}（Y\leqy|X）={\begin{案例}0&{text{for}X^{2}\geq 1-y^{2{text{and}y<0，\\{frac{1}{2}}+{frac}1}{\pi}}\arcsin{\frac{y}{\sqrt{1-X^{2]}}&{text{for}}X^}2}<1-y^}，\\1&{text}for}X^{2}}{2}{\text{and}y>0.\结束{cases}}}{案例}0&{text{for}X^{2}\geq 1-y^{2{text{and}y<0，\\{frac{1}{2}}+{frac}1}{\pi}}\arcsin{\frac{y}{\sqrt{1-X^{2]}}&{text{for}}X^}2}<1-y^}，\\1&{text}for}X^{2}}{2}{\text{and}y>0.\结束{cases}}}$

该随机变量的期望值等于（无条件）概率，

${\displaystyle\mathbb{E}（\mathbb}P}（Y\leqy|X））=\int_{-\infty}^{+\infty}\mathbb{P}$

它是全概率定律 ${\显示样式E（P（A|X））=P（A）.}$

解释

条件概率${\显示样式P（Y\leq 0.75|X=0.5）}$不能解释为${\显示样式P（Y\leq 0.75，X=0.5）/P（X=0.5$因为后者给出了0/0。因此，${\显示样式P（Y\leq 0.75|X=0.5）}$无法通过经验频率进行解释，因为精确值${\显示样式X=0.5}$没有机会随机出现，甚至在无限序列的独立试验中也不会出现一次。

条件概率可以被解释为极限，

${\displaystyle{\begin{aligned}和\mathbb{P}（Y\leq0.75|X=0.5）=\lim_{\varepsilon\ to 0+}\mathbb{P}（Y\Leq0.75|1.5-\varepsilon<X<0.5+\varepsi lon）=\&=\lim _{\varepsilon\ to0+}{\frac{\mathbb2{P}（Y \leq 0.75,0.5-\varebsilon<X<0.5+\vareb）}{\mathbb{P}（0.5-\varepsilon<X<0.5+\varepsilon）}}=\\&=lim_{\varepsi lon到0+}{\frac{\int_{0.5-\varepsilon}^{0.5+\varepsilon}\mathrm{d}x\int__{-\infty}^{0.75}\mathr{d}y\，f_{x，y}（x，y）}{int_{0.5m-\varesilon}^{05+\varesilion}\mathrm{d{x\，f_{x}（x）}}，。\结束{对齐}}{\frac{\int_{0.5-\varepsilon}^{0.5+\varepsilon}\mathrm{d}x\int__{-\infty}^{0.75}\mathr{d}y\，f_{x，y}（x，y）}{int_{0.5m-\varesilon}^{05+\varesilion}\mathrm{d{x\，f_{x}（x）}}，。\结束{对齐}}$

有条件的期望

条件期望${\显示样式E（Y|X=0.5）}$没什么意思；它只是通过对称性消失。计算起来更有趣${\显示样式E（|Z||X=0.5）}$处理|${\显示样式Z}$|作为的函数${\显示样式X}$,${\显示样式Y}$:

${\displaystyle{\begin{aligned}&|Z|=h（X，Y）={\sqrt{1-X^{2} -是^{2}}}\,;\\&\矩阵{E}（|Z||X=0.5）=\int_{-\infty}^{+\infty}h（0.5，y）f_{y|X=0.5}（y）^{2}}}}={\frac{2}{\pi}}{\sqrt{0.75}}\，。\结束{对齐}}{2} -是^{2}}}\,;\\&\矩阵{E}（|Z||X=0.5）=\int_{-\infty}^{+\infty}h（0.5，y）f_{y|X=0.5}（y）^{2}}}}={\frac{2}{\pi}}{\sqrt{0.75}}\，。\结束{对齐}}$

一般来说，

${\displaystyle\mathbb{E}（|Z||X=X）={\frac{2}{\pi}}{\sqrt{1-X^{2}}}}$

对于${\显示样式-1<x<1.}$也可以将条件期望视为随机变量，即随机变量X的函数，

${\displaystyle\mathbb{E}（|Z||X）={\frac{2}{\pi}}{\sqrt{1-X^{2}}}\，.}$

这个随机变量的期望值等于${\显示样式|Z|，}$

${\displaystyle\mathbb{E}（\mathbb}（|Z||X）$

即，

${\displaystyle\int_{-1}^{+1}{\frac{2}{\pi}}{\sqrt{1-x^{2}}}\cdot{\frac{\mathrm{d}x}{2}}={\ frac{1}{2{}\，}$

它是总期望定律 ${\显示样式E（E（Y|X））=E（Y）.}$

随机变量${\显示样式E（|Z||X）}$是最佳预测${\显示样式|Z|}$鉴于${\显示样式X}$也就是说，它最小化了均方误差${\显示样式E（|Z|-f（X））^{2}}$关于形式的所有随机变量类${\显示样式f（X）.}$与离散情况类似，${\显示样式E（|Z||g（X））=E（|Z ||X）}$对于每个可测函数${\显示样式g}$那是一对一${\显示样式（-1,1）.}$

条件分布

鉴于${\显示样式X=X，}$的条件分布${\显示样式Y}$，由密度给出$｛\displaystylef_{Y|X=X｝（Y），｝$是（重标的）arcsin分布；其累积分布函数为

$F_{Y|X=X}（Y）=\mathbb{P}（Y\leqy|X=X）={\frac{1}{2}}+{\frac{1}}{\pi}}\arcsin{\frac-Y}{\sqrt{1-X^{2}{}}}$

为所有人${\显示样式x}$和${\显示样式y}$这样的话${\显示样式x^{2}+y^{2{<1.}$相应的期望${\显示样式h（x，Y）}$只不过是有条件的期望${\显示样式E（h（X，Y）|X=X）。}$这个混合物所有条件分布${\显示样式x}$（根据${\显示样式X}$)是无条件分配${\显示样式Y}$这个事实等于相等

${\显示样式{\开始{aligned}&\int_{-\infty}^{+\infty}f_{Y|X=X}（Y）f_{X}（X）}}$

后者是全概率定律的实例上述.

什么是条件反射

在离散水平上，只有当条件的概率为非零（不能除以零）时，才可能进行条件处理。在密度水平上，调节${\显示样式X=X}$即使这样也有可能${\显示样式P（X=X）=0.}$这种成功可能会造成一种错觉，即条件反射总是可能。遗憾的是，事实并非如此，原因如下。

几何直觉：谨慎

结果${\显示样式P（Y\leq 0.75|X=0.5）=5/6，}$上面提到的，在以下意义上是几何上明显的。要点${\显示样式（x，y，z）}$球体的${\显示样式x^{2}+y^{2neneneep+z^{2{=1，}$满足条件${\显示样式x=0.5，}$是一个圆${\显示样式y^{2}+z^{2{=0.75}$半径的${\显示样式{\sqrt{0.75}}}$在飞机上${\显示样式x=0.5.}$不平等${\显示样式y\leq 0.75}$保持在弧上。弧的长度是圆长度的5/6，这就是条件概率等于5/6的原因。

这种成功的几何解释可能会造成以下问题微不足道的错觉。

给定球体的一个点是随机（一致）选择的。假设点位于给定平面上，它的条件分布是什么？

显然，条件分布必须在给定的圆（给定球体和给定平面的交点）上均匀。有时确实如此，但总的来说并非如此。特别是，${\显示样式Z}$均匀分布在$｛\displaystyle（-1，+1）｝$并且与比率无关$｛\displaystyle Y/X，｝$因此，${\显示样式P（Z\leq 0.5|Y/X）=0.75。}$另一方面，不平等${\显示样式z\leq 0.5}$保持在圆的圆弧上${\显示样式x^{2}+y^{2neneneep+z^{2{=1，}$ ${\显示样式y=cx}$（对于任何给定的${\显示样式c}$). 弧的长度是圆长度的2/3。然而，条件概率是3/4，而不是2/3。这是经典Borel悖论的表现 .

“如果不将对称性形式化为不变性论证，那么对对称性的诉求可能会产生误导。”波拉德

另一个例子。A类随机旋转三维空间的旋转是围绕随机轴以随机角度旋转。几何直觉表明，角度与轴无关，且均匀分布。然而，后者是错误的；角度值较小的可能性较小。

限制程序

给定一个事件${\显示样式B}$零概率的公式${\displaystyle\textstyle\mathbb{P}（A|B）=\ mathbb}P}$没用，但是，你可以试试${\displaystyle\textstyle\mathbb{P}（A|B）=\lim_{n\to\infty}\mathbb2{P}（A\cap B_{n}）/\mathbb{P}-（B_{n}）}$对于适当的事件序列${\显示样式B_{n}}$非零概率${\显示样式B_{n}\向下箭头B}$（即，${\displaystyle\textstyle B_{1}\supset B_{2}\supset\dots}$和${\displaystyle\textstyle B_{1}\cap B_}2\cap\dots=B}$). 给出了一个示例在上面。另外两个例子是布朗桥与布朗远足.

在后两个例子中，由于只给出了一个事件（条件），所以总概率定律无关。相反，在这个例子中在上面全概率定律应用，自事件以来${\显示样式X=0.5}$包含在一系列活动中${\显示样式X=X}$哪里${\显示样式x}$跑过${\显示样式（-1,1），}$这些事件是概率空间的一个分区。

为了避免矛盾（例如博雷尔悖论)，应考虑以下重要区别。如前所述，如果给定事件具有非零概率，则对其进行条件处理是明确定义的（与任何其他事件无关）在上面相反，如果给定事件的概率为零，则除非提供了一些额外的输入，否则对它的条件是不确定的。这种额外输入的错误选择会导致错误的条件概率（期望值、分布）。从这个意义上说，“对于概率等于0的孤立假设，条件概率的概念是不可接受的。" (科尔莫戈罗夫; 引用于).

附加输入可以是（a）对称（不变性组）；（b） 一连串的事件${\显示样式B_{n}}$这样的话${\显示样式B_{n}\向下箭头B，}$ $显示样式P（B_{n}）>0；}$（c） 包含给定事件的分区。测量理论条件作用（下文）调查案例（c），揭示其与（b）的一般关系以及与（a）的关系（如适用）。

一些概率为零的事件超出了条件作用的范围。示例：let${\显示样式X_{n}}$是均匀分布在上的独立随机变量$｛\displaystyle（0,1），｝$和${\显示样式B}$事件“${\显示样式X_{n}\到0}$作为${\显示样式n\to\infty}$“；怎么样$显示样式P（X_{n}<0.5|B）？}$它倾向于1吗？另一个例子：let${\显示样式X}$是均匀分布在上的随机变量$｛\displaystyle（0,1），｝$和${\显示样式B}$事件“${\显示样式X}$是有理数吗${\显示样式P（X=1/n|B）？}$唯一的答案是，“关于概率等于0的孤立假设的条件概率的概念是不可接受的。”).

测量理论层面的条件反射

例子。让${\显示样式Y}$是均匀分布在上的随机变量$｛\displaystyle（0,1），｝$和${\显示样式X=f（Y）}$哪里${\显示样式f}$是给定的函数。以下对两例患者进行治疗：$显示样式f=f{1}}$和$显示样式f=f{2}，}$哪里${\显示样式f{1}}$是连续分段线性函数

${\显示样式f_{1}（y）={\开始{案例}3y&{text{for}0\leqy\leq1/3，\\1.5（1-y）&{text{fro}1/3，\\0.5&{text}for}2/3\leqy \leq1，\end{cases}}{案例}3y&{text{for}0\leqy\leq1/3，\\1.5（1-y）&{text{fro}1/3，\\0.5&{text}for}2/3\leqy \leq1，\end{cases}}$

和${\显示样式f{2}}$无处不在是连续的，但无处不在Weierstrass函数.

几何直觉：谨慎

在这种情况下$显示样式f=f_{1}，}$鉴于${\显示样式X=0.75，}$的两个值${\显示样式Y}$可能为0.25和0.5。很明显，这两个值的条件概率都是0.5，因为一个点与另一个点是一致的。然而，这是一种错觉；请参见下文。

条件概率

条件概率${\显示样式P（Y\leq 1/3|X）}$可以定义为指标的最佳预测值

${\显示样式I={\开始{案例}1&{\text{if}}Y\leq 1/3，\\0&{\text}否则}}，\end{cases}}}{案例}1&{\text{if}}Y\leq 1/3，\\0&{\text}否则}}，\end{cases}}}$

给定X，即使均方误差最小${\显示样式E（I-g（X））^{2}}$关于形式的所有随机变量类${\显示样式g（X）.}$

在这种情况下$显示样式f=f{1}}$相应的函数${\显示样式g=g{1}}$可以明确计算，

${\显示样式g{1}（x）={\开始{案例}1&{\text{for}0<x<0.5，\\0&{text{for}x=0.5，\\1/3&{text}for}0.5<x<1.\end{cases}}}{案例}1&{\text{for}0<x<0.5，\\0&{text{for}x=0.5，\\1/3&{text}for}0.5<x<1.\end{cases}}}$

或者，可以使用限制程序，

$g_{1}（x）=\lim_{\varepsilon\ to 0+}\mathbb{P}（Y\leq 1/3|x-\varepsilon\leq x\leq x+\varepsi lon）\，，$

给出了相同的结果。

因此，$显示样式P（Y\leq 1/3|X）=g_{1}（X）。}$该随机变量的期望值等于（无条件）概率，${\显示样式E（P（Y\leq 1/3|X））=P（Y\ leq 1/3），}$即，

${\显示样式1\cdot\mathbb{P}（X<0.5）+0\cdot\mathbb{P}（X=0.5）+{\frac{1}{3}}\cdot\ mathbb}（X>0.5）=1\cdot{1}}{6}}+0\cdot{\frac{1}{3}+{\frac{1{3}{}\cdot \压裂{1}{3}}{\大）}={\压裂{1'{3}{\，，}$

它是全概率定律 ${\显示样式E（P（A|X））=P（A）.}$

在这种情况下$显示样式f=f{2}}$相应的函数${\显示样式g=g{2}}$可能无法明确计算。尽管如此，它仍然存在，并且可以用数值计算。事实上空间 ${\显示样式L_{2}（\Omega）}$在所有平方可积随机变量中希尔伯特空间; 指示器$｛\displaystyle I｝$是该空间的向量；和形式的随机变量${\显示样式g（X）}$是一个（封闭的线性）子空间。这个向量到这个子空间的正交投影是明确定义的。它可以通过使用无限维希尔伯特空间的有限维近似值进行数值计算。

再次，随机变量的期望$显示样式P（Y\leq 1/3|X）=g_{2}（X）}$等于（无条件的）概率，${\显示样式E（P（Y\leq 1/3|X））=P（Y\ leq 1/3），}$即，

${\显示样式\int_{0}^{1} 克_{2} （f{2}（y））\，\mathrm{d}y={frac{1}{3}}\，.}{1} 克_{2} （f{2}（y））\，\mathrm{d}y={frac{1}{3}}\，.}$

然而，希尔伯特空间方法处理${\显示样式g{2}}$作为函数的等价类而不是单个函数。可测量性${\显示样式g{2}}$确保了，但连续性（甚至黎曼可积性)不是。价值观$显示样式g{2}（0.5）}$是唯一确定的，因为点0.5是${\显示样式X}$.其他值${\显示样式x}$不是原子，因此对应的值$显示样式g{2}（x）}$不是唯一确定的。再一次，”对于概率等于0的孤立假设，条件概率的概念是不可接受的。“（科尔莫戈罗夫，引自).

或者，使用相同的功能${\显示样式g}$（顺其自然${\显示样式g{1}}$或${\显示样式g{2}}$)可以定义为Radon-Nikodym衍生物

$g={\frac{\mathrm{d}\nu}{\mathr{d}\mu}}\，，$

其中，度量μ、ν定义为

${\显示样式{\开始{对齐}\mu（B）&=\mathbb{P}（X\在B中）$

对于所有Borel集合${\显示样式B\subset\mathbb{R}.}$也就是说，μ是${\显示样式X}$，而ν是其条件分布的三分之一，

${\displaystyle\nu（B）=\mathbb{P}（X\ in B|Y\leq 1/3）\mathbb2{P}（Y\leq1/3）={\frac{1}{3}}\mathbb{P}-（X\ inB|Y\ leq1/3$

两种方法（通过希尔伯特空间和Radon-Nikodym导数）处理${\显示样式g}$作为函数的等价类；两个功能${\显示样式g}$和${\显示样式g'}$被视为等效，如果${\显示样式g（X）=g'（X）}$几乎可以肯定。因此，条件概率${\显示样式P（Y\leq 1/3|X）}$被视为随机变量的等价类；像往常一样，如果两个随机变量几乎相等，则将其视为等价的。

有条件的期望

条件期望${\显示样式E（Y|X）}$可以定义为${\显示样式Y}$鉴于${\显示样式X}$也就是说，它最小化了均方误差${\显示样式E（Y-h（X））^{2}}$关于形式的所有随机变量类${\显示样式h（X）.}$

在这种情况下$显示样式f=f{1}}$相应的函数${\显示样式h=h{1}}$可以明确计算，

${\显示样式h{1}（x）={\开始{案例}x/3&{\text{for}0<x<0.5，\\5/6&{text{for}x=0.5，\\（2-x）/3&{text}for}0.5<x<1.\end{cases}}{案例}x/3&{\text{for}0<x<0.5，\\5/6&{text{for}x=0.5，\\（2-x）/3&{text}for}0.5<x<1.\end{cases}}$

或者，可以使用限制程序，

${\显示样式h_{1}（x）=\lim_{\varepsilon\到0+}\mathbb{E}（Y|x-\varepsilon\leqX\leqx+\varepsi lon）\，，}$

给出了相同的结果。

因此，${\显示样式E（Y|X）=h_{1}（X）.}$该随机变量的期望值等于（无条件）期望值，${\显示样式E（E（Y|X））=E（Y），}$即，

${\显示样式{\开始{aligned}&\int_{0}^{1} 小时_{1} （f_｛1｝（y））\，\mathrm｛d｝y=\ int _｛0｝^｛1/6｝｛\frac｛3y｝｛3｝｝\，\mathrm｛d｝y+\\&&quad+\ int _｛1/6｝^｛1/3｝｛2-3y｝｛3｝｝\，\mathrm｛d｝y+\ int _｛1/3｝^｛2/3｝｛2-1.5（1-y）｝｛3｝\，\mathrm｛d｝y+\ int _｛2/3｝^｛1｝\frac｛5｝｛6｝｝\，\mathrm｛d｝y=｛\frac｛1｝｛2｝｝\，\end｛aligned｝｝｝{1} 小时_{1} （f_｛1｝（y））\，\mathrm｛d｝y=\ int _｛0｝^｛1/6｝｛\frac｛3y｝｛3｝｝\，\mathrm｛d｝y+\\&&quad+\ int _｛1/6｝^｛1/3｝｛2-3y｝｛3｝｝\，\mathrm｛d｝y+\ int _｛1/3｝^｛2/3｝｛2-1.5（1-y）｝｛3｝\，\mathrm｛d｝y+\ int _｛2/3｝^｛1｝\frac｛5｝｛6｝｝\，\mathrm｛d｝y=｛\frac｛1｝｛2｝｝\，\end｛aligned｝｝｝$

它是总期望定律 ${\显示样式E（E（Y|X））=E（Y）.}$

在这种情况下$显示样式f=f{2}}$相应的函数${\显示样式h=h{2}}$可能无法明确计算。尽管如此，它仍然存在，并且可以用与${\显示样式g{2}}$上面，-作为希尔伯特空间中的正交投影。总期望定律成立，因为投影不能通过属于子空间的常数函数1改变标量积。

或者，使用相同的功能${\显示样式h}$（顺其自然${\显示样式h{1}}$或${\显示样式h{2}}$)可以定义为Radon-Nikodym衍生物

$｛\displaystyle h＝｛\frac｛\mathrm｛d｝\nu｝｛\mathrm｛d｝\mu｝｝\，｝$

何处测量${\显示样式\mu，\nu}$由定义

${\显示样式{\开始{对齐}\mu（B）&=\mathbb{P}（X\在B中）$

对于所有Borel集合${\显示样式B\subset\mathbb{R}.}$在这里${\显示样式E（Y；A）}$是限制期望，不要与条件期望混淆${\显示样式E（Y|A）=E（Y；A）/P（A）。}$

条件分布

在这种情况下$显示样式f=f{1}}$有条件的累积分布函数可以显式计算，类似于${\显示样式g{1}.}$限制程序给出

${\displaystyle{\begin{aligned}&F_{Y|X=0.75}（Y）=\mathbb{P}（Y\leqy|X=0.75）=\\&=\lim_{\varepsilon\to 0+}\mathbb{P}{案例}0&{\text{for}-\infty<y<1/4，\\1/6&{\text}for}y=1/4，\\1/3&{\text{for}1/4<y<1/2，\\2/3&{text{for}y=2，\\1&{text}for}1/2<y<infty，\end{cases}}\end{aligned}}}}{案例}0&{\text{for}-\infty<y<1/4，\\1/6&{\text}for}y=1/4，\\1/3&{\text{for}1/4<y<1/2，\\2/3&{text{for}y=2，\\1&{text}for}1/2<y<infty，\end{cases}}\end{aligned}}}}$

这不可能是正确的，因为累积分布函数必须右旋的!

这一矛盾的结果由测度理论解释如下。对于给定的${\显示样式y}$相应的$显示样式F_{Y|X=X}（Y）=P（Y\leqy|X=X）}$定义良好（通过希尔伯特空间或Radon-Nikodym导数）为函数的等价类${\显示样式x}$). 被视为${\显示样式y}$对于给定的${\显示样式x}$除非提供了一些额外的输入，否则它是ill定义的。即函数（of${\显示样式x}$)必须在每个（或至少几乎每个）等价类中选择。错误的选择导致错误的条件累积分布函数。

正确的选择如下。第一，$显示样式F_{Y|X=X}（Y）=P（Y\leqy|X=X）}$被认为是有理数${\显示样式y}$只有。（任何其他稠密可数集都可以同样好地使用。）因此，只使用等价类的可数集；这些类中所有函数的选择都是相互等价的，rational的相应函数${\显示样式y}$定义明确（几乎每个${\显示样式x}$). 其次，通过右连续性将函数从有理数推广到实数。

一般来说，条件分布是为几乎所有${\显示样式x}$（根据${\显示样式X}$)，但有时结果是连续的${\显示样式x}$，在这种情况下，可以接受单个值。在所考虑的示例中，情况就是这样；的正确结果${\显示样式x=0.75，}$

${\显示样式{\开始{对齐}&F_{Y|X=0.75}（Y）=\mathbb{P}（Y\leqy|X=0.75）=\\&={开始{案例}0&{\text{for}-\infty<y<1/4，\\1/3&{\text}for}1/4 \leqy<1/2，\\1&{text{for}1/2 \leqy<\infty \end{cases}}\end{aligned}}}{案例}0&{\text{for}-\infty<y<1/4，\\1/3&{\text}for}1/4 \leqy<1/2，\\1&{text{for}1/2 \leqy<\infty \end{cases}}\end{aligned}}}$

显示了${\显示样式Y}$鉴于${\显示样式X=0.75}$由两个原子组成，分别为0.25和0.5，概率分别为1/3和2/3。

类似地，条件分布可以计算为${\显示样式x}$在里面${\显示样式（0,0.5）}$或${\显示样式（0.5,1）.}$

价值观${\显示样式x=0.5}$是原子的分布${\显示样式X}$因此，相应的条件分布是明确定义的，可以通过初等方法进行计算（分母不为零）；的条件分布${\显示样式Y}$鉴于${\显示样式X=0.5}$是统一的${\显示样式（2/3,1）。}$测量理论得出了同样的结果。

所有条件分布的混合是${\显示样式Y}$.

条件期望${\显示样式E（Y|X=X）}$只是关于条件分布的期望。

在这种情况下$显示样式f=f{2}}$相应的$显示样式F_{Y|X=X}（Y）=P（Y\leqy|X=X）}$可能无法明确计算。对于给定的${\显示样式y}$它（通过希尔伯特空间或Radon-Nikodym导数）被定义为函数的等价类${\显示样式x}$). 可以如上所述在这些等价类中正确选择函数；它可以得到正确的条件累积分布函数，从而得到条件分布。一般来说，条件分布不需要原子的或绝对连续的（也不是这两种类型的混合物）。可能，在考虑的示例中，它们是单数的（就像康托分布).

再一次，所有条件分布的混合是（无条件）分布，条件期望是关于条件分布的期望。

工具书类

• 理查德·杜勒特（1996），概率：理论和示例（第二版）
• David Pollard（2002），测量理论概率的用户指南，剑桥大学出版社