完整的度量空间

在数学，一个完备度量空间是一个度量空间其中每柯西层序在那个空间里收敛的换句话说，度量空间中的每个柯西序列都趋向于极限到一个点，该点又是该空间的一个元素。因此，在某种意义上，度量空间是“完整的”

形式化定义

让X（X）是具有度量的度量空间d日.然后X（X）如果对于每个Cauchy序列${\显示样式x_{1}，x_{2}，\ldots\在x}中$有一个关联元素${\在x}中显示样式x\$这样的话${\displaystyle\mathop{\lim}_{n\rightarrow\infty}d（x{n}，x）=0}$.

示例

• 实数R（右），以及更普遍的有限维欧几里德空间，使用常规度量完成。
• 任何契约公制空间为序列紧致并因此完成。反之亦然：例如，R（右）完整但不紧凑。
• 在具有离散度量的空间中，唯一的Cauchy序列是从某个点开始的常数序列。因此，任何离散度量空间都是完备的。
• 有理数问是不完成。例如，序列(x个_n个)由定义x个₀= 1,x个_n个+1= 1 + 1/x个_n个是柯西，但不收敛于问.

完成

每个度量空间X（X）有一个完成 ${\显示样式{\bar{X}}}$这是一个完整的度量空间，其中X（X）是等体积地嵌入为稠密的子空间。完井具有普遍性。

示例

• 实数R（右）是有理数的完成问相对于通常的绝对距离度量。

拓扑完全空间

完整性不是拓扑性质：完整的度量空间可能是同胚的到一个不完整的度量空间。例如，地图

${\显示样式t\leftrightarrow\left（{\frac{2t}{1+t^{2}}}，{\frac{1-t^{2}}{1+6^{2{}}\right）}$

是完全度量空间之间的同胚R（右）以及不完全空间，即单位圆在中欧几里得平面其中删除了点（0，-1）。后一个空间不完整，因为对应于t吨=n个作为n个穿过正整数映射到圆上的非收敛Cauchy序列。

我们可以定义拓扑空间成为度量拓扑完备如果它同胚于一个完备度量空间。此属性的拓扑条件是空间为可测量的和一个绝对G_δ也就是说G公司_δ在每个可以嵌入它的拓扑空间中。

另请参见

• Banach空间
• 希尔伯特空间